Fázová distribuce - Phase-type distribution

Fázový typ

Parametry	${displaystyle S,; m imes m}$ subgenerátor matice ${displaystyle {oldsymbol {alpha}}}$, pravděpodobnost řádek vektor
Podpěra, podpora	${displaystyle xin [0; infty)!}$
PDF	${displaystyle {oldsymbol {alpha}} e ^ {xS} {oldsymbol {S}} ^ {0}}$ Podrobnosti viz článek
CDF	${displaystyle 1- {oldsymbol {alpha}} e ^ {xS} {oldsymbol {1}}}$
Znamenat	${displaystyle - {oldsymbol {alpha}} {S} ^ {- 1} mathbf {1}}$
Medián	žádná jednoduchá uzavřená forma
Režim	žádná jednoduchá uzavřená forma
Rozptyl	${displaystyle 2 {oldsymbol {alpha}} {S} ^ {- 2} mathbf {1} - ({oldsymbol {alpha}} {S} ^ {- 1} mathbf {1}) ^ {2}}$
MGF	${displaystyle - {oldsymbol {alpha}} (ti + S) ^ {- 1} {oldsymbol {S}} ^ {0} + alfa _ {0}}$
CF	${displaystyle - {oldsymbol {alpha}} (itI + S) ^ {- 1} {oldsymbol {S}} ^ {0} + alpha _ {0}}$

A distribuce fázového typu je rozdělení pravděpodobnosti vytvořené konvolucí nebo směsí exponenciální distribuce.^[1] Vyplývá to ze systému jednoho nebo více vzájemně propojených Poissonovy procesy vyskytující se v sekvence nebo fáze. Pořadí, ve kterém se jednotlivé fáze vyskytují, může být samo o sobě a stochastický proces. Distribuci lze reprezentovat a náhodná proměnná popisující čas do absorpce a Markov proces s jedním absorbujícím stavem. Každý z státy Markovova procesu představuje jednu z fází.

Má to diskrétní čas ekvivalent - diskrétní fázová distribuce.

Sada fázových distribucí je hustá v oblasti všech distribucí s kladnou hodnotou, to znamená, že ji lze použít k aproximaci jakékoli distribuce s kladnou hodnotou.

Definice

Zvažte a kontinuální Markovův proces s m + 1 států, kde m ≥ 1, takže stavy 1, ...,m jsou přechodné stavy a stav 0 je absorbující stav. Dále nechte proces mít počáteční pravděpodobnost spuštění v kterémkoli z m + 1 fáze dané vektorem pravděpodobnosti (α₀,α) kde α₀ je skalární a α je 1 ×m vektor.

The kontinuální fázová distribuce je rozložení času od začátku výše uvedeného procesu do absorpce v absorpčním stavu.

Tento proces lze psát ve formě a matice přechodové rychlosti,

${displaystyle {Q} = left [{egin {matrix} 0 & mathbf {0} mathbf {S} ^ {0} & {S} end {matrix}} ight],}$

kde S je m × m matice a S⁰ = –S1. Tady 1 představuje m × 1 vektor sloupce, přičemž každý prvek je 1.

Charakterizace

Rozložení času X dokud proces nedosáhne absorpčního stavu, říká se, že je fázově distribuovaný a označuje se PH (α,S).

Distribuční funkce X darováno,

${displaystyle F (x) = 1- {oldsymbol {alpha}} exp ({S} x) mathbf {1},}$

a funkce hustoty,

${displaystyle f (x) = {oldsymbol {alpha}} exp ({S} x) mathbf {S ^ {0}},}$

pro všechny X > 0, kde exp (·) je exponenciální matice. Obvykle se předpokládá, že pravděpodobnost spuštění procesu v absorpčním stavu je nulová (tj. Α₀= 0). Okamžiky distribuční funkce jsou dány vztahem

${displaystyle E [X ^ {n}] = (- 1) ^ {n} n! {oldsymbol {alpha}} {S} ^ {- n} mathbf {1}.}$

The Laplaceova transformace rozdělení fázového typu je dáno vztahem

${displaystyle M (s) = alpha _ {0} + {oldsymbol {alpha}} (sI-S) ^ {- 1} mathbf {S ^ {0}},}$

kde Já je matice identity.

Speciální případy

Následující rozdělení pravděpodobnosti jsou považována za speciální případy spojité distribuce fázového typu:

• Degenerovaná distribuce, bodová hmotnost při nule nebo prázdná fázová distribuce - 0 fází.
• Exponenciální rozdělení - 1 fáze.
• Erlang distribuce - 2 nebo více identických fází v pořadí.
• Deterministické rozdělení (nebo konstantní) - Omezující případ Erlangova rozdělení, protože počet fází se stává nekonečným, zatímco čas v každém stavu se stává nulovým.
• Koxianská distribuce - 2 nebo více (ne nutně identických) fází v pořadí, s pravděpodobností přechodu do konečného / absorpčního stavu po každé fázi.
• Hyperexponenciální distribuce (nazývaná také směs exponenciálních) - 2 nebo více neidentických fází, z nichž každá má pravděpodobnost, že se vyskytnou vzájemně se vylučujícím nebo paralelním způsobem. (Poznámka: Exponenciální rozdělení je zdegenerovaná situace, kdy jsou všechny paralelní fáze stejné.)
• Hypoexponenciální rozdělení - 2 nebo více fází v pořadí, mohou být neidentické nebo směs identických a neidentických fází, zobecňuje Erlang.

Jelikož je distribuce fázového typu hustá v oblasti všech distribucí s kladnou hodnotou, můžeme představovat jakoukoli distribuci s kladnou hodnotou. Fázový typ je však světelný nebo platykurtický rozvod. Reprezentace těžkého nebo leptokurtického rozdělení podle fázového typu je tedy aproximací, i když přesnost aproximace může být tak dobrá, jak chceme.

Příklady

Ve všech následujících příkladech se předpokládá, že při nule neexistuje žádná pravděpodobnostní hmotnost, tj. Α₀ = 0.

Exponenciální rozdělení

Nejjednodušším netriviálním příkladem fázového rozdělení je exponenciální rozdělení parametru λ. Parametry fázového rozdělení jsou: S = -λ a α = 1.

Hyperexponenciální nebo směs exponenciálního rozdělení

Směs exponenciálního nebo hyperexponenciální distribuce s λ₁, λ₂, ..., λ_n> 0 lze reprezentovat jako distribuci fázového typu s

${displaystyle {oldsymbol {alpha}} = (alpha _ {1}, alpha _ {2}, alpha _ {3}, alpha _ {4}, ..., alpha _ {n})}$

s ${displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} alpha _ {i} = 1}$ a

${displaystyle {S} = left [{egin {matrix} -lambda _ {1} & 0 & 0 & 0 & 0 0 & -lambda _ {2} & 0 & 0 & 0 0 & 0 & -lambda _ {3} & 0 & 0 0 & 0 & 0 & -lambda _ {4} & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - lambda _ {5} end {matrix}} ight].}$

Tuto směs hustot exponenciálně distribuovaných náhodných proměnných lze charakterizovat prostřednictvím

${displaystyle f (x) = součet _ {i = 1} ^ {n} alfa _ {i} lambda _ {i} e ^ {- lambda _ {i} x} = součet _ {i = 1} ^ {n } alpha _ {i} f_ {X_ {i}} (x),}$

nebo jeho kumulativní distribuční funkce

${displaystyle F (x) = 1-součet _ {i = 1} ^ {n} alfa _ {i} e ^ {- lambda _ {i} x} = součet _ {i = 1} ^ {n} alfa _ {i} F_ {X_ {i}} (x).}$

s ${displaystyle X_ {i} sim Exp (lambda _ {i})}$

Erlang distribuce

Distribuce Erlang má dva parametry, tvar celé číslo k > 0 a rychlost λ> 0. To se někdy označuje E(k, λ). Distribuci Erlang lze zapsat formou distribuce fázového typu vytvořením S A k×k matice s diagonálními prvky -λ a super-diagonálními prvky λ, s pravděpodobností spuštění ve stavu 1 rovna 1. Například E(5, λ),

${displaystyle {oldsymbol {alpha}} = (1,0,0,0,0),}$

a

${displaystyle {S} = left [{egin {matrix} -lambda & lambda & 0 & 0 & 0 0 & -lambda & lambda & 0 & 0 0 & 0 & -lambda & lambda & 0 0 & 0 & -lambda & lambda 0 & 0 & 0 & 0 & -lambda end {matrix}} ight].$

Pro daný počet fází je Erlangovo rozdělení fázovým rozdělením s nejmenším variačním koeficientem.^[2]

The hypoexponenciální distribuce je zobecnění Erlangova rozdělení tím, že má různé rychlosti pro každý přechod (nehomogenní případ).

Směs distribuce Erlang

Směs dvou distribucí Erlang s parametrem E(3, β₁), E(3, β₂) a (α₁, α₂) (takový, že α₁ + α₂ = 1 a pro každou i, α_i ≥ 0) lze reprezentovat jako distribuci fázového typu s

${displaystyle {oldsymbol {alpha}} = (alfa _ {1}, 0,0, alfa _ {2}, 0,0),}$

a

${displaystyle {S} = left [{egin {matrix} - eta _ {1} & eta _ {1} & 0 & 0 & 0 & 0 0 & - eta _ {1} & eta _ {1} & 0 & 0 & 0 0 & 0 & - eta _ {1} & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & - eta _ {2} & eta _ {2} & 0 0 & 0 & 0 & 0 & - eta _ {2} & eta _ {2} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - eta _ {2} end {matrix}} ight].}$

Coxian distribuce

The Coxian distribuce je zobecněním Erlang distribuce. Místo toho, abychom byli schopni vstoupit do absorbujícího stavu ze státu k může být dosažen z kterékoli fáze. Znázornění fázového typu je dáno,

${displaystyle S = left [{egin {matrix} -lambda _ {1} & p_ {1} lambda _ {1} & 0 & dots & 0 & 0 0 & -lambda _ {2} & p_ {2} lambda _ {2} & ddots & 0 & 0 vdots & ddots & ddots & ddots & ddots & vdots 0 & 0 & ddots & -lambda _ {k-2} & p_ {k-2} lambda _ {k-2} & 0 0 & 0 & dots & 0 & -lambda _ {k-1} & p_ {k-1} lambda _ {k -1} 0 & 0 & tečky & 0 & 0 & -lambda _ {k} end {matrix}} ight]}$

a

${displaystyle {oldsymbol {alpha}} = (1,0, tečky, 0),}$

kde 0 < p₁,...,p_k-1 ≤ 1. V případě, že všechny p_i = 1 máme distribuci Erlang. Coxianova distribuce je nesmírně důležitá, protože jakákoli acyklická fázová distribuce má ekvivalentní coxianské zastoupení.

The zobecněná coxianská distribuce uvolňuje stav, který vyžaduje zahájení v první fázi.

Vlastnosti

Minima nezávislých náhodných proměnných PH

Podobně jako exponenciální rozdělení, třída distribucí PH je uzavřena pod minimy nezávislých náhodných proměnných. Popis tohoto je tady.

Generování vzorků z fázově distribuovaných náhodných proměnných

BuTools zahrnuje metody pro generování vzorků z distribuovaných náhodných proměnných fázového typu.^[3]

Aproximace dalších distribucí

Libovolné rozdělení lze libovolně dobře aproximovat fázovým rozdělením.^[4][5] V praxi však mohou být aproximace špatné, pokud je velikost aproximačního procesu pevná. Přibližně deterministické rozdělení času 1 s 10 fázemi bude mít každá průměrná délka 0,1 rozptyl 0,1 (protože Erlangovo rozdělení má nejmenší rozptyl^[2]).

• BuTools A MATLAB a Mathematica skript pro přizpůsobení fázových distribucí 3 specifikovaným momentům
• momentmatching A MATLAB skript pro přizpůsobení minimální distribuce fázového typu do 3 specifikovaných momentů^[6]
• Sada nástrojů KPC knihovna MATLAB skripty, aby se vešly empirické datové sady k Markovianovým procesům příjezdu a distribucím fázového typu.^[7]

Přizpůsobení distribuce fázového typu datům

Metody přizpůsobení distribuce fázového typu datům lze klasifikovat jako metody maximální věrohodnosti nebo metody porovnávání momentů.^[8] Přizpůsobení fázového rozdělení na těžkopádné distribuce se v některých situacích ukázalo jako praktické.^[9]

• PhFit skript C pro přizpůsobení diskrétních a spojitých fázových distribucí datům^[10]
• EMpht je skript C pro přizpůsobení fázových distribucí datům nebo parametrických distribucí pomocí algoritmus očekávání – maximalizace.^[11]
• HyperStar byl vyvinut kolem základní myšlenky zjednodušení a uživatelsky přívětivé instalace fázového typu, aby bylo možné rozšířit používání fázových distribucí v široké škále oblastí. Poskytuje grafické uživatelské rozhraní a poskytuje dobré výsledky s malou interakcí uživatele.^[12]
• jPhase je knihovna Java, která také dokáže vypočítat metriky pro fronty pomocí přizpůsobené distribuce fázového typu^[13]

Viz také

• Diskrétní fázové rozdělení
• Markovův proces kontinuálního času
• Exponenciální rozdělení
• Hyperexponenciální distribuce
• Teorie řazení

Reference

• M. F. Neuts (1975), Pravděpodobnostní distribuce fázového typu, In Liber Amicorum Prof. emeritní H. Florin, strany 173-206, University of Louvain.
• M. F. Neuts. Maticově-geometrická řešení ve stochastických modelech: algoritmický přístup, Kapitola 2: Pravděpodobnostní rozdělení fázového typu; Dover Publications Inc., 1981.
• G. Latouche, V. Ramaswami. Úvod do maticových analytických metod ve stochastickém modelování, 1. vydání. Kapitola 2: Distribuce PH; ASA SIAM, 1999.
• C. A. O'Cinneide (1990). Charakterizace fázových distribucí. Statistická komunikace: Stochastické modely, 6(1), 1-57.
• C. A. O'Cinneide (1999). Fázová distribuce: otevřené problémy a několik vlastnostíStatistická komunikace: Stochastické modely, 15(4), 731-757.