Vlastní funkce - Eigenfunction

v matematika, an vlastní funkce a lineární operátor D na některých definováno funkční prostor je libovolná nenulová funkce F v tom prostoru, který, když na něj jedná D, je pouze vynásoben nějakým měřítkem zvaným an vlastní číslo. Jako rovnici lze tuto podmínku zapsat jako
pro některé skalární vlastní hodnota λ.[1][2][3] Může být také předmětem řešení této rovnice okrajové podmínky které omezují přípustné vlastní hodnoty a vlastní funkce.
Vlastní funkce je typ vlastní vektor.
Vlastní funkce
Obecně vlastní vektor lineárního operátoru D definovaný na nějakém vektorovém prostoru je nenulový vektor v doméně D to když D působí na to, je jednoduše škálován nějakou skalární hodnotou zvanou vlastní číslo. Ve zvláštním případě, kdy D je definován ve funkčním prostoru, vlastní vektory se označují jako vlastní funkce. To je funkce F je vlastní funkce D pokud splňuje rovnici
(1)
kde λ je skalární.[1][2][3] Řešení rovnice (1) mohou také podléhat okrajovým podmínkám. Kvůli okrajovým podmínkám jsou možné hodnoty λ obecně omezeny, například na diskrétní množinu λ1, λ2, ... nebo na souvislou množinu v určitém rozsahu. Sada všech možných vlastních čísel D se někdy nazývá jeho spektrum, které mohou být diskrétní, spojité nebo kombinace obou.[1]
Každá hodnota λ odpovídá jedné nebo více vlastním funkcím. Pokud má více lineárně nezávislých vlastních funkcí stejnou vlastní hodnotu, říká se, že vlastní hodnota je degenerovat a maximální počet lineárně nezávislých vlastních funkcí spojených se stejnou vlastní hodnotou je vlastní hodnota stupeň degenerace nebo geometrická multiplicita.[4][5]
Derivativní příklad
Široce používanou třídou lineárních operátorů působících na nekonečné dimenzionální prostory jsou diferenciální operátory v prostoru C∞ nekonečně diferencovatelných reálných nebo komplexních funkcí reálného nebo komplexního argumentu t. Zvažte například derivační operátor s rovnicí vlastních čísel
Tuto diferenciální rovnici lze vyřešit vynásobením obou stran a integraci. Jeho řešení, exponenciální funkce
je vlastní funkce derivačního operátoru, kde F0 je parametr, který závisí na okrajových podmínkách. Všimněte si, že v tomto případě je vlastní funkce sama funkcí její přidružené vlastní hodnoty λ, která může nabývat jakékoli skutečné nebo komplexní hodnoty. Zejména si všimněte, že pro λ = 0 vlastní funkce F(t) je konstanta.
Předpokládejme v příkladu, že F(t) podléhá okrajovým podmínkám F(0) = 1 a = 2. Pak to zjistíme
kde λ = 2 je jediné vlastní číslo diferenciální rovnice, které také splňuje okrajovou podmínku.
Odkaz na vlastní čísla a vlastní vektory matic
Vlastní funkce lze vyjádřit jako vektory sloupců a lineární operátory lze vyjádřit jako matice, i když mohou mít nekonečné rozměry. Výsledkem je, že mnoho konceptů souvisejících s vlastními vektory matic se přenáší do studia vlastních funkcí.
Definujte vnitřní produkt ve funkčním prostoru, na kterém D je definován jako
integrován přes určitý rozsah zájmu pro t nazývá se Ω. The * označuje komplexní konjugát.
Předpokládejme, že funkční prostor má ortonormální základ dané množinou funkcí {u1(t), u2(t), ..., un(t)}, kde n může být nekonečný. Pro ortonormální základ
kde δij je Kroneckerova delta a lze o nich uvažovat jako o prvcích matice identity.
Funkce lze psát jako lineární kombinaci základních funkcí,
například prostřednictvím a Fourierova expanze z F(t). Koeficienty bj lze skládat do n o 1 sloupcový vektor b = [b1 b2 ... bn]T. V některých zvláštních případech, jako jsou koeficienty Fourierovy řady sinusové funkce, má tento sloupcový vektor konečnou dimenzi.
Dále definujte maticové vyjádření lineárního operátoru D s prvky
Můžeme napsat funkci Df (t) buď jako lineární kombinace základních funkcí, nebo jako D působící na rozšíření F(t),
Vezmeme-li vnitřní produkt každé strany této rovnice s libovolnou základní funkcí ui(t),
Toto je násobení matice Ab = C psaný v součtové notaci a je maticovým ekvivalentem operátoru D působící na funkci F(t) vyjádřeno v ortonormálním základě. Li F(t) je vlastní funkcí D s vlastní hodnotou λ Ab = λb.
Vlastní čísla a vlastní funkce hermitovských operátorů
Mnoho operátorů, se kterými se ve fyzice setkáváme, je Hermitian. Předpokládejme lineární operátor D působí na funkční prostor, který je a Hilbertův prostor s ortonormálním základem daným množinou funkcí {u1(t), u2(t), ..., un(t)}, kde n může být nekonečný. Na tomto základě provozovatel D má maticovou reprezentaci A s prvky
integrován přes určitý rozsah zájmu pro t označeno Ω.
Analogicky s Hermitovské matice, D je hermitovský operátor, pokud Aij = Aji* nebo:[6]
Zvažte hermitského operátora D s vlastními hodnotami λ1, λ2, ... a odpovídající vlastní funkce F1(t), F2(t), .... Tento hermitovský operátor má následující vlastnosti:
- Jeho vlastní čísla jsou skutečná, λi = λi*[4][6]
- Jeho vlastní funkce se řídí podmínkou ortogonality, = 0 pokud i ≠ j[6][7][8]
Druhá podmínka vždy platí pro λi ≠ λj. Pro degenerované vlastní funkce se stejnou vlastní hodnotou λi„Vždy lze zvolit ortogonální vlastní funkce, které pokrývají vlastní prostor spojený s λi, například pomocí Gram-Schmidtův proces.[5] V závislosti na tom, zda je spektrum diskrétní nebo spojité, lze vlastní funkce normalizovat nastavením vnitřního součinu vlastních funkcí na hodnotu rovnou Kroneckerově deltě nebo Diracova delta funkce, resp.[8][9]
Pro mnoho hermitských operátorů, zejména Provozovatelé společnosti Sturm-Liouville, třetí vlastnost je
- Jeho vlastní funkce tvoří základ funkčního prostoru, na kterém je operátor definován[5]
V důsledku toho tvoří v mnoha důležitých případech vlastní funkce hermitovského operátora ortonormální základ. V těchto případech lze libovolnou funkci vyjádřit jako lineární kombinaci vlastních funkcí hermitovského operátoru.
Aplikace
Vibrační struny

Nechat h(X, t) označuje příčný posun namáhaného pružného tětivu, jako je vibrační struny a strunný nástroj, jako funkce polohy X podél řetězce a času t. Uplatňování zákonů mechaniky na infinitezimální části řetězce, funkce h uspokojuje parciální diferenciální rovnice
který se nazývá (jednorozměrný) vlnová rovnice. Tady C je konstantní rychlost, která závisí na napětí a hmotnosti struny.
Tento problém lze přizpůsobit metodě oddělení proměnných. Pokud to předpokládáme h(X, t) lze napsat jako produkt formuláře X(X)T(t), můžeme vytvořit dvojici obyčejných diferenciálních rovnic:
Každý z nich je rovnice vlastních čísel s vlastními hodnotami a −ω2, resp. Pro jakékoli hodnoty ω a C, rovnice jsou funkcemi uspokojeny
kde fázové úhly φ a ψ jsou libovolné reálné konstanty.
Pokud zavedeme okrajové podmínky, například že jsou konce řetězce fixovány na X = 0 a X = L, jmenovitě X(0) = X(L) = 0, a to T(0) = 0, omezíme vlastní čísla. Pro tyto okrajové podmínky hřích(φ) = 0 a hřích(ψ) = 0, takže fázové úhly φ = ψ = 0, a
Tato poslední okrajová podmínka je omezena ω vzít hodnotu ωn = ncπ/L, kde n je jakékoli celé číslo. Upnutá struna tedy podporuje rodinu stojatých vln tvaru
V příkladu strunného nástroje frekvence ωn je frekvence nth harmonický, kterému se říká (n − 1)th podtón.
Schrödingerova rovnice
v kvantová mechanika, Schrödingerova rovnice
lze vyřešit oddělením proměnných, pokud Hamiltonián nezávisí výslovně na čase.[10] V takovém případě vlnová funkce Ψ (r,t) = φ(r)T(t) vede ke dvěma diferenciálním rovnicím,
(2)
(3)
Obě tyto diferenciální rovnice jsou rovnice vlastních čísel s vlastní hodnotou E. Jak je ukázáno v dřívějším příkladu, řešení rovnice (3) je exponenciální
Rovnice (2) je časově nezávislá Schrödingerova rovnice. Vlastní funkce φk Hamiltonovského operátora jsou stacionární stavy kvantově mechanické soustavy, každá s odpovídající energií Ek. Představují povolené energetické stavy systému a mohou být omezeny okrajovými podmínkami.
Hamiltonovský operátor H je příkladem hermitovského operátoru, jehož vlastní funkce tvoří ortonormální základ. Když Hamiltonián nezávisí výslovně na čase, obecná řešení Schrödingerovy rovnice jsou lineární kombinace stacionárních stavů vynásobené oscilačním T(t),[11] nebo pro systém se spojitým spektrem
Úspěch Schrödingerovy rovnice při vysvětlování spektrálních charakteristik vodíku je považován za jeden z největších triumfů fyziky 20. století.
Signály a systémy
Ve studii o signály a systémy, vlastní funkce systému je signál F(t) že při vstupu do systému vytvoří odpověď y(t) = λf(t), kde λ je komplexní skalární vlastní hodnota.[12]
Viz také
- Vlastní čísla a vlastní vektory
- Věta Hilbert – Schmidt
- Spektrální teorie obyčejných diferenciálních rovnic
- Kombinátor pevných bodů
- Fourierova transformace vlastních funkcí
Poznámky
Citace
- ^ A b C Davydov 1976, str. 20.
- ^ A b Kusse & Westwig 1998, str. 435.
- ^ A b Wasserman 2016.
- ^ A b Davydov 1976, str. 21.
- ^ A b C Kusse & Westwig 1998, str. 437.
- ^ A b C Kusse & Westwig 1998, str. 436.
- ^ Davydov 1976, str. 24.
- ^ A b Davydov 1976, str. 29.
- ^ Davydov 1976, str. 25.
- ^ Davydov 1976, str. 51.
- ^ Davydov 1976, str. 52.
- ^ Girod, Rabenstein & Stenger 2001, str. 49.
Citované práce
- Courant, Richard; Hilbert, David. Metody matematické fyziky. Svazek 1. Wiley. ISBN 047150447-5. (Svazek 2: ISBN 047150439-4)
- Davydov, A. S. (1976). Kvantová mechanika. Přeložil, upravil as dodatky D. ter Haar (2. vydání). Oxford: Pergamon Press. ISBN 008020438-4.
- Girod, Bernd; Rabenstein, Rudolf; Stenger, Alexander (2001). Signály a systémy (2. vyd.). Wiley. ISBN 047198800-6.
- Kusse, Bruce; Westwig, Erik (1998). Matematická fyzika. New York: Wiley Interscience. ISBN 047115431-8.
- Wasserman, Eric W. (2016). „Vlastní funkce“. MathWorld. Wolfram Research. Citováno 12. dubna 2016.
externí odkazy
- Další obrázky (jiné než GPL) na Atom v krabici