Konvexní kombinace - Convex combination

Vzhledem k tomu, tři body

{ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}}

v rovině, jak je znázorněno na obrázku, bod

{ displaystyle P}

je konvexní kombinace tří bodů, zatímco

{ displaystyle Q}

je ne.

(

{ displaystyle Q}

je však afinní kombinací těchto tří bodů afinní trup je celá rovina.)

v konvexní geometrie, a konvexní kombinace je lineární kombinace z bodů (který může být vektory, skaláry, nebo obecněji body v afinní prostor ) kde všichni koeficienty jsou nezáporné a součet na 1.^[1]

Více formálně, vzhledem k konečnému počtu bodů ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, tečky, x_ {n}}$ v skutečný vektorový prostor, konvexní kombinace těchto bodů je bodem formy

{ displaystyle alpha _ {1} x_ {1} + alpha _ {2} x_ {2} + cdots + alpha _ {n} x_ {n}}

kde jsou skutečná čísla ${ displaystyle alpha _ {i}}$ uspokojit ${ displaystyle alpha _ {i} geq 0}$ a ${ displaystyle alpha _ {1} + alpha _ {2} + cdots + alpha _ {n} = 1.}$ ^[1]

Jako zvláštní příklad leží každá konvexní kombinace dvou bodů na úsečka mezi body.^[1]

Sada je konvexní pokud obsahuje všechny konvexní kombinace svých bodů konvexní obal dané množiny bodů je totožná se sadou všech jejich konvexních kombinací.^[1]

Existují podmnožiny vektorového prostoru, které nejsou uzavřeny v lineárních kombinacích, ale jsou uzavřeny v konvexních kombinacích. Například interval ${ displaystyle [0,1]}$ je konvexní, ale generuje linku reálného čísla v lineárních kombinacích. Dalším příkladem je konvexní sada rozdělení pravděpodobnosti, protože lineární kombinace nezachovávají ani nezápornost, ani afinitu (tj. mají celkovou integrální).

Ostatní objekty

Podobně konvexní kombinace ${ displaystyle X}$ z náhodné proměnné ${ displaystyle Y_ {i}}$ je vážený součet (kde ${ displaystyle alpha _ {i}}$ splňují stejná omezení jako výše) jejích distribucí pravděpodobnosti složek, často nazývaných a distribuce konečné směsi, s funkce hustoty pravděpodobnosti:

{ displaystyle f_ {X} (x) = součet _ {i = 1} ^ {n} alpha _ {i} f_ {Y_ {i}} (x)}

Související konstrukce

A kónická kombinace je lineární kombinace s nezápornými koeficienty. Když bod ${ displaystyle x}$ má být použit jako referenční počátek pro definování vektory posunutí, pak ${ displaystyle x}$ je konvexní kombinace ${ displaystyle n}$ bodů ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, tečky, x_ {n}}$ právě tehdy, když je posunutí nuly netriviální kónická kombinace Jejich ${ displaystyle n}$ příslušné vektory posunutí vzhledem k ${ displaystyle x}$ .
Vážené prostředky jsou funkčně stejné jako konvexní kombinace, ale používají jinou notaci. Koeficienty (závaží ) váženým průměrem se nevyžaduje součet na 1; místo toho je vážená lineární kombinace výslovně rozdělena počtem vah.
Afinní kombinace jsou jako konvexní kombinace, ale nemusí být nezáporné. Proto jsou afinní kombinace definovány ve vektorových prostorech nad libovolnými pole.

Viz také

Reference

^ ^A ^b ^C ^d Rockafellar, R. Tyrrell (1970), Konvexní analýza, Princetonská matematická řada, 28„Princeton University Press, Princeton, N.J., s. 11–12, PAN 0274683

[rock-1] A ^b ^C ^d Rockafellar, R. Tyrrell (1970), Konvexní analýza, Princetonská matematická řada, 28„Princeton University Press, Princeton, N.J., s. 11–12, PAN 0274683

[1]