Borel distribuce - Borel distribution

Borel distribuce

Parametry	${ displaystyle mu v [0,1]}$
Podpěra, podpora	${ displaystyle n in {1,2,3, ldots }}$
PMF	${ displaystyle { frac {e ^ {- mu n} ( mu n) ^ {n-1}} {n!}}}$
Znamenat	${ displaystyle { frac {1} {1- mu}}}$
Rozptyl	${ displaystyle { frac { mu} {(1- mu) ^ {3}}}}$

The Borel distribuce je diskrétní rozdělení pravděpodobnosti, vznikající v kontextech včetně větvící procesy a teorie front. Je pojmenována po francouzském matematikovi Émile Borel.

Pokud je počet potomků, které organismus má Poissonovo distribuováno, a pokud průměrný počet potomků každého organismu není větší než 1, potom potomci každého jednotlivce nakonec vyhynou. Počet potomků, které jedinec v dané situaci nakonec má, je náhodná proměnná rozdělená podle distribuce Borel.

Definice

Diskrétní náhodná proměnná X  se říká, že má distribuci Borel^[1][2]s parametrem μ ∈ [0,1], pokud funkce pravděpodobnostní hmotnosti z X darováno

${ displaystyle P _ { mu} (n) = Pr (X = n) = { frac {e ^ {- mu n} ( mu n) ^ {n-1}} {n!}}}$

pro n = 1, 2, 3 ....

Interpretace procesu odvození a větvení

Pokud Galton – Watsonův proces větvení má společnou distribuci potomků jed s průměrem μ, pak celkový počet jedinců v procesu větvení má distribuci Borel s parametremμ.

Nechat X  být celkový počet jednotlivců v procesu větvení Galton – Watson. Pak korespondence mezi celkovou velikostí procesu větvení a dobou nárazu přidruženého náhodná procházka^[3][4][5] dává

${ displaystyle Pr (X = n) = { frac {1} {n}} Pr (S_ {n} = n-1)}$

kde S_n = Y₁ + … + Y_n, a Y₁ … Y_n jsou nezávislé identicky distribuované náhodné proměnné jejichž společnou distribucí je distribuce potomků větvícího procesu. V případě, že toto běžné rozdělení je Poissonovo se střední hodnotou μ, náhodná proměnnáS_n má Poissonovo rozdělení s průměrem μn, což vede k hromadné funkci výše uvedeného Borelova rozdělení.

Protože mta generace procesu větvení má střední velikost μ^m − 1průměr X  je

${ displaystyle 1+ mu + mu ^ {2} + cdots = { frac {1} {1- mu}}.}$

Výklad teorie řazení

V Fronta M / D / 1 s mírou příjezdu μ a společná doba služby 1, distribuce typické rušné doby fronty je Borel s parametrem μ.^[6]

Vlastnosti

Li P_μ(n) je funkce pravděpodobnostní hmotnosti Borel (μ) náhodná proměnná, potom hromadná funkceP^∗
_μ(n) vzorku s velkým předpětím z distribuce (tj. hmotnostní funkce úměrná nP_μ(n) )darováno

${ displaystyle P _ { mu} ^ {*} (n) = (1- mu) { frac {e ^ {- mu n} ( mu n) ^ {n-1}} {(n- 1)!}}.}$

Aldous a Pitman ^[7]Ukaž to

${ displaystyle P _ { mu} (n) = { frac {1} { mu}} int _ {0} ^ { mu} P _ { lambda} ^ {*} (n) , d lambda.}$

Řečeno slovy, toto říká, že Borel (μ) náhodná proměnná má stejné rozdělení jako velikostně předpjatý Borel (μU) náhodná proměnná, kde U má rovnoměrné rozdělení na [0,1].

Tento vztah vede k různým užitečným vzorcům, včetně

${ displaystyle operatorname {E} left ({ frac {1} {X}} right) = 1 - { frac { mu} {2}}.}$

Distribuce Borel – Tanner

The Distribuce Borel – Tanner zobecňuje distribuci Borel k být kladné celé číslo. Li X₁, X₂,  … X_kjsou nezávislé a každá distribuce hasBorel s parametrem μ, pak jejich součet Ž = X₁ + X₂ + … + X_k má distribuci Borel – Tanner s parametry μ a k.^[2][6][8]To dává rozdělení celkového počtu jednotlivců v Poisson-Galton-Watsonově procesu počínaje k jednotlivci v první generaci nebo čas potřebný k vyprázdnění fronty M / D / 1 počínaje k úlohy ve frontě. Pouzdro k = 1 je jednoduše výše uvedená distribuce Borel.

Zobecnění náhodné procházkové korespondence uvedené výše pro k = 1,^[4][5]

${ displaystyle Pr (W = n) = { frac {k} {n}} Pr (S_ {n} = n-k)}$

kde S_n má Poissonovo rozdělení se střední hodnotou nμVýsledkem je, že funkce pravděpodobnostní hmotnosti je dána vztahem

${ displaystyle Pr (W = n) = { frac {k} {n}} { frac {e ^ {- mu n} ( mu n) ^ {nk}} {(nk)!}} }$

pro n = k, k + 1, ... .

Reference

externí odkazy

• Distribuce společnosti Borel-Tanner v Mathematice.