Posunutá distribuce Gompertz - Shifted Gompertz distribution

Posunul Gompertz

Funkce hustoty pravděpodobnosti
Funkce kumulativní distribuce
Parametry	${displaystyle bgeq 0}$ měřítko (nemovitý ) ${displaystyle eta geq 0}$ tvar (nemovitý)
Podpěra, podpora	${displaystyle xin [0, infty)!}$
PDF	${displaystyle be ^ {- bx} e ^ {- eta e ^ {- bx}} vlevo [1 + eta vlevo (1-e ^ {- bx} ight) ight]}$
CDF	${displaystyle left (1-e ^ {- bx} ight) e ^ {- eta e ^ {- bx}}}$
Znamenat	${displaystyle (-1 / b) {mathrm {E} [ln (X)] - ln (eta)},}$ kde ${displaystyle X = eta e ^ {- bx},}$ a ${displaystyle {egin {aligned} mathrm {E} [ln (X)] = & [1 {+} 1 / eta] !! int _ {0} ^ {eta} !!!! e ^ {- X} [ ln (X)] dX & - 1 / eta !! int _ {0} ^ {eta} !!!! Xe ^ {- X} [ln (X)] dXend {zarovnáno}}}$
Režim	${displaystyle 0 {ext {for}} 0$ ${displaystyle (-1 / b) ln (z ^ {star}) {ext {, pro}} eta> 0,5}$ ${displaystyle {ext {where}} z ^ {star} = [3 + eta - (eta ^ {2} + 2eta +5) ^ {1/2}] / (2eta)}$
Rozptyl	${displaystyle (1 / b ^ {2}) (mathrm {E} {[ln (X)] ^ {2}} - (mathrm {E} [ln (X)]) ^ {2}),}$ kde ${displaystyle X = eta e ^ {- bx},}$ a ${displaystyle {egin {aligned} mathrm {E} {[ln (X)] ^ {2}} = & [1 {+} 1 / eta] !! int _ {0} ^ {eta} !!!! e ^ {- X} [ln (X)] ^ {2} dX & - 1 / eta !! int _ {0} ^ {eta} !!!! Xe ^ {- X} [ln (X)] ^ {2} dXend {zarovnáno}}}$

The posunula Gompertzovu distribuci je distribuce většího ze dvou nezávislých náhodné proměnné jeden z nich má exponenciální rozdělení s parametrem ${displaystyle b}$ a druhý má Gumbelova distribuce s parametry ${displaystyle eta}$ a ${displaystyle b}$. Ve své původní formulaci byla distribuce vyjádřena odkazem na Gompertzovu distribuci namísto Gumbelovy distribuce, ale protože Gompertzova distribuce je obrácenou Gumbelovou distribucí, lze označení považovat za přesné. Byl použit jako model přijetí inovací. Navrhl to Bemmaor^[1] (1994). Některé z jeho statistických vlastností byly dále studovány Jiménezem a Jodrou ^[2](2009) a Jiménez Torres ^[3](2014).

Používá se k předpovídání růstu a poklesu sociálních sítí a online služeb a ukázalo se, že je lepší než Bassův model a Weibullova distribuce (Bauckhage a Kersting^[4] 2014).

Specifikace

Funkce hustoty pravděpodobnosti

The funkce hustoty pravděpodobnosti posunuté distribuce Gompertz je:

${displaystyle f (x; b, eta) = be ^ {- bx} e ^ {- eta e ^ {- bx}} vlevo [1 + eta vlevo (1-e ^ {- bx} ight) ight] {ext {for}} xgeq 0.,}$

kde ${displaystyle bgeq 0}$ je parametr měřítka a ${displaystyle eta geq 0}$ je parametr tvaru. V kontextu šíření inovací ${displaystyle b}$ lze interpretovat jako celkovou přitažlivost inovace a ${displaystyle eta}$ je sklon k adopci v paradigmatu sklonu k adopci. Větší ${displaystyle b}$ je, čím silnější je odvolání a tím větší ${displaystyle eta}$ tím menší je sklon k adopci.

Distribuci lze změnit podle paradigmatu vnějšího versus vnitřního vlivu pomocí ${displaystyle p = f (0; b, eta) = být ^ {- eta}}$ jako koeficient vnějšího vlivu a ${displaystyle q = b-p}$ jako koeficient vnitřního vlivu. Proto:

${displaystyle f (x; p, q) = (p + q) e ^ {- (p + q) x} e ^ {- ln (1 + q / p) e ^ {- (p + q) x} } left [1 + ln (1 + q / p) left (1-e ^ {- (p + q) x} ight) ight] {ext {for}} xgeq 0, p, qgeq 0.,}$

${displaystyle = (p + q) e ^ {- (p + q) x} {(1 + q / p) ^ {- e ^ {- (p + q) x}}} vlevo [1 + ln (1 + q / p) left (1-e ^ {- (p + q) x} ight) ight] {ext {for}} xgeq 0, p, qgeq 0.,}$

Když ${displaystyle q = 0}$, posunuté Gompertzovo rozdělení se redukuje na exponenciální rozdělení. Když ${displaystyle p = 0}$, podíl osvojitelů je nulový: inovace je úplný neúspěch. Tvarový parametr funkce hustoty pravděpodobnosti se rovná ${displaystyle q / p}$. Podobně jako u modelu Bass, míra rizika ${displaystyle z (x; p, q)}$ je rovný ${displaystyle p}$ když ${displaystyle x}$ je rovný ${displaystyle 0}$; blíží se to ${displaystyle p + q}$ tak jako ${displaystyle x}$ se blíží ${displaystyle infty}$. Viz Bemmaor a Zheng ^[5] pro další analýzu.

Funkce kumulativní distribuce

The kumulativní distribuční funkce posunuté distribuce Gompertz je:

${displaystyle F (x; b, eta) = left (1-e ^ {- bx} ight) e ^ {- eta e ^ {- bx}} {ext {for}} xgeq 0.,}$

Ekvivalentně

${displaystyle F (x; p, q) = vlevo (1-e ^ {- (p + q) x} ight) e ^ {- ln (1 + q / p) e ^ {- (p + q) x }} {ext {for}} xgeq 0.,}$

${displaystyle = left (1-e ^ {- (p + q) x} ight) {(1 + q / p) ^ {- e ^ {- (p + q) x}}} {ext {for}} xgeq 0.,}$

Vlastnosti

Posunuté Gompertzovo rozdělení je pro všechny hodnoty proměnné doprava ${displaystyle eta}$. Je pružnější než Gumbelova distribuce. Míra rizika je konkávní funkcí ${displaystyle F (x; b, eta)}$ který se zvyšuje z ${displaystyle be ^ {- eta}}$ na ${displaystyle b}$: jeho zakřivení je o to strmější jako ${displaystyle eta}$ je velký. V souvislosti s šířením inovací se vliv ústního podání (tj. Předchozích osvojitelů) na pravděpodobnost osvojení s rostoucím podílem osvojitelů snižuje. (Pro srovnání, u modelu Bass zůstává efekt v průběhu času stejný). Parametr ${displaystyle q = b (1-e ^ {- eta})}$ zachycuje růst míry nebezpečnosti, když ${displaystyle x}$ se liší od ${displaystyle 0}$ na ${displaystyle infty}$.

Tvary

Posunutá funkce hustoty Gompertze může nabývat různých tvarů v závislosti na hodnotách parametru tvaru ${displaystyle eta}$:

• ${displaystyle 0$ funkce hustoty pravděpodobnosti má svůj režim na 0.
• ${displaystyle eta> 0,5,}$ funkce hustoty pravděpodobnosti má svůj režim na

${displaystyle {ext {mode}} = - {frac {ln (z ^ {star})} {b}}, qquad 0$

kde ${displaystyle z ^ {star},}$ je nejmenší kořen

${displaystyle eta ^ {2} z ^ {2} -eta (3 + eta) z + eta + 1 = 0 ,,}$

který je

${displaystyle z ^ {star} = [3 + eta - (eta ^ {2} + 2eta +5) ^ {1/2}] / (2eta).}$

Související distribuce

Když ${displaystyle eta}$ se liší podle a gama distribuce s tvarovým parametrem ${displaystyle alpha}$ a měřítko parametru ${displaystyle eta}$ (průměr = ${displaystyle alpha eta}$), distribuce ${displaystyle x}$ je Gama / Shifted Gompertz (G / SG). Když ${displaystyle alpha}$ je rovno jedné, G / SG se redukuje na Basový model (Bemmaor 1994). Tříparametrový G / SG aplikovali Dover, Goldenberg a Shapira ^[6](2009) a Van den Bulte a Stremersch ^[7](2004) mimo jiné v kontextu šíření inovací. Tento model je popsán v Chandrasekaran a Tellis ^[8](2007). Podobně jako v posunuté Gompertzově distribuci lze G / SG reprezentovat buď podle paradigmatu sklonu k adopci, nebo podle paradigmatu imitace inovací. V druhém případě zahrnuje tři parametry: ${displaystyle p, q}$ a ${displaystyle alpha}$ s ${displaystyle p = f (0; b, eta, alfa) = b / (1+ eta) ^ {alpha}}$ a ${displaystyle q = b-p}$. Parametr ${displaystyle alpha}$ upravuje zakřivení míry rizika vyjádřené jako funkce ${displaystyle F (x; p, q, alfa)}$: když ${displaystyle alpha}$ je menší než 0,5, klesá na minimum před zvyšováním s rostoucí rychlostí as ${displaystyle F (x; p, q, alfa <1/2)}$ zvyšuje, je konvexní, když ${displaystyle alpha}$ je menší než jedna a větší nebo rovno 0,5, lineární, když ${displaystyle alpha}$ se rovná jedné a konkávní když ${displaystyle alpha}$ je větší než jedna. Zde je několik zvláštních případů distribuce G / SG v případě homogenity (napříč populací) s ohledem na pravděpodobnost přijetí v daném čase:

                        ${displaystyle F (x; p, q, alfa = 0)}$ = Exponenciální${displaystyle (p + q)}$                        ${displaystyle F (x; p, q, alfa = 1/2)$ = Levé zkosené dvouparametrické rozdělení${displaystyle (p, q)}$                        ${displaystyle F (x; p, q, alfa = 1)}$  = Bass model${displaystyle (p, q)}$                        ${displaystyle F (x; p, q, alpha = infty)}$ = Shifted Gompertz${displaystyle (p, q)}$

s:

              ${displaystyle F (x; p, q, alfa = 1/2) = vlevo (1-e ^ {- (p + q) x} vpravo) / {(1+ (q / p) (2 + q / p) ) e ^ {- (p + q) x}) ^ {1/2}} {ext {for}} xgeq 0, p, qgeq 0.,}$

Lze porovnat parametry ${displaystyle p}$ a ${displaystyle q}$ napříč hodnotami ${displaystyle alpha}$ protože zachycují stejné pojmy. Ve všech případech je míra rizika buď konstantní, nebo monotónně rostoucí funkcí ${displaystyle F (x; p, q, alfa)}$ (pozitivní slovo z úst). Protože difúzní křivka je o to zkosenější ${displaystyle alpha}$ očekáváme ${displaystyle q}$ snižovat se zvyšováním úrovně zkosení vpravo.

Viz také

• Gumbelova distribuce
• Zobecněné extrémní rozdělení hodnot
• Směsný model
• Basový model
• Gompertzova distribuce

Reference

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Duben 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)