Hyperfinitní sada - Hyperfinite set - Wikipedia

v nestandardní analýza, pobočka matematika, a hyperfinitní množina nebo * - konečná sada je typ vnitřní sada. Interní sada H vnitřní mohutnosti G ∈ *N (dále jen hypernaturals ) je hyperfinitní kdyby a jen kdyby existuje interní bijekce mezi G = {1,2,3,...,G} a H.^[1][2] Hyperfinitní množiny sdílejí vlastnosti konečných množin: Hyperfinitní množina má minimální a maximální prvky a může být odvozeno hyperfinitní sjednocení hyperfinitního souboru hyperfinitních sad. Součet prvků jakékoli hyperfinitní podmnožiny *R vždy existuje, což vede k možnosti dobře definované integrace.^[2]

Hyperfinitní množiny lze použít k přiblížení ostatních množin. Pokud se hyperfinitní množina přibližuje intervalu, nazývá se a blízký interval s ohledem na tento interval. Zvažte hyperfinitní množinu ${ displaystyle K = {k_ {1}, k_ {2}, dots, k_ {n}}}$ s hyperpřirozeným n. K. je blízký interval pro [A,b] pokud k₁ = A a k_n = b, a pokud je rozdíl mezi po sobě následujícími prvky K. je infinitezimální. Jinak řečeno, u každého platí požadavek r ∈ [A,b] tady je k_i ∈ K. takhle k_i ≈ r. To například umožňuje aproximaci k jednotkový kruh, považovaný za sadu ${ displaystyle e ^ {i theta}}$ pro θ v intervalu [0,2π].^[2]

Obecně podmnožiny hyperfinitních množin nejsou hyperfinitní, často proto, že neobsahují extrémní prvky nadřazené množiny.^[3]

Konstrukce Ultrapower

Z hlediska ultrapower konstrukce, hyperrealistická čára *R je definována jako sbírka třídy ekvivalence sekvencí ${ displaystyle langle u_ {n}, n = 1,2, ldots rangle}$ reálných čísel u_n. Jmenovitě třída ekvivalence definuje hyperreal, označený ${ displaystyle [u_ {n}]}$ v Goldblattově notaci. Podobně libovolný hyperfinit zadaný v *R je ve formě ${ displaystyle [A_ {n}]}$, a je definován posloupností ${ displaystyle langle A_ {n} rangle}$ konečných množin ${ displaystyle A_ {n} subseteq mathbb {R}, n = 1,2, ldots}$^[4]

Poznámky

externí odkazy

• M. Insall. „Hyperfinitní sada“. MathWorld.