Provozní počet - Operational calculus - Wikipedia

Provozní počet, také známý jako provozní analýza, je technika, při které problémy v analýza, zejména diferenciální rovnice, jsou transformovány do algebraických problémů, obvykle problému řešení a polynomiální rovnice.

Dějiny

Myšlenka reprezentovat procesy kalkulu, diferenciace a integrace jako operátorů má dlouhou historii, která sahá až k Gottfried Wilhelm Leibniz. Matematik Louis François Antoine Arbogast byl jedním z prvních, kdo manipuloval s těmito symboly nezávisle na funkci, na kterou byly použity.^[1]

Tento přístup dále rozvinul Francois-Joseph Servois kdo vytvořil pohodlné notace.^[2] Po Servois následovala škola britských a irských matematiků včetně Charles James Hargreave, George Boole Bownin, Carmichael, Doukin, Graves, Murphy, William Spottiswoode a Sylvester.

Pojednání popisující použití metod operátoru na obyčejné a parciální diferenciální rovnice napsal Robert Bell Carmichael v roce 1855^[3] a Boole v roce 1859.^[4]

Tuto techniku ​​plně vyvinul fyzik Oliver Heaviside v roce 1893, v souvislosti s jeho prací v telegrafie.

[Heaviside], vedený intuicí a svými bohatými znalostmi fyziky za studiem obvodů, vytvořil operační kalkul, který je nyní připisován jeho jménu.^[5]

V té době nebyly Heavisideovy metody přísné a jeho práce nebyla matematiky dále rozvíjena. Provozní počet poprvé nalezl aplikace v systému Windows elektrotechnika problémy, pro výpočet přechodných jevů v lineární obvody po roce 1910, na popud Ernst Julius Berg, John Renshaw Carson a Vannevar Bush.

Důsledné matematické zdůvodnění operačních metod Heaviside přišlo až po práci Bromwich související operační počet s Laplaceova transformace metody (podrobnou expozici viz knihy Jeffreys, Carslaw nebo MacLachlan). Další způsoby ospravedlnění provozních metod Heaviside byly zavedeny v polovině 20. let 20. století pomocí integrální rovnice techniky (jak provádí Carson) nebo Fourierova transformace (jak to udělal Norbert Wiener ).

Odlišný přístup k operačnímu počtu vyvinul ve 30. letech polský matematik Jan Mikusiński pomocí algebraického uvažování.

Norbert Wiener položil základy teorie operátorů ve svém přehledu existenčního stavu operativního počtu v roce 1926:^[6]

Brilantní práce Heaviside je čistě heuristická, postrádá dokonce předstírání matematické přesnosti. Jeho operátoři platí pro elektrická napětí a proudy, které mohou být přerušované a rozhodně nemusí být analytické. Například oblíbený korpus hnusný na kterém vyzkouší své operátory funkce který zmizí nalevo od počátku a je 1 napravo. To vylučuje jakékoli přímé použití metod Pincherle…

Ačkoli vývoj Heaviside nebyl ospravedlněn současným stavem čistě matematické teorie operátorů, existuje mnoho toho, co můžeme nazvat experimentálním důkazem jejich platnosti, a jsou velmi cenné pro elektrotechnici. Existují však případy, kdy vedou k nejednoznačným nebo rozporuplným výsledkům.

Zásada

Klíčovým prvkem provozního počtu je vzít v úvahu diferenciace jako operátor p = d/dt jednající na funkce. Lineární diferenciální rovnice lze poté přepracovat ve formě „funkcí“ F(p) operátoru p působícího na neznámou funkci rovnající se známé funkci. Tady, F definuje něco, co přijme operátor p a vrátí jiný operátor F(p). Řešení se poté získají vytvořením inverzního operátoru F jednat podle známé funkce. Provozní počet je typicky charakterizován dvěma symboly, operátorem p a funkce jednotky 1. Operátor při jeho použití je pravděpodobně více matematický než fyzický, jednotka funguje více fyzicky než matematicky. Operátor p v Heavisideově kalkulu má zpočátku představovat časový derivátor d/dt. Dále je žádoucí, aby tento operátor nese vzájemný vztah tak, že p⁻¹ označuje činnost integrace.^[5]

V teorii elektrických obvodů se člověk snaží určit odezvu elektrický obvod na popud. Kvůli linearitě stačí zvážit a jednotkový krok:

Funkce Heaviside step: H(t) takhle H(t) = 0 pokud t <0 a H(t) = 1 pokud t > 0.

Nejjednodušším příkladem použití operačního kalkulu je řešení: py = H(t), což dává

${ displaystyle y = operatorname {p} ^ {- 1} H = int _ {0} ^ {t} H (u) operatorname {d} u = t H (t)}$.

Z tohoto příkladu to člověk vidí ${ displaystyle operatorname {p} ^ {- 1}}$ představuje integrace. Dále n iterovanou integraci představuje ${ displaystyle operatorname {p} ^ {- n},}$ aby

${ displaystyle operatorname {p} ^ {- n} H (t) = { frac {t ^ {n}} {n!}} H (t).}$

Pokračujeme v zacházení s p, jako by to byla proměnná,

${ displaystyle { frac { operatorname {p}} { operatorname {p} -a }} H (t) = { frac {1} { 1 - { frac {a} { operatorname { p}}} }} H (t),}$

které lze přepsat pomocí a geometrické řady expanze,

${ displaystyle { frac {1} {1 - { frac {a} { operatorname {p}}}}} H (t) = součet _ {n = 0} ^ { infty} a ^ {n } operatorname {p} ^ {- n} H (t) = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {a ^ {n} t ^ {n}} {n!}} H (t) = e ^ {at} H (t)}$.

Použitím částečný zlomek rozklad, lze definovat libovolný zlomek v operátoru p a vypočítat jeho akci na H(t) . Navíc pokud je funkce 1 /F(p) má řadu rozšíření formuláře

${ displaystyle { frac {1} { F ( operatorname {p}) }} = součet _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} operatorname {p} ^ {- n} }$,

je snadné najít

${ displaystyle { frac {1} { F ( operatorname {p}) }} H (t) = součet _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} { frac {t ^ {n}} {n!}} H (t)}$.

Použitím tohoto pravidla se řešení jakékoli lineární diferenciální rovnice sníží na čistě algebraický problém.

Heaviside šel dále a definoval zlomkovou mocninu p, čímž vytvořil spojení mezi operačním počtem a zlomkový počet.

Za použití Taylorova expanze, lze také ověřit Lagrange-Boole překladový vzorec, E^{A p} F(t) = F(t+A), takže provozní počet je použitelný i pro konečný rozdílové rovnice a na problémy elektrotechniky se zpožděnými signály.

Reference

• Terquem a Gerono (1855) Nouvelles Annales de Mathematiques: journal des candidats aux écoles polytechnique et normale 14, 83 [Některé historické odkazy na předchůdce fungují až do Carmichaela].
• O. Heaviside (1892) Elektrické papíry, Londýn
• O. Heaviside (1893, 1899, 1902) Elektromagnetická teorie, Londýn
• O. Heaviside (1893) Proc. Roy. Soc. (Londýn) 52: 504-529, 54: 105-143 (1894)
• J. R. Carson (1926) Býk. Amer. Matematika. Soc. 32, 43.
• J. R. Carson (1926) Teorie elektrického obvodu a operační počet, McGraw Hill).
• H. Jeffreys (1927) Operační metody v matematické fyzice Cambridge University Press, také na adrese Internetový archiv
• H. W. March (1927) Býk. Amer. Matematika. Soc. 33, 311, 33, 492 .
• Ernst Berg (1929) Heavisideův provozní kalkul, McGraw Hill prostřednictvím internetového archivu
• Vannevar Bush (1929) Analýza provozních obvodů s dodatkem od Norbert Wiener, John Wiley & Sons
• H. T. Davis (1936) Teorie lineárních operátorů (Principia Press, Bloomington).
• N. W. Mc Lachlan (1941) Moderní operační kalkul (Macmillan).
• H. S. Carslaw (1941) Operační metody v aplikované matematice Oxford University Press.
• Balthasar van der Pol & H. Bremmer (1950) Provozní počet Cambridge University Press
• B. van der Pol (1950) „Heaviside's Operational Calculus“ v Heaviside Centenary Volume podle Ústav elektrotechniků
• R. V. Churchill (1958) Operační matematika McGraw-Hill
• J. Mikusinski (1960) Provozní počet Elsevier
• Rota, G. C .; Kahaner, D .; Odlyzko, A. (1973). „Na základech kombinatorické teorie. VIII. Konečný počet operátorů“. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 42 (3): 684. doi:10.1016 / 0022-247X (73) 90172-8.
• Jesper Lützen (1979) „Heavisideův operační kalkul a pokusy jej rigorizovat“, Archiv pro historii přesných věd 21(2): 161–200 doi:10.1007 / BF00330405
• Paul J. Nahin (1985) Oliver Heaviside, frakční operátoři a věk Země, Transakce IEEE ve vzdělávání E-28 (2): 94–104, odkaz z IEEE Explore.
• James B. Calvert (2002) Heaviside, Laplace a inverzní integrál, z University of Denver.

externí odkazy

• IV Lindell PROVOZNÍ PRAVIDLA HEAVISIDE TÝKAJÍCÍ SE ELEKTROMAGNETICKÝCH PROBLÉMŮ
• Ron Doerfler Heavisideův počet
• Esej Jack Crenshaw ukazující použití operátorů Více na Rosetta Stone