Wishart distribuce - Wishart distribution

Wishart
Zápis	X ~ Žp(PROTI, n)
Parametry	n > p − 1 stupně svobody (nemovitý ); PROTI > 0 měřítková matice (p × p poz. def )
Podpěra, podpora	X(p × p) pozitivní určitá matice
PDF	Γp je vícerozměrná funkce gama; tr je stopa funkce;
Znamenat
Režim	(n − p − 1)PROTI pro n ≥ p + 1
Rozptyl
Entropie	viz. níže
CF

v statistika, Wishart distribuce je zobecněním na více dimenzí gama distribuce. Je pojmenován na počest John Wishart, který jako první formuloval distribuci v roce 1928.^[1]^[2]

Je to rodina rozdělení pravděpodobnosti definované přes symetrické, nezáporně definitivní matice -hodnota náhodné proměnné („Náhodné matice“). Tyto distribuce mají v odhad kovariančních matic v statistika s více proměnnými. v Bayesovské statistiky, distribuce Wishart je před konjugátem z inverzní kovarianční matice a vícerozměrný-normální náhodný vektor.^[3]

Definice

Předpokládat $G$ je $p \times n$ matice, z nichž každý sloupec je nezávisle čerpané z a $p$ -měňte normální rozdělení s nulovým průměrem:

{ displaystyle G_ {i} = (g_ {i} ^ {1}, tečky, g_ {i} ^ {p}) ^ {T} sim N_ {p} (0, V).}

Pak je distribuce Wishart rozdělení pravděpodobnosti z $p \times p$ náhodná matice ^[4]

{ displaystyle S = GG ^ {T} = součet _ {i = 1} ^ {n} G_ {i} G_ {i} ^ {T}}

známý jako rozptylová matice. Jeden to naznačuje $S$ má toto rozdělení pravděpodobnosti psaním

{ displaystyle S sim W_ {p} (V, n).}

Kladné celé číslo $n$ je počet stupně svobody. Někdy je to psáno $Ž (PROTI, p, n)$ . Pro $n \geq p$ matice $S$ je invertibilní s pravděpodobností $1$ -li $PROTI$ je invertibilní.

Li $p = PROTI = 1$ pak je tato distribuce a distribuce chí-kvadrát s $n$ stupně svobody.

Výskyt

Wishartova distribuce vzniká jako distribuce kovarianční matice vzorku pro vzorek z a vícerozměrné normální rozdělení. Vyskytuje se často v testy poměru pravděpodobnosti ve vícerozměrné statistické analýze. Vzniká také ve spektrální teorii náhodné matice^{[Citace je zapotřebí ]} a ve vícerozměrné bayesovské analýze.^[5] S tím se také setkáváme v bezdrátové komunikaci při analýze výkonu Rayleigh slábne MIMO bezdrátové kanály.^[6]

Funkce hustoty pravděpodobnosti

Distribuce Wishart může být charakterizováno podle jeho funkce hustoty pravděpodobnosti jak následuje:

Nechat $X$ být $p \times p$ symetrická matice náhodných proměnných, která je pozitivní určitý. Nechat $PROTI$ být (pevnou) symetrickou pozitivní definitivní maticí velikosti $p \times p$ .

Pak, pokud $n \geq p$ , $X$ má distribuci Wishart s $n$ stupně volnosti, pokud má funkce hustoty pravděpodobnosti

{ displaystyle f _ { mathbf {X}} ( mathbf {x}) = { frac {1} {2 ^ {np / 2} left | { mathbf {V}} right | ^ {n / 2} Gamma _ {p} left ({ frac {n} {2}} right)}} { left | mathbf {x} right |} ^ {(np-1) / 2} e ^ {- (1/2) operatorname {tr} ({ mathbf {V}} ^ {- 1} mathbf {x})}}

kde ${ displaystyle left | { mathbf {x}} right |}$ je určující z ${ displaystyle mathbf {x}}$ a $Γ p$ je vícerozměrná funkce gama definováno jako

{ displaystyle Gamma _ {p} left ({ frac {n} {2}} right) = pi ^ {p (p-1) / 4} prod _ {j = 1} ^ {p } Gamma left ({ frac {n} {2}} - { frac {j-1} {2}} right).}

Hustota výše není hustota spáry všech ${ displaystyle p ^ {2}}$ prvky náhodné matice $X$ (takový ${ displaystyle p ^ {2}}$ -dimenzionální hustota neexistuje kvůli omezením symetrie ${ displaystyle X_ {ij} = X_ {ji}}$ ), je to spíše hustota kloubu ${ displaystyle p (p + 1) / 2}$ elementy ${ displaystyle X_ {ij}}$ pro ${ Displaystyle i leq j}$ (^[1], strana 38). Výše uvedený vzorec hustoty platí také pouze pro kladné určité matice ${ displaystyle mathbf {x};}$ pro ostatní matice je hustota rovna nule.

Hustota společných vlastních čísel pro vlastní čísla ${ displaystyle lambda _ {1}, tečky lambda _ {p} geq 0}$ náhodné matice ${ displaystyle mathbf {X} sim W_ {p} ( mathbf {I}, n)}$ je ^[7], ^[8]

{ displaystyle c_ {n, p} e ^ {- { frac {1} {2}} součet _ {i} lambda _ {i}} prod lambda _ {i} ^ {(np-1 ) / 2} prod _ {i

kde ${ displaystyle c_ {n, p}}$ je konstanta.

Ve skutečnosti lze výše uvedenou definici rozšířit na jakoukoli skutečnou $n > p - 1$ . Li $n \leq p - 1$ , pak Wishart již nemá hustotu - místo toho představuje singulární distribuci, která bere hodnoty v podprostoru nižší dimenze prostoru $p \times p$ matice.^[9]

Použití v Bayesovských statistikách

v Bayesovské statistiky, v kontextu vícerozměrné normální rozdělení, Wishartova distribuce je konjugát před maticí přesnosti $Ω = Σ -1$ , kde $Σ$ je kovarianční matice.^[10]^:135

Volba parametrů

Nejméně informativní, správný Wishartův předchozí se získá nastavením $n = p$ .^{[Citace je zapotřebí ]}

Předchozí průměr z $Ž p (PROTI, n)$ je $n PROTI$ , což naznačuje, že rozumná volba pro $PROTI$ bylo by $n -1 Σ 0 -1$ , kde $Σ 0$ je nějaký předchozí odhad pro kovarianční matici.

Vlastnosti

Očekávání protokolu

Následující vzorec hraje roli v variační Bayes derivace pro Bayesovy sítě zahrnující distribuci Wishart: ^[10]^:693

{ displaystyle operatorname {E} [, ln left | mathbf {X} right | ,] = psi _ {p} left ({ frac {n} {2}} right) + p , ln (2) + ln | mathbf {V} |}

kde ${ displaystyle psi _ {p}}$ je vícerozměrná funkce digamma (derivace logu vícerozměrná funkce gama ).

Varianta protokolu

Následující výpočet odchylky může být užitečný v Bayesianských statistikách:

{ displaystyle operatorname {Var} left [, ln left | mathbf {X} right | , right] = sum _ {i = 1} ^ {p} psi _ {1} left ({ frac {n + 1-i} {2}} right)}

kde ${ displaystyle psi _ {1}}$ je funkce trigamma. To se objeví při výpočtu Fisherových informací z Wishartovy náhodné proměnné.

Entropie

The informační entropie distribuce má následující vzorec:^[10]^:693

{ displaystyle operatorname {H} left [, mathbf {X} , right] = - ln left (B ( mathbf {V}, n) right) - { frac {np- 1} {2}} operatorname {E} left [, ln left | mathbf {X} right | , right] + { frac {np} {2}}}

kde $B (PROTI, n)$ je normalizační konstanta distribuce:

{ displaystyle B ( mathbf {V}, n) = { frac {1} { vlevo | mathbf {V} vpravo | ^ {n / 2} 2 ^ {np / 2} gama _ {p } left ({ frac {n} {2}} right)}}.}

To lze rozšířit následujícím způsobem:

{ displaystyle { begin {aligned} operatorname {H} left [, mathbf {X} , right] & = { frac {n} {2}} ln left | mathbf {V } right | + { frac {np} {2}} ln 2+ ln Gamma _ {p} left ({ frac {n} {2}} right) - { frac {np- 1} {2}} operatorname {E} left [, ln left | mathbf {X} right | , right] + { frac {np} {2}} [8pt] & = { frac {n} {2}} ln left | mathbf {V} right | + { frac {np} {2}} ln 2+ ln Gamma _ {p} left ({ frac {n} {2}} right) - { frac {np-1} {2}} left ( psi _ {p} left ({ frac {n} {2}} right) + p ln 2+ ln left | mathbf {V} right | right) + { frac {np} {2}} [8pt] & = { frac {n} {2 }} ln left | mathbf {V} right | + { frac {np} {2}} ln 2+ ln Gamma _ {p} left ({ frac {n} {2} } right) - { frac {np-1} {2}} psi _ {p} left ({ frac {n} {2}} right) - { frac {np-1} {2 }} left (p ln 2+ ln left | mathbf {V} right | right) + { frac {np} {2}} [8pt] & = { frac {p + 1} {2}} ln left | mathbf {V} right | + { frac {1} {2}} p (p + 1) ln 2+ ln Gamma _ {p} left ({ frac {n} {2}} right) - { frac {np-1} {2}} psi _ {p} left ({ frac {n} {2}} right) + { frac {np} {2}} end {zarovnáno}}}

Křížová entropie

The křížová entropie dvou Wishartových distribucí ${ displaystyle p_ {0}}$ s parametry ${ displaystyle n_ {0}, V_ {0}}$ a ${ displaystyle p_ {1}}$ s parametry ${ displaystyle n_ {1}, V_ {1}}$ je

{ displaystyle { begin {aligned} H (p_ {0}, p_ {1}) & = operatorname {E} _ {p_ {0}} [, - log p_ {1} ,] [8pt] & = operatorname {E} _ {p_ {0}} left [, - log { frac { left | mathbf {X} right | ^ {(n_ {1} -p_ { 1} -1) / 2} e ^ {- operatorname {tr} ( mathbf {V} _ {1} ^ {- 1} mathbf {X}) / 2}} {2 ^ {n_ {1} p_ {1} / 2} left | mathbf {V} _ {1} right | ^ {n_ {1} / 2} Gamma _ {p_ {1}} left ({ tfrac {n_ {1 }} {2}} right)}} right] [8pt] & = { tfrac {n_ {1} p_ {1}} {2}} log 2 + { tfrac {n_ {1} } {2}} log left | mathbf {V} _ {1} right | + log Gamma _ {p_ {1}} ({ tfrac {n_ {1}} {2}}) - { tfrac {n_ {1} -p_ {1} -1} {2}} operatorname {E} _ {p_ {0}} left [, log left | mathbf {X} right | , right] + { tfrac {1} {2}} operatorname {E} _ {p_ {0}} left [, operatorname {tr} left (, mathbf {V} _ { 1} ^ {- 1} mathbf {X} , right) , right] [8pt] & = { tfrac {n_ {1} p_ {1}} {2}} log 2+ { tfrac {n_ {1}} {2}} log left | mathbf {V} _ {1} right | + log Gamma _ {p_ {1}} ({ tfrac {n_ {1 }} {2}}) - { tfrac {n_ {1} -p_ {1} -1} {2}} left ( psi _ {p_ {0}} ({ tfrac {n_ {0}} {2}}) + p_ {0} log 2+ log left | mathbf {V} _ {0} right | right) + { tfrac {1} { 2}} operatorname {tr} left (, mathbf {V} _ {1} ^ {- 1} n_ {0} mathbf {V} _ {0} , right) [8pt] & = - { tfrac {n_ {1}} {2}} log left | , mathbf {V} _ {1} ^ {- 1} mathbf {V} _ {0} , right | + { tfrac {p_ {1} +1} {2}} log left | mathbf {V} _ {0} right | + { tfrac {n_ {0}} {2}} operatorname {tr} left (, mathbf {V} _ {1} ^ {- 1} mathbf {V} _ {0} right) + log Gamma _ {p_ {1}} left ({ tfrac {n_ {1}} {2}} right) - { tfrac {n_ {1} -p_ {1} -1} {2}} psi _ {p_ {0}} ({ tfrac { n_ {0}} {2}}) + { tfrac {n_ {1} (p_ {1} -p_ {0}) + p_ {0} (p_ {1} +1)} {2}} log 2 end {zarovnáno}}}

Všimněte si, že když ${ displaystyle p_ {0} = p_ {1}}$ a ${ displaystyle n_ {0} = n_ {1}}$ získáme entropii.

KL-divergence

The Kullback – Leiblerova divergence z ${ displaystyle p_ {1}}$ z ${ displaystyle p_ {0}}$ je

{ displaystyle { begin {seřazeno} D_ {KL} (p_ {0} | p_ {1}) & = H (p_ {0}, p_ {1}) - H (p_ {0}) [ 6pt] & = - { frac {n_ {1}} {2}} log | mathbf {V} _ {1} ^ {- 1} mathbf {V} _ {0} | + { frac { n_ {0}} {2}} ( operatorname {tr} ( mathbf {V} _ {1} ^ {- 1} mathbf {V} _ {0}) - p) + log { frac { Gamma _ {p} left ({ frac {n_ {1}} {2}} right)} { Gamma _ {p} left ({ frac {n_ {0}} {2}} right)}} + { tfrac {n_ {0} -n_ {1}} {2}} psi _ {p} left ({ frac {n_ {0}} {2}} right) end {zarovnaný}}}

Charakteristická funkce

The charakteristická funkce distribuce Wishart je

{ displaystyle Theta mapsto left | , { mathbf {I}} -2i , { mathbf { Theta}} , { mathbf {V}} , doprava | ^ {- n / 2}.}

Jinými slovy,

{ displaystyle Theta mapsto operatorname {E} left [, exp left (, i operatorname {tr} left (, mathbf {X} { mathbf { Theta}} , right) , right) , right] = left | , { mathbf {I}} -2i , { mathbf { Theta}} , { mathbf {V}} , vpravo | ^ {- n / 2}}

kde $E [\cdot]$ označuje očekávání. (Tady $Θ$ a $Já$ jsou matice stejné velikosti jako $PROTI$ ( $Já$ je matice identity ); a $i$ je druhá odmocnina z -1).^[8]

Protože rozsah determinantu obsahuje uzavřenou čáru počátkem pro maticové rozměry větší než dvě, výše uvedený vzorec je správný pouze pro malé hodnoty Fourierovy proměnné. (vidět arXiv:1901.09347 )

Teorém

Pokud $p \times p$ náhodná matice $X$ má distribuci Wishart s $m$ stupně volnosti a rozptylové matice $PROTI$ - psát si ${ displaystyle mathbf {X} sim { mathcal {W}} _ {p} ({ mathbf {V}}, m)}$ - a $C$ je $q \times p$ matice hodnost $q$ , pak ^[11]

{ displaystyle mathbf {C} mathbf {X} { mathbf {C}} ^ {T} sim { mathcal {W}} _ {q} left ({ mathbf {C}} { mathbf {V}} { mathbf {C}} ^ {T}, m vpravo).}

Dodatek 1

Li $z$ je nenulová $p \times 1$ konstantní vektor, pak:^[11]

{ displaystyle { mathbf {z}} ^ {T} mathbf {X} { mathbf {z}} sim sigma _ {z} ^ {2} chi _ {m} ^ {2}.}

V tomto případě, ${ displaystyle chi _ {m} ^ {2}}$ je distribuce chí-kvadrát a ${ displaystyle sigma _ {z} ^ {2} = { mathbf {z}} ^ {T} { mathbf {V}} { mathbf {z}}}$ (Všimněte si, že ${ displaystyle sigma _ {z} ^ {2}}$ je konstanta; je to pozitivní, protože $PROTI$ je pozitivní určitý).

Důsledek 2

Zvažte případ, kdy $z T = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0)$ (toto je $j$ -tý prvek je jeden a všechny ostatní nulové). Pak to ukazuje důsledek 1 výše

{ displaystyle w_ {jj} sim sigma _ {jj} chi _ {m} ^ {2}}

udává okrajové rozdělení každého z prvků na diagonále matice.

George Seber poukazuje na to, že Wishartovo rozdělení se nenazývá „mnohorozměrné rozdělení chí-kvadrát“, protože okrajové rozdělení mimo diagonální prvky není čtvercový. Seber si raději vyhrazuje termín vícerozměrný pro případ, kdy všichni univariantní marginální patří do stejné rodiny.^[12]

Odhad vícerozměrného normálního rozdělení

Distribuce Wishart je Distribuce vzorků z odhad maximální pravděpodobnosti (MLE) z kovarianční matice a vícerozměrné normální rozdělení.^[13] A odvození MLE používá spektrální věta.

Bartlettův rozklad

The Bartlettův rozklad matice $X$ od a $p$ -měňte distribuci Wishart s maticí měřítka $PROTI$ a $n$ stupně volnosti je faktorizace:

{ displaystyle mathbf {X} = { textbf {L}} { textbf {A}} { textbf {A}} ^ {T} { textbf {L}} ^ {T},}

kde $L$ je Choleský faktor z $PROTI$ , a:

{ displaystyle mathbf {A} = { begin {pmatrix} c_ {1} & 0 & 0 & cdots & 0 n_ {21} & c_ {2} & 0 & cdots & 0 n_ {31} & n_ {32} & c_ {3 } & cdots & 0 vdots & vdots & vdots & ddots & vdots n_ {p1} & n_ {p2} & n_ {p3} & cdots & c_ {p} end {pmatrix}}}

kde ${ displaystyle c_ {i} ^ {2} sim chi _ {n-i + 1} ^ {2}}$ a $n ij ~ N (0, 1)$ nezávisle.^[14] To poskytuje užitečnou metodu pro získání náhodných vzorků z distribuce Wishart.^[15]

Okrajové rozdělení maticových prvků

Nechat $PROTI$ být $2 \times 2$ varianční matice charakterizovaná korelační koeficient $-1 < ρ < 1$ a $L$ jeho nižší faktor Cholesky:

{ displaystyle mathbf {V} = { begin {pmatrix} sigma _ {1} ^ {2} & rho sigma _ {1} sigma _ {2} rho sigma _ {1} sigma _ {2} & sigma _ {2} ^ {2} end {pmatrix}}, qquad mathbf {L} = { begin {pmatrix} sigma _ {1} & 0 rho sigma _ {2} & { sqrt {1- rho ^ {2}}} sigma _ {2} end {pmatrix}}}

Když vynásobíme výše uvedený Bartlettův rozklad, zjistíme, že náhodný vzorek z $2 \times 2$ Wishart distribuce je

{ displaystyle mathbf {X} = { begin {pmatrix} sigma _ {1} ^ {2} c_ {1} ^ {2} & sigma _ {1} sigma _ {2} left ( rho c_ {1} ^ {2} + { sqrt {1- rho ^ {2}}} c_ {1} n_ {21} right) sigma _ {1} sigma _ {2} left ( rho c_ {1} ^ {2} + { sqrt {1- rho ^ {2}}} c_ {1} n_ {21} right) & sigma _ {2} ^ {2} left ( left (1- rho ^ {2} right) c_ {2} ^ {2} + left ({ sqrt {1- rho ^ {2}}} n_ {21} + rho c_ {1} right) ^ {2} right) end {pmatrix}}}

Diagonální prvky, nejzřetelněji v prvním prvku, následují $χ 2$ distribuce s $n$ stupně volnosti (v měřítku $σ 2$ ) podle očekávání. Off-diagonální prvek je méně známý, ale lze jej identifikovat jako normální odchylka-střední směs kde hustota míchání je a $χ 2$ rozdělení. Odpovídající mezní hustota pravděpodobnosti pro off-diagonální prvek je tedy varianční-gama distribuce

{ displaystyle f (x_ {12}) = { frac { vlevo | x_ {12} vpravo | ^ { frac {n-1} {2}}} { Gamma vlevo ({ frac {n } {2}} vpravo) { sqrt {2 ^ {n-1} pi vlevo (1- rho ^ {2} vpravo) vlevo ( sigma _ {1} sigma _ {2} right) ^ {n + 1}}}}} cdot K _ { frac {n-1} {2}} left ({ frac { left | x_ {12} right |} { sigma _ {1} sigma _ {2} left (1- rho ^ {2} right)}} right) exp { left ({ frac { rho x_ {12}} { sigma _ { 1} sigma _ {2} (1- rho ^ {2})}} vpravo)}}

kde $K. ν (z)$ je modifikovaná Besselova funkce druhého druhu.^[16] Podobné výsledky lze nalézt u vyšších dimenzí, ale vzájemná závislost off-diagonálních korelací je stále komplikovanější. Je také možné si zapsat funkce generující momenty i v necentrální případ (v podstatě případ nCraigova síla (1936)^[17] rovnice 10), i když se hustota pravděpodobnosti stává nekonečným součtem Besselových funkcí.

Rozsah parametru tvaru

Může se to ukázat ^[18] že distribuci Wishart lze definovat právě tehdy, pokud je to parametr tvaru $n$ patří do sady

{ displaystyle Lambda _ {p}: = {0, ldots, p-1 } cup left (p-1, infty right).}

Tato sada je pojmenována po Gindikinovi, který ji představil^[19] v sedmdesátých letech v kontextu distribuce gama na homogenních kuželech. Pro nové parametry v diskrétním spektru souboru Gindikin, jmenovitě

{ displaystyle Lambda _ {p} ^ {*}: = {0, ldots, p-1 },}

odpovídající Wishartovo rozdělení nemá žádnou Lebesgueovu hustotu.

Vztahy k jiným distribucím

Distribuce Wishart souvisí s inverzní Wishartova distribuce, označeno ${ displaystyle W_ {p} ^ {- 1}}$ , takto: Pokud $X ~ Ž p (PROTI, n)$ a pokud provedeme změnu proměnných $C = X -1$ , pak ${ displaystyle mathbf {C} sim W_ {p} ^ {- 1} ( mathbf {V} ^ {- 1}, n)}$ . Tento vztah lze odvodit konstatováním, že absolutní hodnota Jacobian determinant této změny proměnných je $| C | p +1$ , viz například rovnice (15.15) v.^[20]
v Bayesovské statistiky, distribuce Wishart je a před konjugátem pro parametr přesnosti z vícerozměrné normální rozdělení, když je znám střední parametr.^[10]
Zobecněním je multivariační distribuce gama.
Jiný typ zobecnění je normální Wishartova distribuce, v podstatě produkt a vícerozměrné normální rozdělení s distribucí Wishart.

Viz také

Reference

^ ^A ^b Wishart, J. (1928). "Zobecněná distribuce momentu produktu ve vzorcích z normální multivariační populace". Biometrika. 20A (1–2): 32–52. doi:10.1093 / biomet / 20A.1-2.32. JFM 54.0565.02. JSTOR 2331939.
^ ekonofyzika: Úvod, autor: S Sinha
^ Koop, Gary; Korobilis, Dimitris (2010). „Bayesovské vícerozměrné metody časových řad pro empirickou makroekonomii“. Základy a trendy v ekonometrii. 3 (4): 267–358. doi:10.1561/0800000013.
^ Gupta, A. K .; Nagar, D. K. (2000). Maticové proměnné distribuce. Chapman & Hall / CRC. ISBN 1584880465.
^ Gelman, Andrew (2003). Bayesovská analýza dat (2. vyd.). Boca Raton, Florida.: Chapman & Hall. str. 582. ISBN 158488388X. Citováno 3. června 2015.
^ Zanella, A .; Chiani, M .; Win, M.Z. (Duben 2009). „O marginálním rozdělení vlastních čísel matic přání (PDF). Transakce IEEE na komunikaci. 57 (4): 1050–1060. doi:10.1109 / TCOMM.2009.04.070143.
^ Muirhead, Robb J. (2005). Aspekty vícerozměrné statistické teorie (2. vyd.). Wiley Interscience. ISBN 0471769851.
^ ^A ^b Anderson, T. W. (2003). Úvod do vícerozměrné statistické analýzy (3. vyd.). Hoboken, N. J .: Wiley Interscience. str. 259. ISBN 0-471-36091-0.
^ Uhlig, H. (1994). „Na Singular Wishart a Singular Multivariate Beta Distribuce“. Annals of Statistics. 22: 395–405. doi:10.1214 / aos / 1176325375.
^ ^A ^b ^C ^d Bishop, C. M. (2006). Rozpoznávání vzorů a strojové učení. Springer.
^ ^A ^b Rao, C. R. (1965). Lineární statistická inference a její aplikace. Wiley. str. 535.
^ Seber, George A. F. (2004). Vícerozměrná pozorování. Wiley. ISBN 978-0471691211.
^ Chatfield, C .; Collins, A. J. (1980). Úvod do vícerozměrné analýzy. London: Chapman and Hall. str.103–108. ISBN 0-412-16030-7.
^ Anderson, T. W. (2003). Úvod do vícerozměrné statistické analýzy (3. vyd.). Hoboken, N. J .: Wiley Interscience. str. 257. ISBN 0-471-36091-0.
^ Smith, W. B .; Hocking, R. R. (1972). "Algoritmus AS 53: Wishart Variate Generator". Journal of the Royal Statistical Society, Series C. 21 (3): 341–345. JSTOR 2346290.
^ Pearson, Karl; Jeffery, G. B.; Elderton, Ethel M. (Prosinec 1929). „O distribuci koeficientu momentu prvního produktu ve vzorcích získaných z neurčitě velké normální populace“. Biometrika. Trust Biometrika. 21: 164–201. doi:10.2307/2332556. JSTOR 2332556.
^ Craig, Cecil C. (1936). „On the Frequency Function of xy“. Ann. Matematika. Statist. 7: 1–15. doi:10.1214 / aoms / 1177732541.
^ Peddada a Richards, Shyamal Das; Richards, Donald St. P. (1991). „Důkaz o domněnce M. L. Eatona o charakteristické funkci distribuce Wishart,“. Annals of Probability. 19 (2): 868–874. doi:10.1214 / aop / 1176990455.
^ Gindikin, S.G. (1975). "Invariantní zobecněné funkce v homogenních doménách,". Funct. Anální. Appl. 9 (1): 50–52. doi:10.1007 / BF01078179.
^ Dwyer, Paul S. (1967). "Některé aplikace maticových derivátů ve vícerozměrné analýze". J. Amer. Statist. Doc. 62 (318): 607–625. JSTOR 2283988.

externí odkazy

Knihovna C ++ pro generátor náhodných matic

[Wishart-1] A ^b Wishart, J. (1928). "Zobecněná distribuce momentu produktu ve vzorcích z normální multivariační populace". Biometrika. 20A (1–2): 32–52. doi:10.1093 / biomet / 20A.1-2.32. JFM 54.0565.02. JSTOR 2331939.

[2] yzika: Úvod, autor: S Sinha

[3] Koop, Gary; Korobilis, Dimitris (2010). „Bayesovské vícerozměrné metody časových řad pro empirickou makroekonomii“. Základy a trendy v ekonometrii. 3 (4): 267–358. doi:10.1561/0800000013.

[4] Gupta, A. K .; Nagar, D. K. (2000). Maticové proměnné distribuce. Chapman & Hall / CRC. ISBN 1584880465.

[5] Gelman, Andrew (2003). Bayesovská analýza dat (2. vyd.). Boca Raton, Florida.: Chapman & Hall. str. 582. ISBN 158488388X. Citováno 3. června 2015.

[6] Zanella, A .; Chiani, M .; Win, M.Z. (Duben 2009). „O marginálním rozdělení vlastních čísel matic přání (PDF). Transakce IEEE na komunikaci. 57 (4): 1050–1060. doi:10.1109 / TCOMM.2009.04.070143.

[7] Muirhead, Robb J. (2005). Aspekty vícerozměrné statistické teorie (2. vyd.). Wiley Interscience. ISBN 0471769851.

[Anderson-8] A ^b Anderson, T. W. (2003). Úvod do vícerozměrné statistické analýzy (3. vyd.). Hoboken, N. J .: Wiley Interscience. str. 259. ISBN 0-471-36091-0.

[Uhlig1994-9] Uhlig, H. (1994). „Na Singular Wishart a Singular Multivariate Beta Distribuce“. Annals of Statistics. 22: 395–405. doi:10.1214 / aos / 1176325375.

[bishop-10] A ^b ^C ^d Bishop, C. M. (2006). Rozpoznávání vzorů a strojové učení. Springer.

[rao-11] A ^b Rao, C. R. (1965). Lineární statistická inference a její aplikace. Wiley. str. 535.

[12] Seber, George A. F. (2004). Vícerozměrná pozorování. Wiley. ISBN 978-0471691211.

[13] Chatfield, C .; Collins, A. J. (1980). Úvod do vícerozměrné analýzy. London: Chapman and Hall. str.103–108. ISBN 0-412-16030-7.

[14] Anderson, T. W. (2003). Úvod do vícerozměrné statistické analýzy (3. vyd.). Hoboken, N. J .: Wiley Interscience. str. 257. ISBN 0-471-36091-0.

[15] Smith, W. B .; Hocking, R. R. (1972). "Algoritmus AS 53: Wishart Variate Generator". Journal of the Royal Statistical Society, Series C. 21 (3): 341–345. JSTOR 2346290.

[16] Pearson, Karl; Jeffery, G. B.; Elderton, Ethel M. (Prosinec 1929). „O distribuci koeficientu momentu prvního produktu ve vzorcích získaných z neurčitě velké normální populace“. Biometrika. Trust Biometrika. 21: 164–201. doi:10.2307/2332556. JSTOR 2332556.

[17] Craig, Cecil C. (1936). „On the Frequency Function of xy“. Ann. Matematika. Statist. 7: 1–15. doi:10.1214 / aoms / 1177732541.

[18] Peddada a Richards, Shyamal Das; Richards, Donald St. P. (1991). „Důkaz o domněnce M. L. Eatona o charakteristické funkci distribuce Wishart,“. Annals of Probability. 19 (2): 868–874. doi:10.1214 / aop / 1176990455.

[19] Gindikin, S.G. (1975). "Invariantní zobecněné funkce v homogenních doménách,". Funct. Anální. Appl. 9 (1): 50–52. doi:10.1007 / BF01078179.

[20] Dwyer, Paul S. (1967). "Některé aplikace maticových derivátů ve vícerozměrné analýze". J. Amer. Statist. Doc. 62 (318): 607–625. JSTOR 2283988.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

Pravděpodobnostní rozdělení (Seznam )
Diskrétní univariate s konečnou podporou	Benford Bernoulli beta-binomický binomický kategorický hypergeometrický Poissonův binomický Rademacher soliton diskrétní uniforma Zipf Zipf – Mandelbrot
Diskrétní univariate s nekonečnou podporou	beta negativní binomický Borel Conway – Maxwell – Poisson diskrétní fázový typ Delaporte rozšířený záporný binomický Flory – Schulz Gauss – Kuzmin geometrický logaritmický negativní binomický Panjer parabolický fraktál jed Skellam Yule – Simon zeta
Kontinuální univariate podporováno v omezeném intervalu	arcsine ARGUS Plešatění - Nichols Bates beta beta obdélníkový kontinuální Bernoulli Irwin – Hall Kumaraswamy logit-normální noncentral beta zvýšený kosinus reciproční trojúhelníkový U-kvadratický jednotný Wigner půlkruh
Kontinuální univariate podporováno v poloneomezeném intervalu	Benini Benktander 1. druhu Benktander 2. druhu beta prime Burr chi-kvadrát chi Dagum Davise exponenciálně-logaritmická Erlang exponenciální F složené normální Fréchet gama gama / Gompertz zobecněná gama generalizovaná inverzní Gaussian Gompertz poloviční logistika napůl normální Hotelling's T- naštvaný hyper-Erlang hyperexponenciální hypoexponenciální inverzní chí-kvadrát měřítko inverzní chi-kvadrát inverzní Gaussian inverzní gama Kolmogorov Lévy log-Cauchy log-Laplace log-logistické normální log Lomax matice-exponenciální Maxwell – Boltzmann Maxwell – Jüttner Mittag-Leffler Nakagami necentrální chi-kvadrát necentrální F Pareto fázový typ poly-Weibull Rayleigh relativistický Breit – Wigner Rýže posunul Gompertz zkrácen normální Gumbel typu 2 Weibulle diskrétní Weibull Wilksova lambda
Kontinuální univariate podporováno na celé reálné linii	Cauchy exponenciální síla Fisher z Gaussian q zobecněný normální generalizované hyperbolické geometrický stabilní Gumbel Holtsmark hyperbolický sekans Johnson S_U Landau Laplace asymetrický Laplace logistické necentrální t normální (Gaussian) normálně-inverzní Gaussian zkosení normální rozřezat stabilní Studentské t Gumbel typu 1 Tracy – Widom variance-gama Voigt
Kontinuální univariate s podporou, jejíž typ se liší	generalizovaný chí-kvadrát zobecněná extrémní hodnota zobecněný Pareto Marchenko – Pastur q-exponenciální q-Gaussian q-Weibulle posunutá log-logistika Tukey lambda
Smíšený spojitý-diskrétní univariate	opravený Gaussian
Vícerozměrný (společný)	Oddělený Ewens multinomiální Dirichlet-multinomiální negativní multinomiální Kontinuální Dirichlet zobecněný Dirichlet vícerozměrný Laplace vícerozměrný normální vícerozměrný stabilní vícerozměrný t normální-inverzní-gama normální-gama Maticovou hodnotu inverzní matice gama inverzní Wishart matice normální matice t matice gama normální-inverzní-Wishart normální-Wishart Wishart
Směrový	Univariate (kruhový) směrový Kruhová uniforma univariate von Mises zabalené normální zabalený Cauchy zabalený exponenciál zabalený asymetrický Laplace zabalená Lévy Bivariate (sférické) Kent Bivariate (toroidní) bivariát von Mises Vícerozměrný von Mises – Fisher Bingham
Degenerovat a jednotné číslo	Degenerovat Diracova delta funkce Jednotné číslo Cantor
Rodiny	Oběžník složený Poisson eliptický exponenciální přirozený exponenciál měřítko umístění maximální entropie směs Pearson Tweedie zabalené

Zápis	$X ~ Ž p (PROTI, n)$
Parametry	$n > p - 1$ stupně svobody (nemovitý ) $PROTI > 0$ měřítková matice ( $p \times p$ poz. def )
Podpěra, podpora	$X (p \times p)$ pozitivní určitá matice
PDF	${ displaystyle f _ { mathbf {X}} ( mathbf {x}) = { frac {\| mathbf {x} \| ^ {(np-1) / 2} e ^ {- operatorname {tr} ( mathbf {V} ^ {- 1} mathbf {x}) / 2}} {2 ^ { frac {np} {2}} \| { mathbf {V}} \| ^ {n / 2} Gamma _ {p} ({ frac {n} {2}})}}}$ $Γ p$ je vícerozměrná funkce gama $tr$ je stopa funkce
Znamenat	${ displaystyle operatorname {E} [X] = n { mathbf {V}}}$
Režim	$(n - p - 1) PROTI$ pro $n \geq p + 1$
Rozptyl	${ displaystyle operatorname {Var} ( mathbf {X} _ {ij}) = n vlevo (v_ {ij} ^ {2} + v_ {ii} v_ {jj} vpravo)}$
Entropie	viz. níže
CF	${ displaystyle Theta mapsto left \| { mathbf {I}} -2i , { mathbf { Theta}} { mathbf {V}} doprava \| ^ {- { frac {n} {2 }}}}$