Rozšířená záporná binomická distribuce - Extended negative binomial distribution - Wikipedia

v pravděpodobnost a statistika the rozšířená záporná binomická distribuce je diskrétní rozdělení pravděpodobnosti prodloužení negativní binomické rozdělení. Je to zkrácen verze záporné binomické distribuce^[1] pro které byly studovány metody odhadu.^[2]

V kontextu pojistněmatematická věda, distribuce se objevila v obecné podobě v příspěvku K. Hessa, A. Liewalda a K.D. Schmidt^[3] když charakterizovali všechny distribuce, pro které se rozšířilo Panjerova rekurze funguje. Pro případ $m = 1$ , o distribuci již hovořil Willmot^[4] a dát se do parametrizované rodiny s logaritmická distribuce a negativní binomické rozdělení podle H.U. Gerber.^[5]

Funkce pravděpodobnostní hmotnosti

Pro přirozené číslo $m \geq 1$ a skutečné parametry $p$ , $r$ s $0 < p \leq 1$ a $- m < r < - m + 1$ , funkce pravděpodobnostní hmotnosti ExtNegBin ( $m$ , $r$ , $p$ ) distribuce je dána

{ displaystyle f (k; m, r, p) = 0 qquad { text {pro}} k v {0,1, ldots, m-1 }}

a

{ displaystyle f (k; m, r, p) = { frac {{k + r-1 zvolit k} p ^ {k}} {(1-p) ^ {- r} - součet _ { j = 0} ^ {m-1} {j + r-1 vyberte j} p ^ {j}}} quad { text {pro}} k v { mathbb {N}} { text { s}} k geq m,}

kde

{ displaystyle {k + r-1 zvolit k} = { frac { gama (k + r)} {k! , gama (r)}} = (- 1) ^ {k} , { -r vyberte k} qquad qquad (1)}

je (zobecněný) binomický koeficient a $Γ$ označuje funkce gama.

Funkce generující pravděpodobnost

Pomocí toho $F ( . ; m, r, ps)$ pro $s \in$ $(0, 1]$ je také pravděpodobnostní hromadná funkce, z toho vyplývá, že funkce generující pravděpodobnost je dána

{ displaystyle { begin {seřazeno} varphi (s) & = sum _ {k = m} ^ { infty} f (k; m, r, p) s ^ {k} & = { frac {(1-ps) ^ {- r} - sum _ {j = 0} ^ {m-1} { binom {j + r-1} {j}} (ps) ^ {j}} { (1-p) ^ {- r} - sum _ {j = 0} ^ {m-1} { binom {j + r-1} {j}} p ^ {j}}} qquad { text {for}} | s | leq { frac {1} {p}}. end {zarovnáno}}}

Pro důležitý případ $m = 1$ , proto $r \in$ $(-1, 0)$ , to zjednodušuje na

{ displaystyle varphi (s) = { frac {1- (1-ps) ^ {- r}} {1- (1-p) ^ {- r}}} qquad { text {pro}} | s | leq { frac {1} {p}}.}

Reference

^ Jonhnson, N.L .; Kotz, S .; Kemp, A.W. (1993) Jednorozměrné diskrétní distribuce, 2. vydání, Wiley ISBN 0-471-54897-9 (strana 227)
^ Shah S.M. (1971) „Posunutá záporná binomická distribuce“, Bulletin Kalkatské statistické asociace, 20, 143–152
^ Hess, Klaus Th .; Anett Liewald; Klaus D. Schmidt (2002). „Rozšíření Panjerovy rekurze“ (PDF). Bulletin ASTIN. 32 (2): 283–297. doi:10.2143 / AST.32.2.1030. PAN 1942940. Zbl 1098.91540.
^ Willmot, Gordon (1988). „Sundtova a Jewellova rodina diskrétních distribucí“ (PDF). Bulletin ASTIN. 18 (1): 17–29. doi:10.2143 / AST.18.1.2014957.
^ Gerber, Hans U. (1992). "Od generalizovaného gama po generalizované negativní binomické rozdělení". Pojištění: Matematika a ekonomie. 10 (4): 303–309. doi:10.1016 / 0167-6687 (92) 90061-F. ISSN 0167-6687. PAN 1172687. Zbl 0743.62014.

[1] Jonhnson, N.L .; Kotz, S .; Kemp, A.W. (1993) Jednorozměrné diskrétní distribuce, 2. vydání, Wiley ISBN 0-471-54897-9 (strana 227)

[2] Shah S.M. (1971) „Posunutá záporná binomická distribuce“, Bulletin Kalkatské statistické asociace, 20, 143–152

[Schmidt-3] Hess, Klaus Th .; Anett Liewald; Klaus D. Schmidt (2002). „Rozšíření Panjerovy rekurze“ (PDF). Bulletin ASTIN. 32 (2): 283–297. doi:10.2143 / AST.32.2.1030. PAN 1942940. Zbl 1098.91540.

[Willmot-4] Willmot, Gordon (1988). „Sundtova a Jewellova rodina diskrétních distribucí“ (PDF). Bulletin ASTIN. 18 (1): 17–29. doi:10.2143 / AST.18.1.2014957.

[Gerber-5] Gerber, Hans U. (1992). "Od generalizovaného gama po generalizované negativní binomické rozdělení". Pojištění: Matematika a ekonomie. 10 (4): 303–309. doi:10.1016 / 0167-6687 (92) 90061-F. ISSN 0167-6687. PAN 1172687. Zbl 0743.62014.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Pravděpodobnostní rozdělení (Seznam )
Diskrétní univariate s konečnou podporou	Benford Bernoulli beta-binomický binomický kategorický hypergeometrický Poissonův binomický Rademacher soliton diskrétní uniforma Zipf Zipf – Mandelbrot
Diskrétní univariate s nekonečnou podporou	beta negativní binomický Borel Conway – Maxwell – Poisson diskrétní fázový typ Delaporte rozšířený záporný binomický Flory – Schulz Gauss – Kuzmin geometrický logaritmický negativní binomický Panjer parabolický fraktál jed Skellam Yule – Simon zeta
Kontinuální univariate podporováno v omezeném intervalu	arcsine ARGUS Plešatění - Nichols Bates beta beta obdélníkový kontinuální Bernoulli Irwin – Hall Kumaraswamy logit-normální noncentral beta zvýšený kosinus reciproční trojúhelníkový U-kvadratický jednotný Wigner půlkruh
Kontinuální univariate podporováno v poloneomezeném intervalu	Benini Benktander 1. druhu Benktander 2. druhu beta prime Burr chi-kvadrát chi Dagum Davise exponenciálně-logaritmická Erlang exponenciální F složené normální Fréchet gama gama / Gompertz zobecněná gama generalizovaná inverzní Gaussian Gompertz poloviční logistika napůl normální Hotelling's T- naštvaný hyper-Erlang hyperexponenciální hypoexponenciální inverzní chí-kvadrát měřítko inverzní chi-kvadrát inverzní Gaussian inverzní gama Kolmogorov Lévy log-Cauchy log-Laplace log-logistické normální log Lomax matice-exponenciální Maxwell – Boltzmann Maxwell – Jüttner Mittag-Leffler Nakagami necentrální chi-kvadrát necentrální F Pareto fázový typ poly-Weibull Rayleigh relativistický Breit – Wigner Rýže posunul Gompertz zkrácen normální Gumbel typu 2 Weibulle diskrétní Weibull Wilksova lambda
Kontinuální univariate podporováno na celé reálné linii	Cauchy exponenciální síla Fisher z Gaussian q generalizované normální generalizované hyperbolické geometrický stabilní Gumbel Holtsmark hyperbolický sekans Johnson S_U Landau Laplace asymetrický Laplace logistické necentrální t normální (Gaussian) normálně-inverzní Gaussian zkosení normální rozřezat stabilní Studentské t Gumbel typu 1 Tracy – Widom variance-gama Voigt
Kontinuální univariate s podporou, jejíž typ se liší	generalizovaný chí-kvadrát zobecněná extrémní hodnota zobecněný Pareto Marchenko – Pastur q-exponenciální q-Gaussian q-Weibulle posunutá log-logistika Tukey lambda
Smíšené spojité diskrétní univariate	opravený Gaussian
Vícerozměrný (společný)	Oddělený Ewens multinomiální Dirichlet-multinomiální negativní multinomiální Kontinuální Dirichlet zobecněný Dirichlet vícerozměrný Laplace vícerozměrný normální multivariační stabilní vícerozměrný t normální-inverzní-gama normální-gama Maticovou hodnotu inverzní matice gama inverzní Wishart matice normální matice t matice gama normální-inverzní-Wishart normální-Wishart Wishart
Směrový	Univariate (kruhový) směrový Kruhová uniforma univariate von Mises zabalené normální zabalený Cauchy zabalený exponenciál zabalený asymetrický Laplace zabalený Lévy Bivariate (sférické) Kent Bivariate (toroidní) bivariát von Mises Vícerozměrný von Mises – Fisher Bingham
Degenerovat a jednotné číslo	Degenerovat Diracova delta funkce Jednotné číslo Cantor
Rodiny	Oběžník složený Poisson eliptický exponenciální přirozený exponenciál měřítko umístění maximální entropie směs Pearson Tweedie zabalené