Diferenciální operátor - Differential operator

Harmonická funkce definovaná na prstenec. Harmonické funkce jsou přesně ty funkce, které leží v jádro z Operátor Laplace, důležitý operátor diferenciálu.

v matematika, a operátor diferenciálu je operátor definována jako funkce diferenciace operátor. Je užitečné nejprve zapsat notaci, považovat diferenciaci za abstraktní operaci, která přijímá funkci a vrací jinou funkci (ve stylu funkce vyššího řádu v počítačová věda ).

Tento článek zvažuje hlavně lineární operátory, které jsou nejběžnějším typem. Nelineární diferenciální operátory, například Schwarzianův derivát také existují.

Definice

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Listopadu 2014)

Předpokládejme, že existuje mapa ${ displaystyle A}$ od a funkční prostor ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {1}}$ do jiného funkčního prostoru ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {2}}$ a funkce ${ displaystyle f in { mathcal {F}} _ {2}}$ aby ${ displaystyle f}$ je obraz ${ displaystyle u in { mathcal {F}} _ {1}}$ tj.,${ displaystyle f = A (u) .}$A operátor diferenciálu je reprezentován jako lineární kombinace, konečně generovaná ${ displaystyle u}$ a jeho deriváty obsahující vyšší stupeň, jako je

${ displaystyle P (x, D) = součet _ {| alfa | leq m} a _ { alpha} (x) D ^ { alpha} ,}$

kde množina nezáporných celých čísel, ${ displaystyle alpha = ( alpha _ {1}, alpha _ {2}, cdots, alpha _ {n})}$ , se nazývá a multi-index, ${ displaystyle | alpha | = alpha _ {1} + alpha _ {2} + cdots + alpha _ {n}}$ volaná délka, ${ displaystyle a _ { alpha} (x)}$ jsou funkce na některé otevřené doméně ve Windows n-rozměrný prostor a ${ displaystyle D ^ { alpha} = D_ {1} ^ { alpha _ {1}} D_ {2} ^ { alpha _ {2}} cdots D_ {n} ^ { alpha _ {n} } .}$Výše uvedený derivát je jeden jako funkce nebo někdy distribuce nebo hyperfunkce a ${ displaystyle D_ {j} = - já { frac { částečné} { částečné x_ {j}}}}$ nebo někdy ${ displaystyle D_ {j} = { frac { částečné} { částečné x_ {j}}}}$ .

Zápisy

Nejběžnějším operátorem diferenciálu je akce přijetí derivát. Běžné notace za převzetí první derivace s ohledem na proměnnou X zahrnout:

${ displaystyle { operatorname {d} nad operatorname {d} x}, D, , D_ {x}, ,}$ a ${ displaystyle částečné _ {x}.}$

Když užíváte vyšší, nu derivátů této objednávky lze provozovateli napsat také:

${ displaystyle { operatorname {d} ^ {n} nad operatorname {d} x ^ {n}},}$ ${ displaystyle D ^ {n} ,,}$ ${ displaystyle D_ {x} ^ {n}}$nebo ${ displaystyle { částečné _ {x} ^ {n}} {}}$.

Derivace funkce F hádky X se někdy uvádí jako jedna z následujících možností:

${ displaystyle [f (x)] ', !}$

${ displaystyle f '(x). , !}$

The D připisuje se použití a tvorba notace Oliver Heaviside, kteří považovali diferenciální operátory formuláře

${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n} c_ {k} D ^ {k}}$

ve své studii o diferenciální rovnice.

Jedním z nejčastěji viděných diferenciálních operátorů je Laplaciánský operátor, definován

${ displaystyle Delta = nabla ^ {2} = součet _ {k = 1} ^ {n} { částečné ^ {2} nad částečné x_ {k} ^ {2}}.}$

Dalším diferenciálním operátorem je operátor,, nebo operátor theta, definován^[1]

${ displaystyle Theta = z {d přes dz}.}$

Tomu se někdy také říká operátor homogenity, protože to je vlastní funkce jsou monomials v z:

${ displaystyle Theta (z ^ {k}) = kz ^ {k}, quad k = 0,1,2, tečky}$

v n proměnné, kterými je operátor homogenity dán

${ displaystyle Theta = sum _ {k = 1} ^ {n} x_ {k} { frac { částečné} { částečné x_ {k}}}.}$

Stejně jako v jedné proměnné je vlastní prostory z Θ jsou mezery homogenní polynomy.

Při psaní, podle běžné matematické konvence, je argument diferenciálního operátoru obvykle umístěn na pravé straně samotného operátoru. Někdy se používá alternativní notace: Výsledek aplikace operátoru na funkci na levé straně operátoru a na pravé straně operátoru a rozdíl získaný při použití diferenciálního operátoru na funkce na obou stranách jsou označeny šipkami takto:

${ displaystyle f { overleftarrow { částečné _ {x}}} g = g cdot částečné _ {x} f}$

${ displaystyle f { overrightarrow { částečné _ {x}}} g = f cdot částečné _ {x} g}$

${ displaystyle f { overleftrightarrow { částečné _ {x}}} g = f cdot částečné _ {x} g-g cdot částečné _ {x} f.}$

Taková obousměrná šipka se často používá k popisu pravděpodobnostní proud kvantové mechaniky.

Del

Diferenciální operátor del, také nazývaný operátor nabla, je důležité vektor operátor diferenciálu. Často se objevuje v fyzika v místech, jako je diferenciální forma Maxwellovy rovnice. V trojrozměrném Kartézské souřadnice, del je definován:

${ displaystyle nabla = mathbf { hat {x}} { částečné nad částečné x} + mathbf { hat {y}} { částečné nad částečné y} + mathbf { hat { z}} { částečné nad částečné z}.}$

Del definuje spád, a slouží k výpočtu kučera, divergence, a Laplacian různých předmětů.

Spojení operátora

Vzhledem k tomu, lineární diferenciální operátor T

${ displaystyle Tu = součet _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} (x) D ^ {k} u}$

the adjoint tohoto operátora je definován jako operátor ${ displaystyle T ^ {*}}$ takhle

${ displaystyle langle Tu, v rangle = langle u, T ^ {*} v rangle}$

kde notace ${ displaystyle langle cdot, cdot rangle}$ se používá pro skalární součin nebo vnitřní produkt. Tato definice proto závisí na definici skalárního součinu.

Formální adjoint v jedné proměnné

Ve funkčním prostoru čtvercově integrovatelné funkce ve skutečném intervalu (A, b), skalární součin je definován

${ displaystyle langle f, g rangle = int _ {a} ^ {b} { overline {f (x)}} , g (x) , dx,}$

kde čára skončila f (x) označuje komplexní konjugát f (x). Pokud navíc přidá podmínku, že F nebo G zmizí pro ${ displaystyle x to a}$ a ${ displaystyle x to b}$, lze také definovat adjoint z T podle

${ displaystyle T ^ {*} u = součet _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} D ^ {k} left [{ overline {a_ {k} (x)} }máš pravdu].,}$

Tento vzorec výslovně nezávisí na definici skalárního součinu. Proto se někdy volí jako definice adjointového operátoru. Když ${ displaystyle T ^ {*}}$ je definována podle tohoto vzorce, nazývá se formální adjoint z T.

A (formálně) samoadjung operátor je operátor rovný vlastnímu (formálnímu) adjunktu.

Několik proměnných

Pokud je Ω doménou v Rⁿ, a P diferenciální operátor na Ω, pak adjoint z P je definován v L²(Ω) dualitou analogickým způsobem:

${ displaystyle langle f, P ^ {*} g rangle _ {L ^ {2} ( Omega)} = langle Pf, g rangle _ {L ^ {2} ( Omega)}}$

pro všechny hladké L² funkce F, G. Protože hladké funkce jsou husté L², toto definuje adjoint na husté podmnožině L²: P^* je hustě definovaný operátor.

Příklad

The Sturm – Liouville operátor je dobře známý příklad formálního samoadjungujícího operátora. Tento operátor lineárního diferenciálu druhého řádu L lze napsat ve formě

${ displaystyle Lu = - (pu ')' + qu = - (pu '' + p'u ') + qu = -pu' '- p'u' + qu = (- p) D ^ {2} u + (-p ') Du + (q) u. ; !}$

Tuto vlastnost lze prokázat pomocí výše uvedené formální adjunktové definice.

${ displaystyle { begin {aligned} L ^ {*} u & {} = (- 1) ^ {2} D ^ {2} [(- p) u] + (- 1) ^ {1} D [( -p ') u] + (- 1) ^ {0} (qu) & {} = - D ^ {2} (pu) + D (p'u) + qu & {} = - ( pu) '' + (p'u) '+ qu & {} = - p''u-2p'u'-pu' '+ p''u + p'u' + qu & {} = -p'u'-pu '' + qu & {} = - (pu ')' + qu & {} = Lu end {zarovnáno}}}$

Tento operátor je pro Teorie Sturm – Liouville Kde vlastní funkce (analogie k vlastní vektory ) tohoto operátora.

Vlastnosti diferenciálních operátorů

Diferenciace je lineární, tj.,

${ Displaystyle D (f + g) = (Df) + (Dg) ,}$

${ displaystyle D (af) = a (Df) ,}$

kde F a G jsou funkce a A je konstanta.

Žádný polynomiální v D s funkčními koeficienty je také diferenciální operátor. Můžeme také skládat diferenciální operátory podle pravidla

${ displaystyle (D_ {1} cirkus D_ {2}) (f) = D_ {1} (D_ {2} (f)). ,}$

Poté je nutná určitá péče: za prvé jakékoli funkční koeficienty v operátoru D₂ musí být rozlišitelný tolikrát, kolik aplikací D₁ vyžaduje. Chcete-li získat prsten z těchto operátorů musíme předpokládat derivace všech řádů použitých koeficientů. Zadruhé, tento prsten nebude komutativní: operátor gD není to stejné jako obecně Dg. Ve skutečnosti máme například základní vztah v kvantová mechanika:

${ displaystyle Dx-xD = 1. ,}$

Podřetězec operátorů, ve kterých jsou polynomy D s konstantní koeficienty je naopak komutativní. Lze jej charakterizovat jiným způsobem: skládá se z operátorů invariantních k překladu.

Diferenciální operátoři se také řídí věta o posunu.

Několik proměnných

Stejné konstrukce lze provádět pomocí částečné derivace, diferenciace s ohledem na různé proměnné, které vedou k dojíždění operátorů (viz symetrie druhých derivací ).

Kruh polynomiálních diferenciálních operátorů

Prsten jednorozměrných polynomiálních diferenciálních operátorů

Pokud R je prsten, nechť ${ displaystyle R langle D, X rangle}$ být nekomutativní polynomický kruh přes R v proměnných D a X a já oboustranný ideál generovaný DX-XD-1, pak prsten univariantních polynomiálních diferenciálních operátorů nad R je kvocient kvocientu${ displaystyle R langle D, X rangle / I}$.To není komutativní jednoduchý prsten Každý prvek lze zapsat jedinečným způsobem jako R-lineární kombinaci monomiálů formuláře${ displaystyle X ^ {a} D ^ {b} mod {I}}$. Podporuje analogii Euklidovské dělení polynomů.

Diferenciální moduly skončily ${ displaystyle R [X]}$ (pro standardní odvození) lze identifikovat s moduly nad ${ displaystyle R langle D, X rangle / I}$.

Kruh vícerozměrných polynomiálních diferenciálních operátorů

Pokud R je prsten, nechť ${ displaystyle R langle D_ {1}, ldots, D_ {n}, X_ {1}, ldots, X_ {n} rangle}$ býtnekomutativní polynomický kruh nad R v proměnných${ displaystyle D_ {1}, ldots, D_ {n}, X_ {1}, ldots, X_ {n}}$a já oboustranný ideál generovaný prvky

${ displaystyle (D_ {i} X_ {j} -X_ {j} D_ {i}) - delta _ {i, j}, D_ {i} D_ {j} -D_ {j} D_ { i}, X_ {i} X_ {j} -X_ {j} X_ {i}}$

pro všechny ${ displaystyle 1 leq i, j leq n}$ kde ${ displaystyle delta}$ je Kroneckerova delta, pak kruh vícerozměrných polynomiálních diferenciálních operátorů nad R je kvocientový kruh${ displaystyle R langle D_ {1}, ldots, D_ {n}, X_ {1}, ldots, X_ {n} rangle / I}$.

Toto je nekomutativní jednoduchý prsten Každý prvek lze zapsat jedinečným způsobem jako R-lineární kombinaci monomiálů formuláře${ displaystyle X_ {1} ^ {a_ {1}} ldots X_ {n} ^ {a_ {n}} D_ {1} ^ {b_ {1}} ldots D_ {n} ^ {b_ {n} }}$.

Popis nezávislý na souřadnicích

v diferenciální geometrie a algebraická geometrie často je vhodné mít a koordinovat -nezávislý popis diferenciálních operátorů mezi dvěma vektorové svazky. Nechat E a F být dva vektorové svazky nad a diferencovatelné potrubí M. An R-lineární mapování sekce P : Γ (E) → Γ (F) se říká, že je koperátor lineárního diferenciálu tého řádu pokud se to promítne do svazek trysek J^k(EJinými slovy, existuje lineární mapování vektorových svazků

${ displaystyle i_ {P}: J ^ {k} (E) rightarrow F ,}$

takhle

${ displaystyle P = i_ {P} circ j ^ {k}}$

kde j^k: Γ (E) → Γ (J^k(E)) je prodloužení přidružené k jakékoli části E své k-proud.

To jen znamená, že pro daný sekce s z E, hodnota P(s) v určitém okamžiku X ∈ M je plně určen knekonečné chování th-řádu s v X. Z toho zejména vyplývá, že P(s)(X) je určen zárodek z s v X, což je vyjádřeno tím, že diferenciální operátoři jsou místní. Základním výsledkem je Peetreova věta což ukazuje, že platí i obrácená hodnota: jakýkoli (lineární) místní operátor je diferenciální.

Vztah ke komutativní algebře

Ekvivalentní, ale čistě algebraický popis lineárních diferenciálních operátorů je následující: an R-lineární mapa P je koperátor lineárního diferenciálu tého řádu, pokud existuje k + 1 hladké funkce ${ displaystyle f_ {0}, ldots, f_ {k} v C ^ { infty} (M)}$ my máme

${ displaystyle [f_ {k}, [f_ {k-1}, [ cdots [f_ {0}, P] cdots]] = 0.}$

Tady držák ${ displaystyle [f, P]: gama (E) pravá šipka gama (F)}$ je definován jako komutátor

${ displaystyle [f, P] (s) = P (f cdot s) -f cdot P (s). ,}$

Tato charakteristika lineárních diferenciálních operátorů ukazuje, že jde o konkrétní mapování mezi moduly přes komutativní algebra, což umožňuje vnímat koncept jako součást komutativní algebra.

Příklady

• V aplikacích na fyzikální vědy operátoři jako Operátor Laplace hrají hlavní roli při přípravě a řešení parciální diferenciální rovnice.
• v diferenciální topologie the vnější derivace a Derivát lži operátoři mají vnitřní význam.
• v abstraktní algebra, pojem a derivace umožňuje zobecnění diferenciálních operátorů, které nevyžadují použití počtu. Často se takové zevšeobecňování používá v algebraická geometrie a komutativní algebra. Viz také jet (matematika).
• Při vývoji holomorfní funkce a komplexní proměnná z = X + i y, někdy je komplexní funkce považována za funkci dvou reálných proměnných X a y. Využívá se Wirtingerovy deriváty, což jsou operátory částečných diferenciálů:

${ displaystyle { frac { částečné} { částečné z}} = { frac {1} {2}} vlevo ({ frac { částečné} { částečné x}} - i { frac { částečný} { částečný y}} pravý) quad, quad { frac { částečný} { částečný { bar {z}}}} = { frac {1} {2}} vlevo ({ frac { částečné} { částečné x}} + i { frac { částečné} { částečné y}} vpravo) .}$

Tento přístup se také používá ke studiu funkcí několik složitých proměnných a funkce a proměnná motoru.

Dějiny

Koncepční krok psaní diferenciálního operátoru jako něčeho samostatného se připisuje Louis François Antoine Arbogast v roce 1800.^[2]

Viz také

Reference

externí odkazy

• Média související s Diferenciální operátoři na Wikimedia Commons
• "Diferenciální operátor", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]