Noncentrální beta distribuce - Noncentral beta distribution - Wikipedia

Noncentral Beta

Zápis	Beta (α, β, λ)
Parametry	α> 0 tvar (nemovitý ) β> 0 tvar (nemovitý ) λ> = 0 necentralita (nemovitý )
Podpěra, podpora	${ displaystyle x v [0; 1] !}$
PDF	(typ I) ${ displaystyle sum _ {j = 0} ^ { infty} e ^ {- lambda / 2} { frac { vlevo ({ frac { lambda} {2}} vpravo) ^ {j} } {j!}} { frac {x ^ { alpha + j-1} left (1-x right) ^ { beta -1}} { mathrm {B} left ( alpha + j , beta right)}}}$
CDF	(typ I) ${ displaystyle sum _ {j = 0} ^ { infty} e ^ {- lambda / 2} { frac { vlevo ({ frac { lambda} {2}} vpravo) ^ {j} } {j!}} I_ {x} left ( alpha + j, beta right)}$
Znamenat	(typ I) ${ displaystyle e ^ {- { frac { lambda} {2}}} { frac { Gamma vlevo ( alpha +1 vpravo)} { Gamma vlevo ( alfa vpravo)}} { frac { Gamma left ( alpha + beta right)} { Gamma left ( alpha + beta +1 right)}} {} _ {2} F_ {2} left ( alpha + beta, alpha +1; alpha, alpha + beta +1; { frac { lambda} {2}} vpravo)}$ (vidět Soutoková hypergeometrická funkce )
Rozptyl	(typ I) ${ displaystyle e ^ {- { frac { lambda} {2}}} { frac { Gamma doleva ( alpha +2 right)} { gama doleva ( alpha right)}} { frac { Gamma left ( alpha + beta right)} { Gamma left ( alpha + beta +2 right)}} {} _ {2} F_ {2} left ( alpha + beta, alpha +2; alpha, alpha + beta +2; { frac { lambda} {2}} vpravo) - mu ^ {2}}$ kde ${ displaystyle mu}$ je průměr. (vidět Soutoková hypergeometrická funkce )

v teorie pravděpodobnosti a statistika, noncentrální beta distribuce je spojité rozdělení pravděpodobnosti to je necentrální zobecnění (centrální) beta distribuce.

Noncentrální beta distribuce (typ I) je distribuce poměru

${ displaystyle X = { frac { chi _ {m} ^ {2} ( lambda)} { chi _ {m} ^ {2} ( lambda) + chi _ {n} ^ {2} }},}$

kde ${ displaystyle chi _ {m} ^ {2} ( lambda)}$ je necentrální chi-kvadrát náhodná proměnná se stupni volnosti m a parametr noncentrality ${ displaystyle lambda}$, a ${ displaystyle chi _ {n} ^ {2}}$ je ústřední chi-kvadrát náhodná proměnná se stupni volnosti n, nezávislý na ${ displaystyle chi _ {m} ^ {2} ( lambda)}$.^[1]V tomto případě, ${ displaystyle X sim { mbox {Beta}} vlevo ({ frac {m} {2}}, { frac {n} {2}}, lambda vpravo)}$

Noncentrální beta distribuce typu II je distribucí poměru

${ displaystyle Y = { frac { chi _ {n} ^ {2}} { chi _ {n} ^ {2} + chi _ {m} ^ {2} ( lambda)}},}$

kde necentrální proměnná chí-kvadrát je pouze ve jmenovateli.^[1] Li ${ displaystyle Y}$ následuje distribuce typu II ${ displaystyle X = 1-Y}$ následuje distribuci typu I.

Funkce kumulativní distribuce

Typ I. kumulativní distribuční funkce je obvykle reprezentován jako a jed směs centrální beta náhodné proměnné:^[1]

${ displaystyle F (x) = součet _ {j = 0} ^ { infty} P (j) I_ {x} ( alpha + j, beta),}$

kde λ je parametr noncentrality, P(.) je Poissonova (λ / 2) pravděpodobnostní hmotnostní funkce, alfa = m / 2 a beta = n / 2 jsou tvarové parametry a ${ displaystyle I_ {x} (a, b)}$ je neúplná funkce beta. To znamená

${ displaystyle F (x) = součet _ {j = 0} ^ { infty} { frac {1} {j!}} vlevo ({ frac { lambda} {2}} vpravo) ^ {j} e ^ {- lambda / 2} I_ {x} ( alpha + j, beta).}$

Typ II kumulativní distribuční funkce ve formě směsi je

${ displaystyle F (x) = součet _ {j = 0} ^ { infty} P (j) I_ {x} ( alpha, beta + j).}$

Algoritmy pro vyhodnocení necentrálních beta distribučních funkcí uvádí Posten^[2] a Chattamvelli.^[1]

Funkce hustoty pravděpodobnosti

The (Type I) funkce hustoty pravděpodobnosti pro necentrální distribuci beta je:

${ displaystyle f (x) = součet _ {j = 0} ^ { infty} { frac {1} {j!}} vlevo ({ frac { lambda} {2}} vpravo) ^ {j} e ^ {- lambda / 2} { frac {x ^ { alpha + j-1} (1-x) ^ { beta -1}} {B ( alpha + j, beta) }}.}$

kde ${ displaystyle B}$ je funkce beta, ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle beta}$ jsou tvarové parametry a ${ displaystyle lambda}$ je parametr necentrality. Hustota Y je stejný jako u 1-X s obrácenými stupni volnosti.^[1]

Související distribuce

Transformace

Li ${ displaystyle X sim { mbox {Beta}} left ( alpha, beta, lambda right)}$, pak ${ displaystyle { frac { beta X} { alfa (1-X)}}}$ následuje a necentrální F-distribuce s ${ displaystyle 2 alpha, 2 beta}$ stupně volnosti a parametr necentrality ${ displaystyle lambda}$.

Li ${ displaystyle X}$ následuje a necentrální F-distribuce ${ displaystyle F _ { mu _ {1}, mu _ {2}} vlevo ( lambda vpravo)}$ s ${ displaystyle mu _ {1}}$ čitatelské stupně volnosti a ${ displaystyle mu _ {2}}$ jmenovatel stupně volnosti, tedy ${ displaystyle Z = { cfrac { cfrac { mu _ {2}} { mu _ {1}}} {{ cfrac { mu _ {2}} { mu _ {1}}} + X ^ {- 1}}}}$ následuje necentrální distribuci beta, takže ${ displaystyle Z sim { mbox {Beta}} vlevo ({ frac {1} {2}} mu _ {1}, { frac {1} {2}} mu _ {2}, lambda vpravo)}$. To je odvozeno od provedení přímé transformace.

Speciální případy

Když ${ displaystyle lambda = 0}$, noncentrální beta distribuce je ekvivalentní (centrální) beta distribuce.

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Srpna 2011) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Reference

Citace

Zdroje