Laplaceova transformace - Laplace transform

v matematika, Laplaceova transformace, pojmenovaný po svém vynálezci Pierre-Simon Laplace (/ləˈplɑːs/), je integrální transformace který převádí funkci skutečné proměnné ${displaystyle t}$ (často čas) na funkci a komplexní proměnná ${displaystyle s}$ (komplexní frekvence ). Transformace má mnoho aplikací ve vědě a inženýrství, protože je nástrojem pro řešení diferenciální rovnice. Zejména transformuje diferenciální rovnice na algebraické rovnice a konvoluce do násobení.^[1][2][3]

Dějiny

Laplaceova transformace je pojmenována po matematikovi a astronomovi Pierre-Simon Laplace, který použil podobnou transformaci ve své práci na teorii pravděpodobnosti.^[4] Laplace psal rozsáhle o použití generující funkce v Essai philosophique sur les probabilités (1814), a výsledkem byla přirozená forma Laplaceovy transformace.^[5]

Laplaceovo použití generujících funkcí bylo podobné tomu, co je nyní známé jako z-transformace a věnoval malou pozornost případu spojitých proměnných, o kterém hovořil Niels Henrik Abel.^[6] Teorie byla dále rozvíjena v 19. a na počátku 20. století autorem Mathias Lerch,^[7] Oliver Heaviside,^[8] a Thomas Bromwich.^[9]

Současné rozšířené použití transformace (hlavně ve strojírenství) nastalo během a brzy po druhé světové válce,^[10] nahrazení dřívějšího provozního počtu Heaviside. Výhody Laplaceovy transformace byly zdůrazněny Gustav Doetsch^[11], jemuž je zjevně jméno Laplace Transform.

Od roku 1744, Leonhard Euler zkoumané integrály formuláře

${displaystyle z = int X (x) e ^ {ax}, dxquad {ext {a}} quad z = int X (x) x ^ {A}, dx}$

jako řešení diferenciálních rovnic, ale moc se tím nezabýval.^[12] Joseph Louis Lagrange byl obdivovatelem Eulera a ve své práci na integraci funkce hustoty pravděpodobnosti, zkoumané výrazy formuláře

${displaystyle int X (x) e ^ {- ax} a ^ {x}, dx,}$

kterou někteří moderní historici interpretovali v rámci moderní teorie Laplaceovy transformace.^{[13][14][je zapotřebí objasnění ]}

Zdá se, že tyto typy integrálů nejprve přitahovaly Laplaceovu pozornost v roce 1782, kdy se řídil v duchu Eulera používáním samotných integrálů jako řešení rovnic.^[15] V roce 1785 však Laplace učinil zásadní krok vpřed, když místo pouhého hledání řešení v podobě integrálu začal aplikovat transformace ve smyslu, který se později stal populárním. Použil integrál formy

${displaystyle int x ^ {s} varphi (x), dx,}$

blízký a Mellinova transformace, transformovat celek a rozdílová rovnice, abychom mohli hledat řešení transformované rovnice. Poté použil Laplaceovu transformaci stejným způsobem a začal odvodit některé z jejích vlastností, přičemž začal oceňovat její potenciální sílu.^[16]

Laplace to také poznal Joseph Fourier metoda Fourierova řada pro řešení difúzní rovnice se mohla vztahovat pouze na omezenou oblast vesmíru, protože ta řešení byla periodicky. V roce 1809 Laplace použil svou transformaci k nalezení řešení, která se na neurčito rozptylovala v prostoru.^[17]

Formální definice

Laplaceova transformace a funkce F(t), definované pro všechny reálná čísla t ≥ 0, je funkce F(s), což je jednostranná transformace definovaná pomocí

${displaystyle F (s) = int _ {0} ^ {infty} f (t) e ^ {- st}, dt}$

(Rovnice 1)

kde s je komplexní číslo parametr frekvence

${displaystyle s = sigma + iomega}$se skutečnými čísly σ a ω.

Alternativní notace pro Laplaceovu transformaci je ${displaystyle {mathcal {L}} {f}}$ namísto F.^[1][3]

Význam integrálu závisí na typech sledovaných funkcí. Nutnou podmínkou pro existenci integrálu je to F musí být místně integrovatelný na [0, ∞). Pro místně integrovatelné funkce, které se rozpadají v nekonečnu nebo jsou exponenciální typ, integrál lze chápat jako (vlastní) Lebesgueův integrál. U mnoha aplikací je však nutné ji považovat za a podmíněně konvergentní nesprávný integrál na ∞. Ještě obecněji lze integrálu rozumět v a slabý smysl, a tím se budeme zabývat níže.

Lze definovat Laplaceovu transformaci konečné Borelův rozměr μ Lebesgueovým integrálem^[18]

${displaystyle {mathcal {L}} {mu} (s) = int _ {[0, infty)} e ^ {- st}, dmu (t).}$

Důležitým zvláštním případem je místo μ je míra pravděpodobnosti například Diracova delta funkce. v provozní počet, Laplaceova transformace míry je často považována za, jako by míra pocházela z funkce hustoty pravděpodobnosti F. V takovém případě se často píše, aby nedošlo k nejasnostem

${displaystyle {mathcal {L}} {f} (s) = int _ {0 ^ {-}} ^ {infty} f (t) e ^ {- st}, dt,}$

kde spodní hranice 0⁻ je zkratková notace pro

${displaystyle lim _ {varepsilon ightarrow 0 ^ {+}} int _ {- varepsilon} ^ {infty}.}$

Tento limit zdůrazňuje, že jakákoli bodová hmota umístěná na 0 je zcela zachycen Laplaceovou transformací. Ačkoli u Lebesgueova integrálu není nutné tuto hranici brát, zdá se přirozenější v souvislosti s Laplaceova-Stieltjesova transformace.

Bilaterální Laplaceova transformace

Když člověk bez kvalifikace řekne „Laplaceovu transformaci“, je obvykle zamýšlena jednostranná nebo jednostranná transformace. Laplaceovu transformaci lze alternativně definovat jako bilaterální Laplaceova transformacenebo oboustranná Laplaceova transformace rozšířením limitů integrace na celou skutečnou osu. Pokud se tak stane, společná jednostranná transformace se jednoduše stane zvláštním případem dvoustranné transformace, kde se definice transformované funkce vynásobí Funkce Heaviside step.

Bilaterální Laplaceova transformace F(s) je definována takto:

${displaystyle F (s) = int _ {- infty} ^ {infty} e ^ {- st} f (t), dt}$

(Rovnice 2)

Alternativní notace pro bilaterální Laplaceovu transformaci je ${displaystyle {mathcal {B}} {f}}$, namísto ${displaystyle F}$.

Inverzní Laplaceova transformace

Dvě integrovatelné funkce mají stejnou Laplaceovu transformaci, pouze pokud se liší v sadě Lebesgueovo opatření nula. To znamená, že v rozsahu transformace existuje inverzní transformace. Ve skutečnosti je kromě integrovatelných funkcí Laplaceova transformace a jedna ku jedné mapování z jednoho funkčního prostoru do druhého také v mnoha dalších funkčních prostorech, i když obvykle neexistuje snadná charakterizace rozsahu.

Mezi typické funkční prostory, ve kterých to platí, patří prostory omezených spojitých funkcí, prostor L^∞(0, ∞) nebo obecněji temperované distribuce na (0, ∞). Laplaceova transformace je také definována a injektivní pro vhodné prostory temperované distribuce.

V těchto případech obraz Laplaceovy transformace žije v prostoru analytické funkce v oblast konvergence. The inverzní Laplaceova transformace je dán následujícím komplexním integrálem, který je známý pod různými jmény ( Bromwichský integrál, Fourier – Mellinův integrál, a Mellinův inverzní vzorec):

${displaystyle f (t) = {mathcal {L}} ^ {- 1} {F} (t) = {frac {1} {2pi i}} lim _ {T o infty} int _ {gamma -iT} ^ {gamma + iT} e ^ {st} F (s), ds}$

(Rovnice 3)

kde y je reálné číslo, takže obrysová cesta integrace je v oblasti konvergence F(s). Ve většině aplikací lze obrys uzavřít, což umožňuje použití věta o zbytku. Alternativní vzorec pro inverzní Laplaceovu transformaci je dán vztahem Vzorec inverze příspěvku. Omezení zde je interpretováno v slabá * topologie.

V praxi je obvykle pohodlnější rozložit Laplaceovu transformaci na známé transformace funkcí získaných z tabulky a vytvořit inverzi kontrolou.

Teorie pravděpodobnosti

v čistý a použitá pravděpodobnost, Laplaceova transformace je definována jako očekávaná hodnota. Li X je náhodná proměnná s funkcí hustoty pravděpodobnosti F, pak Laplaceova transformace F je dáno očekáváním

${displaystyle {mathcal {L}} {f} (s) = operatorname {E}! left [e ^ {- sX} ight] !.}$

Podle konvence, toto se označuje jako Laplaceova transformace náhodné proměnné X sám. Tady, výměna s podle −t dává funkce generování momentů z X. Laplaceova transformace má uplatnění v celé teorii pravděpodobnosti, včetně časy první pasáže z stochastické procesy jako Markovovy řetězy, a teorie obnovy.

Obzvláště užitečná je schopnost obnovit kumulativní distribuční funkce spojité náhodné proměnné X, pomocí Laplaceovy transformace následujícím způsobem:^[19]

${displaystyle F_ {X} (x) = {mathcal {L}} ^ {- 1}! left {{frac {1} {s}} operatorname {E} left [e ^ {- sX} ight] ight}! (x) = {mathcal {L}} ^ {- 1}! left {{frac {1} {s}} {mathcal {L}} {f} (s) ight}! (x).}$

Region konvergence

Li F je lokálně integrovatelná funkce (nebo obecněji Borelův ukazatel lokálně omezené variace), pak Laplaceova transformace F(s) z F konverguje za předpokladu, že limit

${displaystyle lim _ {R o infty} int _ {0} ^ {R} f (t) e ^ {- st}, dt}$

existuje.

Laplaceova transformace absolutně konverguje pokud integrál

${displaystyle int _ {0} ^ {infty} left | f (t) e ^ {- st} ight |, dt}$

existuje jako správný Lebesgueův integrál. Laplaceova transformace se obvykle chápe jako podmíněně konvergentní, což znamená, že konverguje v prvním, ale nikoli v druhém smyslu.

Sada hodnot, pro které F(s) konverguje absolutně je některá z forem Re(s) > A nebo Re(s) ≥ A, kde A je rozšířená reálná konstanta s −∞ ≤ A ≤ ∞ (důsledek dominující věta o konvergenci ). Konstanta A je známá jako úsečka absolutní konvergence a závisí na růstovém chování F(t).^[20] Analogicky oboustranná transformace konverguje absolutně do pruhu formy A s) < ba případně včetně řádků Re(s) = A nebo Re(s) = b.^[21] Podmnožina hodnot s pro které Laplaceova transformace absolutně konverguje, se nazývá oblast absolutní konvergence nebo doména absolutní konvergence. V dvoustranném případě se tomu někdy říká pás absolutní konvergence. Laplaceova transformace je analytická v oblasti absolutní konvergence: je to důsledek Fubiniho věta a Morerova věta.

Podobně sada hodnot, pro které F(s) konverguje (podmíněně nebo absolutně) je známá jako oblast podmíněné konvergence nebo jednoduše oblast konvergence (ROC). Pokud Laplaceova transformace konverguje (podmíněně) v s = s₀, pak automaticky konverguje pro všechny s s Re(s)> Re (s₀). Proto je oblast konvergence polorovinou formy Re(s) > A, případně včetně některých bodů hraniční čáry Re(s) = A.

V oblasti konvergence Re(s)> Re (s₀)Laplaceova transformace F lze vyjádřit pomocí integrace po částech jako integrál

${displaystyle F (s) = (s-s_ {0}) int _ {0} ^ {infty} e ^ {- (s-s_ {0}) t} eta (t), dt, quad eta (u) = int _ {0} ^ {u} e ^ {- s_ {0} t} f (t), dt.}$

To znamená F(s) lze efektivně vyjádřit v oblasti konvergence jako absolutně konvergentní Laplaceovu transformaci nějaké jiné funkce. Zejména je to analytické.

Je jich několik Paley – Wienerovy věty týkající se vztahu mezi vlastnostmi rozpadu F a vlastnosti Laplaceovy transformace v oblasti konvergence.

V technických aplikacích je funkce odpovídající a lineární časově invariantní (LTI) systém je stabilní pokud každý ohraničený vstup produkuje ohraničený výstup. To odpovídá absolutní konvergenci Laplaceovy transformace funkce impulsní odezvy v oblasti Re(s) ≥ 0. Výsledkem je, že systémy LTI jsou stabilní za předpokladu, že póly Laplaceovy transformace funkce impulsní odezvy mají zápornou skutečnou část.

Tento ROC se používá k poznání kauzality a stability systému.

Vlastnosti a věty

Laplaceova transformace má řadu vlastností, díky nimž je užitečná pro lineární analýzu dynamické systémy. Nejvýznamnější výhodou je to diferenciace stává se množením a integrace se stává dělením s (připomíná cestu logaritmy změňte násobení na přidání logaritmů).

Kvůli této vlastnosti je proměnná Laplaceova s je také známý jako operátorská proměnná v L doména: buď derivační operátor nebo (pro s⁻¹) operátor integrace. Transformace se otočí integrální rovnice a diferenciální rovnice na polynomiální rovnice, které jsou mnohem snazší řešit. Po vyřešení se použití inverzní Laplaceovy transformace vrátí do původní domény.

Vzhledem k funkcím F(t) a G(t)a jejich příslušné Laplaceovy transformace F(s) a G(s),

${displaystyle {egin {aligned} f (t) & = {mathcal {L}} ^ {- 1} {F (s)}, g (t) & = {mathcal {L}} ^ {- 1} { G (y)}, konec {zarovnáno}}}$

následující tabulka obsahuje seznam vlastností jednostranné Laplaceovy transformace:^[22]

Vlastnosti jednostranné Laplaceovy transformace

	Časová doména	s doména	Komentář
Linearita	${displaystyle af (t) + bg (t)}$	${displaystyle aF (s) + bG (s)}$	Lze prokázat pomocí základních pravidel integrace.
Derivát kmitočtové domény	${displaystyle tf (t)}$	${displaystyle -F '(s)}$	F′ je první derivát F s ohledem na s.
Obecná derivace ve frekvenční oblasti	${displaystyle t ^ {n} f (t)}$	${displaystyle (-1) ^ {n} F ^ {(n)} (s)}$	Obecnější forma, nth derivát F(s).
Derivát	${displaystyle f '(t)}$	${displaystyle sF (s) -f (0 ^ {-})}$	F se předpokládá, že diferencovatelná funkce a předpokládá se, že jeho derivace je exponenciálního typu. Toho lze potom dosáhnout integrací po částech
Druhá derivace	${displaystyle f '' (t)}$	${displaystyle s ^ {2} F (s) -sf (0 ^ {-}) - f '(0 ^ {-})}$	F se předpokládá dvakrát diferencovatelné a druhá derivace je exponenciálního typu. Následuje použití vlastnosti Diferenciace na F′(t).
Obecná derivace	${displaystyle f ^ {(n)} (t)}$	${displaystyle s ^ {n} F (s) -sum _ {k = 1} ^ {n} s ^ {n-k} f ^ {(k-1)} (0 ^ {-})}$	F se předpokládá, že je n-krát rozlišitelné, s nth derivace exponenciálního typu. Následuje matematická indukce.
Integrace ve frekvenční doméně	${displaystyle {frac {1} {t}} f (t)}$	${displaystyle int _ {s} ^ {infty} F (sigma), dsigma}$	To lze odvodit pomocí povahy frekvenční diferenciace a podmíněné konvergence.
Časová doména integrace	${displaystyle int _ {0} ^ {t} f (au), d au = (u * f) (t)}$	${displaystyle {1 nad s} F (s)}$	u(t) je funkce Heaviside step a (u ∗ F)(t) je konvoluce z u(t) a F(t).
Frekvenční posun	${displaystyle e ^ {at} f (t)}$	${displaystyle F (s-a)}$
Časový posun	${displaystyle f (t-a) u (t-a)}$	${displaystyle e ^ {- as} F (s)}$	u(t) je funkce Heaviside step
Časové měřítko	${displaystyle f (zavináč)}$	${displaystyle {frac {1} {a}} Fleft ({s over a} ight)}$	${displaystyle a> 0}$
Násobení	${displaystyle f (t) g (t)}$	${displaystyle {frac {1} {2pi i}} lim _ {T o infty} int _ {c-iT} ^ {c + iT} F (sigma) G (s-sigma), dsigma}$	Integrace se provádí podél svislé čáry Re(σ) = C která leží zcela v oblasti konvergence F.[23]
Konvoluce	${displaystyle (f * g) (t) = int _ {0} ^ {t} f (au) g (t- au), d au}$	${displaystyle F (s) cdot G (s)}$
Složitá konjugace	${displaystyle f ^ {*} (t)}$	${displaystyle F ^ {*} (s ^ {*})}$
Křížová korelace	${displaystyle f (t) hvězda g (t)}$	${displaystyle F ^ {*} (- s ^ {*}) cdot G (s)}$
Periodická funkce	${displaystyle f (t)}$	${displaystyle {1 over 1-e ^ {- Ts}} int _ {0} ^ {T} e ^ {- st} f (t), dt}$	F(t) je periodická funkce období T aby F(t) = F(t + T), pro všechny t ≥ 0. Toto je výsledek vlastnosti posunu času a geometrické řady.

• Věta o počáteční hodnotě:

${displaystyle f (0 ^ {+}) = lim _ {s o infty} {sF (s)}.}$

• Věta o konečné hodnotě:

${displaystyle f (infty) = lim _ {s o 0} {sF (s)}}$, padám póly z ${displaystyle sF (s)}$ jsou v levé polorovině.

Věta o konečné hodnotě je užitečná, protože poskytuje dlouhodobé chování bez nutnosti provádění částečný zlomek rozklady (nebo jiná obtížná algebra). Li F(s) má tyč v pravé rovině nebo tyče na imaginární ose (např. pokud ${displaystyle f (t) = e ^ {t}}$ nebo ${displaystyle f (t) = sin (t)}$), pak chování tohoto vzorce není definováno.

Vztah k výkonové řadě

Laplaceovu transformaci lze chápat jako a kontinuální analogie a výkonová řada.^[24] Li A(n) je diskrétní funkce kladného celého čísla n, pak výkonová řada spojená s A(n) je série

${displaystyle sum _ {n = 0} ^ {infty} a (n) x ^ {n}}$

kde X je skutečná proměnná (viz Z transformace ). Nahrazení součtu n s integrací skončila t, stane se spojitá verze výkonové řady

${displaystyle int _ {0} ^ {infty} f (t) x ^ {t}, dt}$

kde diskrétní funkce A(n) je nahrazen spojitým F(t).

Změna základny síly z X na E dává

${displaystyle int _ {0} ^ {infty} f (t) left (e ^ {ln {x}} ight) ^ {t}, dt}$

Aby to konvergovalo například pro všechny ohraničené funkce F, je nutné to vyžadovat ln X < 0. Střídání −s = ln X dává jen Laplaceovu transformaci:

${displaystyle int _ {0} ^ {infty} f (t) e ^ {- st}, dt}$

Jinými slovy, Laplaceova transformace je spojitý analog výkonové řady, ve kterém je diskrétní parametr n je nahrazen spojitým parametrem t, a X je nahrazen E^−s.

Vztah k okamžikům

Množství

${displaystyle mu _ {n} = int _ {0} ^ {infty} t ^ {n} f (t), dt}$

jsou momenty funkce F. Pokud první n okamžiky F konvergovat absolutně, pak opakováním diferenciace podle integrálu,

${displaystyle (-1) ^ {n} ({mathcal {L}} f) ^ {(n)} (0) = mu _ {n}.}$

To má zvláštní význam v teorii pravděpodobnosti, kde jsou momenty náhodné proměnné X jsou dány očekávanými hodnotami ${displaystyle mu _ {n} = operatorname {E} [X ^ {n}]}$. Potom vztah platí

${displaystyle mu _ {n} = (- 1) ^ {n} {frac {d ^ {n}} {ds ^ {n}}} operatorname {E} left [e ^ {- sX} ight] (0) .}$

Výpočet Laplaceovy transformace derivace funkce

Často je vhodné použít diferenciační vlastnost Laplaceovy transformace k nalezení transformace derivace funkce. To lze odvodit ze základního výrazu pro Laplaceovu transformaci následujícím způsobem:

${displaystyle {egin {aligned} {mathcal {L}} left {f (t) ight} & = int _ {0 ^ {-}} ^ {infty} e ^ {- st} f (t), dt [ 6pt] & = left [{frac {f (t) e ^ {- st}} {- s}} ight] _ {0 ^ {-}} ^ {infty} -int _ {0 ^ {-}} ^ {infty} {frac {e ^ {- st}} {- s}} f '(t), dtquad {ext {(po částech)}} [6pt] & = vlevo [- {frac {f (0 ^ {-})} {- s}} ight] + {frac {1} {s}} {mathcal {L}} vlevo {f '(t) ight}, konec {zarovnáno}}}$

poddajný

${displaystyle {mathcal {L}} {f '(t)} = scdot {mathcal {L}} {f (t)} - ​​f (0 ^ {-}),}$

a v bilaterálním případě

${displaystyle {mathcal {L}} {f '(t)} = sint _ {- infty} ^ {infty} e ^ {- st} f (t), dt = scdot {mathcal {L}} {f (t )}.}$

Obecný výsledek

${displaystyle {mathcal {L}} vlevo {f ^ {(n)} (t) ight} = s ^ {n} cdot {mathcal {L}} {f (t)} - ​​s ^ {n-1} f (0 ^ {-}) - cdots -f ^ {(n-1)} (0 ^ {-}),}$

kde ${displaystyle f ^ {(n)}}$ označuje n^th derivát F, pak lze stanovit pomocí indukčního argumentu.

Hodnocení integrálů přes kladnou skutečnou osu

Užitečnou vlastností Laplaceovy transformace je následující:

${displaystyle int _ {0} ^ {infty} f (x) g (x), dx = int _ {0} ^ {infty} ({mathcal {L}} f) (s) cdot ({mathcal {L} } ^ {- 1} g), ds}$

za vhodných předpokladů o chování ${displaystyle f, g}$ v pravém sousedství ${displaystyle 0}$ a na rychlosti rozpadu ${displaystyle f, g}$ v levém sousedství ${displaystyle infty}$. Výše uvedený vzorec je variací integrace po částech s operátory ${displaystyle {frac {d} {dx}}}$ a ${displaystyle int, dx}$ nahrazuje ${displaystyle {mathcal {L}}}$ a ${displaystyle {mathcal {L}} ^ {- 1}}$. Dokážeme ekvivalentní formulaci:

${displaystyle int _ {0} ^ {infty} ({mathcal {L}} f) (x) g (x), dx = int _ {0} ^ {infty} f (s) ({mathcal {L}} g) (s), ds.}$

Připojením ${displaystyle ({mathcal {L}} f) (x) = int _ {0} ^ {infty} f (s) e ^ {- sx}, ds}$ levá strana se změní na:

${displaystyle int _ {0} ^ {infty} int _ {0} ^ {infty} f (s) g (x) e ^ {- sx}, ds, dx,}$

ale za předpokladu, že Fubiniho věta platí, obrácením pořadí integrace získáme hledanou pravou stranu.

Vztah k jiným transformacím

Laplaceova-Stieltjesova transformace

(Jednostranná) Laplaceova-Stieltjesova transformace funkce G : R → R je definován Lebesgue – Stieltjes integrál

${displaystyle {{mathcal {L}} ^ {*} g} (s) = int _ {0} ^ {infty} e ^ {- st}, dg (t).}$

Funkce G se předpokládá, že je z ohraničená variace. Li G je primitivní z F:

${displaystyle g (x) = int _ {0} ^ {x} f (t), dt}$

pak Laplaceova-Stieltjesova transformace G a Laplaceova transformace F shodovat se. Obecně je Laplaceova-Stieltjesova transformace Laplaceova transformace Stieltjes měří spojené s G. V praxi tedy jediný rozdíl mezi těmito dvěma transformacemi spočívá v tom, že Laplaceova transformace je považována za operující na hustotní funkci míry, zatímco Laplaceova-Stieltjesova transformace je považována za operující na její kumulativní distribuční funkce.^[25]

Fourierova transformace

Laplaceova transformace je podobná transformaci Fourierova transformace. Zatímco Fourierova transformace funkce je komplexní funkcí a nemovitý proměnná (frekvence), Laplaceova transformace funkce je komplexní funkcí a komplex proměnná. Laplaceova transformace je obvykle omezena na transformaci funkcí t s t ≥ 0. Důsledkem tohoto omezení je, že Laplaceova transformace funkce je a holomorfní funkce proměnné s. Na rozdíl od Fourierovy transformace, Laplaceova transformace a rozdělení je obecně a dobře vychovaný funkce. K přímému studiu Laplaceových transformací lze také použít techniky složitých proměnných. Jako holomorfní funkce má Laplaceova transformace a výkonová řada zastoupení. Tato výkonová řada vyjadřuje funkci jako lineární superpozici momenty funkce. Tato perspektiva má uplatnění v teorii pravděpodobnosti. Kontinuální Fourierova transformace je ekvivalentní vyhodnocení bilaterální Laplaceovy transformace pomocí imaginárního argumentu s = iω nebo s = 2πfi^[26] když je splněna níže vysvětlená podmínka,

${displaystyle {egin {aligned} {widehat {f}} (omega) & = {mathcal {F}} {f (t)} [4pt] & = {mathcal {L}} {f (t)} | _ {s = iomega} = F (s) | _ {s = iomega} [4pt] & = int _ {- infty} ^ {infty} e ^ {- iomega t} f (t), dt ~ .end { zarovnaný}}}$

Tato definice Fourierovy transformace vyžaduje prefaktor 1/(2π) na reverzní Fourierovu transformaci. Tento vztah mezi Laplaceovou a Fourierovou transformací se často používá k určení frekvenční spektrum a signál nebo dynamický systém.

Výše uvedený vztah je platný, jak je uvedeno, a to pouze v případě, že oblast konvergence (ROC) z F(s) obsahuje imaginární osu, σ = 0.

Například funkce F(t) = cos (ω₀t) má Laplaceovu transformaci F(s) = s/(s² + ω₀²) jehož ROC je Re(s) > 0. Tak jako s = iω je pól F(s), střídání s = iω v F(s) nepřináší Fourierovu transformaci F(t)u(t), což je úměrné Diracova delta funkce δ(ω − ω₀).

Vztah formy

${displaystyle lim _ {sigma o 0 ^ {+}} F (sigma + iomega) = {widehat {f}} (omega)}$

drží za mnohem slabších podmínek. Například to platí pro výše uvedený příklad za předpokladu, že je limit chápán jako a slabý limit opatření (viz vágní topologie ). Obecné podmínky týkající se limitu Laplaceovy transformace funkce na hranici Fourierovy transformace mají formu Paley – Wienerovy věty.

Mellinova transformace

Mellinova transformace a její inverze souvisí s oboustrannou Laplaceovou transformací jednoduchou změnou proměnných.

Pokud je v Mellinově transformaci

${displaystyle G (s) = {mathcal {M}} {g (heta)} = int _ {0} ^ {infty} heta ^ {s} g (heta), {frac {d heta} {heta}}}$

jsme si stanovili θ = E^−t dostaneme oboustrannou Laplaceovu transformaci.

Z-transformace

Jednostranná nebo jednostranná Z-transformace je jednoduše Laplaceova transformace ideálně vzorkovaného signálu se substitucí

${displaystyle z {stackrel {mathrm {def}} {{} = {}}} e ^ {sT},}$

kde T = 1/F_s je vzorkování období (v jednotkách času, např. v sekundách) a F_s je vzorkovací frekvence (v vzorků za sekundu nebo hertz ).

Nechat

${displaystyle Delta _ {T} (t) {stackrel {mathrm {def}} {=}} součet _ {n = 0} ^ {infty} delta (t-nT)}$

být vzorkovací impulzní sled (nazývaný také a Dirac hřeben ) a

${displaystyle {egin {aligned} x_ {q} (t) & {stackrel {mathrm {def}} {=}} x (t) Delta _ {T} (t) = x (t) sum _ {n = 0 } ^ {infty} delta (t-nT) & = součet _ {n = 0} ^ {infty} x (nT) delta (t-nT) = součet _ {n = 0} ^ {infty} x [n ] delta (t-nT) konec {zarovnáno}}}$

být vzorkovaná reprezentace spojitého času X(t)

${displaystyle x [n] {stackrel {mathrm {def}} {{} = {}}} x (nT) ~.}$

Laplaceova transformace vzorkovaného signálu X_q(t) je

${displaystyle {egin {aligned} X_ {q} (s) & = int _ {0 ^ {-}} ^ {infty} x_ {q} (t) e ^ {- st}, dt & = int _ { 0 ^ {-}} ^ {infty} součet _ {n = 0} ^ {infty} x [n] delta (t-nT) e ^ {- st}, dt & = součet _ {n = 0} ^ {infty} x [n] int _ {0 ^ {-}} ^ {infty} delta (t-nT) e ^ {- st}, dt & = součet _ {n = 0} ^ {infty} x [ n] e ^ {- nsT} ~ .end {zarovnáno}}}$

Toto je přesná definice jednostranné Z-transformace diskrétní funkce X[n]

${displaystyle X (z) = součet _ {n = 0} ^ {infty} x [n] z ^ {- n}}$

s nahrazením z → e^Svatý.

Při porovnání posledních dvou rovnic najdeme vztah mezi jednostrannou Z-transformací a Laplaceovou transformací vzorkovaného signálu,

${displaystyle X_ {q} (s) = X (z) {Big |} _ {z = e ^ {sT}}.}$

Podobnost mezi Z a Laplaceova transformace je rozšířena v teorii kalkul časové stupnice.

Borelova transformace

Integrální forma Borelova transformace

${displaystyle F (s) = int _ {0} ^ {infty} f (z) e ^ {- sz}, dz}$

je speciální případ Laplaceovy transformace pro F an celá funkce exponenciálního typu, to znamená

${displaystyle | f (z) | leq Ae ^ {B | z |}}$

pro některé konstanty A a B. Zobecněná Borelova transformace umožňuje k transformaci funkcí, které nejsou exponenciálního typu, použít jinou váhovou funkci než exponenciální. Nachbinova věta dává nezbytné a dostatečné podmínky, aby mohla být Borelova transformace dobře definována.

Základní vztahy

Protože obyčejnou Laplaceovu transformaci lze zapsat jako speciální případ oboustranné transformace a protože oboustrannou transformaci lze zapsat jako součet dvou jednostranných transformací, teorie Laplaceova, Fourierova, Mellinova -, a Z-transformace jsou dole stejným tématem. S každou z těchto čtyř hlavních integrálních transformací je však spojen odlišný úhel pohledu a odlišné charakteristické problémy.

Tabulka vybraných Laplaceových transformací

Následující tabulka poskytuje Laplaceovy transformace pro mnoho běžných funkcí jedné proměnné.^[27][28] Definice a vysvětlení viz Vysvětlivky na konci tabulky.

Protože Laplaceova transformace je lineární operátor,

• Laplaceova transformace součtu je součtem Laplaceových transformací každého členu.

${displaystyle {mathcal {L}} {f (t) + g (t)} = {mathcal {L}} {f (t)} + {mathcal {L}} {g (t)}}$

• Laplaceova transformace násobku funkce je mnohonásobná Laplaceova transformace této funkce.

${displaystyle {mathcal {L}} {af (t)} = a {mathcal {L}} {f (t)}}$

Pomocí této linearity, a různé trigonometrický, hyperbolický a vlastnosti a / nebo identity komplexního čísla (atd.) lze některé Laplaceovy transformace získat od ostatních rychleji než přímým použitím definice.

Jednostranná Laplaceova transformace bere jako vstup funkci, jejíž časovou doménou je nezáporné reals, což je důvod, proč jsou všechny funkce časové domény v tabulce níže násobky Heavisideovy skokové funkce, u(t).

Záznamy v tabulce, které zahrnují časové zpoždění τ jsou povinni být kauzální (znamenající, že τ > 0). Kauzální systém je systém, kde impulsní odezva h(t) je nula po celou dobu t před t = 0. Obecně platí, že oblast konvergence pro kauzální systémy není stejná jako oblast anticausal systémy.

Funkce	Časová doména ${displaystyle f (t) = {mathcal {L}} ^ {- 1} {F (s)}}$	Laplace s-doména ${displaystyle F (s) = {mathcal {L}} {f (t)}}$	Region konvergence	Odkaz
jednotkový impuls	${displaystyle delta (t)}$	${displaystyle 1}$	Všechno s	inspekce
zpožděný impuls	${displaystyle delta (t- au)}$	${displaystyle e ^ {- au s}}$		časový posun o jednotkový impuls
jednotkový krok	${displaystyle u (t)}$	${displaystyle {1 nad s}}$	Re(s) > 0	integrovat jednotkový impuls
opožděný krok jednotky	${displaystyle u (t- au)}$	${displaystyle {frac {1} {s}} e ^ {- au s}}$	Re(s) > 0	časový posun o jednotkový krok
rampa	${displaystyle tcdot u (t)}$	${displaystyle {frac {1} {s ^ {2}}}}$	Re(s) > 0	integrovat jednotku impulz dvakrát
nth síla (pro celé číslo n)	${displaystyle t ^ {n} cdot u (t)}$	${displaystyle {n! přes s ^ {n + 1}}}$	Re(s) > 0 (n > −1)	Integrovat jednotku krok n krát
qth síla (pro komplexní q)	${displaystyle t ^ {q} cdot u (t)}$	${displaystyle {Gamma (q + 1) nad s ^ {q + 1}}}$	Re(s) > 0 Re(q) > −1	[29][30]
nth kořen	${displaystyle {sqrt [{n}] {t}} cdot u (t)}$	${displaystyle {1 over s ^ {{frac {1} {n}} + 1}} Gamma left ({frac {1} {n}} + 1ight)}$	Re(s) > 0	Soubor q = 1/n výše.
nta síla s frekvenčním posunem	${displaystyle t ^ {n} e ^ {- alfa t} cdot u (t)}$	${displaystyle {frac {n!} {(s + alfa) ^ {n + 1}}}}$	Re(s) > −α	Integrovat krok jednotky, použít frekvenční posun
zpožděno nth síla s frekvenčním posunem	${displaystyle (t- au) ^ {n} e ^ {- alfa (t- au)} cdot u (t- au)}$	${displaystyle {frac {n! cdot e ^ {- au s}} {(s + alfa) ^ {n + 1}}}}$	Re(s) > −α	Integrovat krok jednotky, použít frekvenční posun, použít časový posun
exponenciální úpadek	${displaystyle e ^ {- alfa t} cdot u (t)}$	${displaystyle {1 over s + alpha}}$	Re(s) > −α	Frekvenční posun jednotkový krok
oboustranný exponenciální úpadek (pouze pro dvoustrannou transformaci)	${displaystyle e ^ {- alfa | t |}}$	${displaystyle {2alpha over alpha ^ {2} -s ^ {2}}}$	−α s) < α	Frekvenční posun jednotkový krok
exponenciální přístup	${displaystyle (1-e ^ {- alfa t}) cdot u (t)}$	${displaystyle {frac {alpha} {s (s + alpha)}}}$	Re(s) > 0	Krok jednotky minus exponenciální úpadek
sinus	${displaystyle sin (omega t) cdot u (t)}$	${displaystyle {omega over s ^ {2} + omega ^ {2}}}$	Re(s) > 0	Bracewell 1978, str. 227
kosinus	${displaystyle cos (omega t) cdot u (t)}$	${displaystyle {s over s ^ {2} + omega ^ {2}}}$	Re(s) > 0	Bracewell 1978, str. 227
hyperbolický sinus	${displaystyle sinh (alfa t) cdot u (t)}$	${displaystyle {alpha over s ^ {2} -alpha ^ {2}}}$	Re(s) > |α|	Williams 1973, str. 88
hyperbolický kosinus	${displaystyle cosh (alfa t) cdot u (t)}$	${displaystyle {s over s ^ {2} -alpha ^ {2}}}$	Re(s) > |α|	Williams 1973, str. 88
exponenciálně se rozpadající sinusoida	${displaystyle e ^ {- alfa t} sin (omega t) cdot u (t)}$	${displaystyle {omega over (s + alfa) ^ {2} + omega ^ {2}}}$	Re(s) > −α	Bracewell 1978, str. 227
exponenciálně se rozpadající kosinová vlna	${displaystyle e ^ {- alfa t} cos (omega t) cdot u (t)}$	${displaystyle {s + alfa nad (s + alfa) ^ {2} + omega ^ {2}}}$	Re(s) > −α	Bracewell 1978, str. 227
přirozený logaritmus	${displaystyle ln (t) cdot u (t)}$	${displaystyle - {1 over s}, left [ln (s) + gamma ight]}$	Re(s) > 0	Williams 1973, str. 88
Besselova funkce prvního druhu, řádu n	${displaystyle J_ {n} (omega t) cdot u (t)}$	${displaystyle {frac {left ({sqrt {s ^ {2} + omega ^ {2}}} - zrak) ^ {n}} {omega ^ {n} {sqrt {s ^ {2} + omega ^ {2 }}}}}}$	Re(s) > 0 (n > −1)	Williams 1973, str. 89
Chybová funkce	${displaystyle operatorname {erf} (t) cdot u (t)}$	${displaystyle {frac {1} {s}} e ^ {(1/4) s ^ {2}} vlevo (1-operatorname {erf} {frac {s} {2}} vpravo)}$	Re(s) > 0	Williams 1973, str. 89
Vysvětlivky: u(t) představuje Funkce Heaviside step. δ představuje Diracova delta funkce. Γ (z) představuje funkce gama. y je Euler – Mascheroniho konstanta. t, reálné číslo, obvykle představuje čas, i když to může představovat žádný nezávislý rozměr. s je komplex parametr frekvenční domény a Re(s) je jeho skutečná část. α, β, τ, a ω jsou reálná čísla. n je celé číslo.

s-doménové ekvivalentní obvody a impedance

Laplaceova transformace se často používá při analýze obvodů a jednoduchých převodech na s- lze vytvořit doménu prvků obvodu. Elementy obvodu lze transformovat na impedance, velmi podobné fázor impedance.

Zde je souhrn ekvivalentů:

Všimněte si, že rezistor je přesně stejný v časové oblasti a s-doména. Zdroje jsou vloženy, pokud jsou na prvcích obvodu počáteční podmínky. Například pokud má kondenzátor počáteční napětí nebo pokud má induktor počáteční proud, zdroje vložené do s- účet za to.

Ekvivalenty pro zdroje proudu a napětí jsou jednoduše odvozeny z transformací v tabulce výše.

Příklady a aplikace

Laplaceova transformace se často používá v inženýrství a fyzika; výstup a lineární časově invariantní Systém lze vypočítat převedením jeho jednotkové impulzní odezvy se vstupním signálem. Provedení tohoto výpočtu v Laplaceově prostoru změní konvoluci na násobení; druhé je snazší řešit kvůli jeho algebraické formě. Další informace viz teorie řízení. Laplaceova transformace je invertibilní u velké třídy funkcí. Vzhledem k jednoduchému matematickému nebo funkčnímu popisu vstupu nebo výstupu do a Systém „Laplaceova transformace poskytuje alternativní funkční popis, který často zjednodušuje proces analýzy chování systému nebo syntézu nového systému na základě souboru specifikací.^[31]

Laplaceovu transformaci lze také použít k řešení diferenciálních rovnic a používá se značně v strojírenství a elektrotechnika. Laplaceova transformace redukuje lineární diferenciální rovnici na algebraickou rovnici, kterou lze poté vyřešit formálními pravidly algebry. Původní diferenciální rovnici lze poté vyřešit použitím inverzní Laplaceovy transformace. Anglický elektrotechnik Oliver Heaviside nejprve navrhl podobné schéma, i když bez použití Laplaceovy transformace; a výsledný operační počet je připočítán jako Heavisideův počet.

Hodnocení nesprávných integrálů

Nechat ${displaystyle {mathcal {L}} vlevo {f (t) ight} = F (s)}$. Potom (viz tabulka výše)

${displaystyle {mathcal {L}} vlevo {{frac {f (t)} {t}} ight} = int _ {0} ^ {infty} {frac {f (t)} {t}} e ^ {- st}, dt = int _ {s} ^ {infty} F (p), dp.}$

V limitu ${displaystyle sightarrow 0}$, jeden dostane

${displaystyle int _ {0} ^ {infty} {frac {f (t)} {t}}, dt = int _ {0} ^ {infty} F (p), dp,}$

za předpokladu, že lze změnu mezí odůvodnit. I když nelze výměnu ospravedlnit, může být výpočet sugestivní. Například s A ≠ 0 ≠ b, postupující formálně jeden má

${displaystyle {egin {aligned} int _ {0} ^ {infty} {frac {cos (at) -cos (bt)} {t}}, dt & = int _ {0} ^ {infty} left ({frac { p} {p ^ {2} + a ^ {2}}} - {frac {p} {p ^ {2} + b ^ {2}}} ight), dp [6pt] & = {Biggl [} {frac {1} {2}} left.ln {frac {p ^ {2} + a ^ {2}} {p ^ {2} + b ^ {2}}} ight | _ {0} ^ {infty } {Biggl]} = {frac {1} {2}} ln {frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}} = ln {Biggl |} {frac {b} {a}} {Biggl |} .end {zarovnáno}}}$

Platnost této identity lze prokázat jinými prostředky. Je to příklad a Frullani integrální.

Dalším příkladem je Dirichletův integrál.

Komplexní impedance kondenzátoru

V teorii elektrické obvody, tok proudu v a kondenzátor je úměrná kapacitě a rychlosti změny elektrického potenciálu (v SI Jednotky). Symbolicky je to vyjádřeno diferenciální rovnicí

${displaystyle i = C {dv over dt},}$

kde C je kapacita (v farady ) kondenzátoru, i = i(t) je elektrický proud (v ampéry ) přes kondenzátor jako funkci času a proti = proti(t) je Napětí (v voltů ) přes svorky kondenzátoru, také jako funkce času.

Vezmeme Laplaceovu transformaci této rovnice a získáme ji

${displaystyle I (s) = C (sV (s) -V_ {0}),}$

kde

${displaystyle {egin {aligned} I (s) & = {mathcal {L}} {i (t)}, V (s) & = {mathcal {L}} {v (t)}, konec {zarovnáno} }}$

a

${displaystyle V_ {0} = v (t) {Big |} _ {t = 0}.,}$

Řešení pro PROTI(s) my máme

${displaystyle V (s) = {I (s) over sC} + {V_ {0} over s}.}$

Definice komplexní impedance Z (v ohmy ) je poměr komplexního napětí PROTI děleno komplexním proudem Já zatímco drží počáteční stav PROTI₀ na nule:

${displaystyle Z (s) = left. {V (s) over I (s)} ight | _ {V_ {0} = 0}.}$

Pomocí této definice a předchozí rovnice zjistíme:

${displaystyle Z (s) = {frac {1} {sC}},}$

což je správný výraz pro komplexní impedanci kondenzátoru. Kromě toho má Laplaceova transformace velké uplatnění v teorii řízení.

Částečné rozšíření frakce

Zvažte lineární časově invariantní systém s přenosová funkce

${displaystyle H (s) = {frac {1} {(s + alfa) (s + eta)}}}$

The impulsní odezva je jednoduše inverzní Laplaceova transformace této přenosové funkce:

${displaystyle h (t) = {mathcal {L}} ^ {- 1} {H (s)}.}$

Abychom vyhodnotili tuto inverzní transformaci, začneme rozšiřováním H(s) pomocí metody částečné expanze frakce,

${displaystyle {frac {1} {(s + alfa) (s + eta)}} = {P nad s + alfa} + {R nad s + eta}.}$

Neznámé konstanty P a R jsou zbytky umístěné na odpovídajících pólech přenosové funkce. Každý zbytek představuje jeho relativní příspěvek jedinečnost na celkový tvar přenosové funkce.

Podle věta o zbytku, inverzní Laplaceova transformace závisí pouze na pólech a jejich zbytcích. Najít zbytek P, vynásobíme obě strany rovnice s + α dostat

${displaystyle {frac {1} {s + eta}} = P + {R (s + alfa) nad s + eta}.}$

Pak necháním s = −α, příspěvek od R zmizí a vše, co zbylo, je

${displaystyle P = left. {1 over s + eta} ight | _ {s = -alpha} = {1 over eta -alpha}.}$

Similarly, the residue R darováno

${displaystyle R=left.{1 over s+alpha }ight|_{s=- eta }={1 over alpha - eta }.}$

Všimněte si, že

${displaystyle R={-1 over eta -alpha }=-P}$

and so the substitution of R a P into the expanded expression for H(s) dává

${displaystyle H(s)=left({frac {1}{ eta -alpha }}ight)cdot left({1 over s+alpha }-{1 over s+ eta }ight).}$

Finally, using the linearity property and the known transform for exponential decay (see Položka #3 v Table of Laplace Transforms, above), we can take the inverse Laplace transform of H(s) získat

${displaystyle h(t)={mathcal {L}}^{-1}{H(s)}={frac {1}{ eta -alpha }}left(e^{-alpha t}-e^{- eta t}ight),}$

which is the impulse response of the system.

Konvoluce

The same result can be achieved using the convolution property as if the system is a series of filters with transfer functions of 1/(s + A) a 1/(s + b). That is, the inverse of

${displaystyle H(s)={frac {1}{(s+a)(s+b)}}={frac {1}{s+a}}cdot {frac {1}{s+b}}}$

je

${displaystyle {mathcal {L}}^{-1}!left{{frac {1}{s+a}}ight}*{mathcal {L}}^{-1}!left{{frac {1}{s+b}}ight}=e^{-at}*e^{-bt}=int _{0}^{t}e^{-ax}e^{-b(t-x)},dx={frac {e^{-at}-e^{-bt}}{b-a}}.}$

Fázové zpoždění

Time function	Laplaceova transformace
${displaystyle sin {(omega t+varphi )}}$	${displaystyle {frac {ssin(varphi )+omega cos(varphi )}{s^{2}+omega ^{2}}}}$
${displaystyle cos {(omega t+varphi )}}$	${displaystyle {frac {scos(varphi )-omega sin(varphi )}{s^{2}+omega ^{2}}}.}$

Starting with the Laplace transform,

${displaystyle X(s)={frac {ssin(varphi )+omega cos(varphi )}{s^{2}+omega ^{2}}}}$

we find the inverse by first rearranging terms in the fraction:

${displaystyle { egin{aligned}X(s)&={frac {ssin(varphi )}{s^{2}+omega ^{2}}}+{frac {omega cos(varphi )}{s^{2}+omega ^{2}}}&=sin(varphi )left({frac {s}{s^{2}+omega ^{2}}}ight)+cos(varphi )left({frac {omega }{s^{2}+omega ^{2}}}ight).end{aligned}}}$

We are now able to take the inverse Laplace transform of our terms:

${displaystyle { egin{aligned}x(t)&=sin(varphi ){mathcal {L}}^{-1}left{{frac {s}{s^{2}+omega ^{2}}}ight}+cos(varphi ){mathcal {L}}^{-1}left{{frac {omega }{s^{2}+omega ^{2}}}ight}&=sin(varphi )cos(omega t)+sin(omega t)cos(varphi ).end{aligned}}}$

This is just the sine of the sum of the arguments, yielding:

${displaystyle x(t)=sin(omega t+varphi ).}$

We can apply similar logic to find that

${displaystyle {mathcal {L}}^{-1}left{{frac {scos varphi -omega sin varphi }{s^{2}+omega ^{2}}}ight}=cos {(omega t+varphi )}.}$

Statistická mechanika

v statistická mechanika, the Laplace transform of the density of states ${displaystyle g(E)dE}$ definuje funkce oddílu.^[32] That is, the canonical partition function ${displaystyle Z( eta )}$ darováno

${displaystyle Z( eta )=int _{0}^{infty }e^{- eta E}g(E)dE}$

and the inverse is given by

${displaystyle g(E)={frac {1}{2pi i}}int _{ eta _{0}-iinfty }^{ eta _{0}+iinfty }e^{ eta E}Z( eta )d eta }$

Galerie

Viz také

Poznámky

Reference

Moderní

• Bracewell, Ronald N. (1978), The Fourier Transform and its Applications (2nd ed.), McGraw-Hill Kogakusha, ISBN  978-0-07-007013-4
• Bracewell, R. N. (2000), The Fourier Transform and Its Applications (3rd ed.), Boston: McGraw-Hill, ISBN  978-0-07-116043-8
• Feller, William (1971), Úvod do teorie pravděpodobnosti a jejích aplikací. Sv. II., Druhé vydání, New York: John Wiley & Sons, PAN  0270403
• Korn, G. A.; Korn, T. M. (1967), Matematická příručka pro vědce a inženýry (2nd ed.), McGraw-Hill Companies, ISBN  978-0-07-035370-1
• Widder, David Vernon (1941), The Laplace Transform, Princeton Mathematical Series, v. 6, Princeton University Press, PAN  0005923
• Williams, J. (1973), Laplace Transforms, Problem Solvers, George Allen & Unwin, ISBN  978-0-04-512021-5
• Takacs, J. (1953), "Fourier amplitudok meghatarozasa operatorszamitassal", Magyar Hiradastechnika (in Hungarian), IV (7–8): 93–96

Historický

• Euler, L. (1744), "De constructione aequationum" [The Construction of Equations], Opera Omnia, 1st series (in Latin), 22: 150–161
• Euler, L. (1753), "Methodus aequationes differentiales" [A Method for Solving Differential Equations], Opera Omnia, 1st series (in Latin), 22: 181–213
• Euler, L. (1992) [1769], "Institutiones calculi integralis, Volume 2" [Institutions of Integral Calculus], Opera Omnia, 1st series (in Latin), Basel: Birkhäuser, 12, ISBN  978-3764314743, Chapters 3–5
• Euler, Leonhard (1769), Institutiones calculi integralis [Institutions of Integral Calculus] (v latině), II, Paris: Petropoli, ch. 3–5, pp. 57–153
• Grattan-Guinness, I (1997), "Laplace's integral solutions to partial differential equations", in Gillispie, C. C. (ed.), Pierre Simon Laplace 1749–1827: A Life in Exact SciencePrinceton: Princeton University Press, ISBN  978-0-691-01185-1
• Lagrange, J. L. (1773), Mémoire sur l'utilité de la méthode, Œuvres de Lagrange, 2, pp. 171–234