Relativistická distribuce Breit – Wigner - Relativistic Breit–Wigner distribution

The relativistické rozdělení Breit – Wigner (podle vzorce nukleární rezonance z roku 1936^[1] z Gregory Breit a Eugene Wigner ) je spojitý rozdělení pravděpodobnosti s následujícími funkce hustoty pravděpodobnosti,^[2]

${ displaystyle f (E) = { frac {k} { vlevo (E ^ {2} -M ^ {2} vpravo) ^ {2} + M ^ {2} Gamma ^ {2}}} ~,}$

kde k je konstanta proporcionality rovná se

${ displaystyle k = { frac {2 { sqrt {2}} M Gamma gamma} { pi { sqrt {M ^ {2} + gamma}}}} ~~~~}$ s ${ displaystyle ~~~~ gamma = { sqrt {M ^ {2} left (M ^ {2} + Gamma ^ {2} right)}} ~.}$

(Tato rovnice je psána pomocí přirozené jednotky, ħ = C = 1.)

Nejčastěji se používá k modelování rezonance (nestabilní částice) v vysokoenergetická fyzika. V tomto případě, E je těžiště energie která produkuje rezonanci, M je Hmotnost rezonance a Γ je šířka rezonance (nebo šířka úpadku ), související s jeho střední životnost podle τ = 1 / Γ. (Se zahrnutými jednotkami je vzorec τ = ħ/ Γ.)

Používání

Pravděpodobnost vzniku rezonance při dané energii E je úměrný F (E), takže graf rychlosti produkce nestabilní částice jako funkce energie sleduje tvar relativistického Breit – Wignerova rozdělení. Všimněte si, že pro hodnoty E z maxima při M takhle |E² − M²| = MΓ, (proto |E − M| = Γ / 2 pro M ≫ Γ), distribuce F zeslabil na polovinu své maximální hodnoty, což ospravedlňuje název pro Γ, šířka na polovinu maxima.

V limitu mizející šířky Γ → 0 se částice stabilizuje jako Lorentzianovo rozdělení F zaostřuje nekonečně na 2Mδ(E² − M²).

Obecně platí, že Γ může být také funkcí E; tato závislost je obvykle důležitá pouze tehdy, když Γ není ve srovnání s M a fázový prostor - je třeba vzít v úvahu závislost šířky. (Například při rozpadu rho meson do páru piony.) Faktor M² to se znásobí Γ² by měl být také nahrazen E² (nebo E ⁴/M²atd.), když je rezonance široká.^[3]

Forma relativistické distribuce Breit – Wigner vychází z propagátor nestabilní částice,^[4] který má jmenovatele formuláře p² − M² + iMΓ. (Tady, p² je čtverec čtyři momenty nesený touto částicí ve stromovém Feynmanově diagramu.) Propagátor ve svém klidovém rámci je pak úměrný kvantově mechanická amplituda za rozpad použitý k rekonstrukci této rezonance,

${ displaystyle { frac { sqrt {k}} { vlevo (E ^ {2} -M ^ {2} vpravo) + iM Gamma}} ~.}$

Výsledné rozdělení pravděpodobnosti je úměrné absolutní čtverci amplitudy, takže výše uvedené relativistické Breit – Wignerovo rozdělení pro funkci hustoty pravděpodobnosti.

Forma tohoto rozdělení je podobná amplitudě řešení klasické pohybové rovnice pro a řízený harmonický oscilátor tlumené a poháněné a sinusový Vnější síla. Má to standard rezonance forma Lorentz, nebo Cauchyovo rozdělení, ale zahrnuje relativistické proměnné s = p², zde =E². Distribuce je řešením diferenciální rovnice pro amplitudu na druhou w.r.t. energetická energie (frekvence) v takovém klasickém nuceném oscilátoru,

${ displaystyle f '({ text {E}}) left ( left ({left {E}} ^ {2} -M ^ {2} right) ^ {2} + Gamma ^ {2 } M ^ {2} right) -4 { text {E}} f ({ text {E}}) (M - { text {E}}) ({ text {E}} + M) = 0,}$

s

${ displaystyle f (M) = { frac {k} { Gamma ^ {2} M ^ {2}}}. ~}$

Gaussovo rozšíření

V experimentu má dopadající paprsek, který produkuje rezonanci, vždy určité šíření energie kolem centrální hodnoty. Obvykle je to Gaussovo / normální rozdělení. Výsledný rezonanční tvar je v tomto případě dán vztahem konvoluce Breit-Wigner a Gaussovo rozdělení,

${ displaystyle V_ {2} (E; M, Gamma, k, sigma) = int _ {- infty} ^ { infty} { frac {k} {(E '^ {2} -M ^ {2}) ^ {2} + (M Gamma) ^ {2}}} { frac {1} { sigma { sqrt {2 pi}}}} e ^ {- { frac {( E'-E) ^ {2}} {2 sigma ^ {2}}}} dE '.}$

Tuto funkci lze zjednodušit ^[5] zavedením nových proměnných,

${ displaystyle t = { frac {E-E '} {{ sqrt {2}} sigma}}, quad u_ {1} = { frac {EM} {{ sqrt {2}} sigma }}, quad u_ {2} = { frac {E + M} {{ sqrt {2}} sigma}}, quad a = { frac {k pi} {2 sigma ^ {2 }}},}$

získat

${ displaystyle V_ {2} (E; M, Gamma, k, sigma) = { frac {H_ {2} (a, u_ {1}, u_ {2})} { sigma ^ {2} 2 { sqrt { pi}}}},}$

kde funkce rozšiřování relativistické linie ^[5] má následující definici,

${ displaystyle H_ {2} (a, u_ {1}, u_ {2}) = { frac {a} { pi}} int _ {- infty} ^ { infty} { frac {e ^ {- t ^ {2}}} {(u_ {1} -t) ^ {2} (u_ {2} -t) ^ {2} + a ^ {2}}} dt.}$

${ displaystyle H_ {2}}$ je relativistický protějšek podobné funkce rozšiřování řádků ^[6] pro Voigtův profil používané ve spektroskopii (viz také oddíl 7.19 normy ^[7]).

Reference