Ponoření (matematika) - Submersion (mathematics)

v matematika, a ponoření je diferencovatelná mapa mezi diferencovatelné potrubí jehož rozdíl je všude surjektivní. Toto je základní koncept v diferenciální topologie. Pojem ponoření je dvojí ve srovnání s pojmem ponoření.

Definice

Nechat M a N být diferencovatelné potrubí a ${ displaystyle f dvojtečka M až N}$ být diferencovatelná mapa mezi nimi. Mapa F je ponoření do bodu ${ displaystyle p v M}$ Pokud je to rozdíl

${ displaystyle Df_ {p} dvojtečka T_ {p} M až T_ {f (p)} N}$

je surjektivní lineární mapa.^[1] V tomto případě p se nazývá a pravidelný bod mapy F, v opačném případě, p je kritický bod. Bod ${ displaystyle q v N}$ je běžná hodnota z F pokud všechny body p v preimage ${ displaystyle f ^ {- 1} (q)}$ jsou pravidelné body. Diferencovatelná mapa F to je ponoření v každém bodě ${ displaystyle p v M}$ se nazývá a ponoření. Ekvivalentně F je ponor, pokud je jeho rozdíl ${ displaystyle Df_ {p}}$ má konstantní pozice rovná se dimenzi N.

Upozornění: někteří autoři tento termín používají kritický bod popsat bod, kde hodnost z Jacobian matrix z F na p není maximální.^[2] Ve skutečnosti je to užitečnější pojem v teorie singularity. Pokud je rozměr M je větší nebo rovno dimenzi N pak se tyto dva pojmy kritického bodu shodují. Ale pokud rozměr M je menší než rozměr N, všechny body jsou kritické podle výše uvedené definice (rozdíl nemůže být surjektivní), ale jakobiánská hodnost může být stále maximální (pokud se rovná dim M). Definice uvedená výše je běžněji používaná; např. ve formulaci Sardova věta.

Věta o ponoření

Vzhledem k ponoření mezi hladké potrubí ${ displaystyle f dvojtečka M až N}$ the vlákna z ${ displaystyle f}$, označeno ${ displaystyle M_ {x} = f ^ {- 1} ( {p })}$ mohou být vybaveny strukturou hladkého potrubí. Tato věta spojená s Whitneyova veta znamená, že každé plynulé potrubí lze popsat jako vlákno hladké mapy ${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R} ^ {m}}$.

Zvažte například ${ displaystyle f colon mathbb {R} ^ {3} to mathbb {R}}$ dána ${ displaystyle f (x, y, z) = x ^ {4} + y ^ {4} + z ^ {4}.}$ Jacobská matice je

${ displaystyle { begin {bmatrix} { frac { částečné f} { částečné x}} & { frac { částečné f} { částečné y}} & { frac { částečné f} { částečné z}} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 4x ^ {3} & 4y ^ {3} & 4z ^ {3} end {bmatrix}}.}$

To má maximální hodnocení v každém bodě kromě ${ displaystyle (0,0,0)}$. Také vlákna

${ displaystyle f ^ {- 1} ( {t }) ​​= vlevo {(a, b, c) v mathbb {R} ^ {3}: a ^ {4} + b ^ {4 } + c ^ {4} = t doprava }}$

jsou prázdný pro ${ displaystyle t <0}$, a rovná se bodu, kdy ${ displaystyle t = 0}$. Proto máme pouze hladké ponoření ${ displaystyle f colon mathbb {R} ^ {3} setminus {(0,0,0) } do mathbb {R} _ {> 0},}$ a podmnožiny ${ displaystyle M_ {t} = vlevo {(a, b, c) v mathbb {R} ^ {3}: a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4} = t že jo}}$ jsou dvourozměrné hladké potrubí pro ${ displaystyle t> 0}$.

Příklady

• Jakákoli projekce ${ displaystyle pi colon mathbb {R} ^ {m + n} rightarrow mathbb {R} ^ {n} podmnožina mathbb {R} ^ {m + n}}$
• Místní difeomorfismy
• Riemannovy ponoření
• Projekce je plynulá vektorový svazek nebo obecnější hladký fibrace. Surjektivita diferenciálu je nezbytnou podmínkou pro existenci a lokální bagatelizace.

Místní normální forma

Li F: M → N je ponoření na p a F(p) = q ∈ N, pak existuje otevřené sousedství U z p v M, otevřené sousedství PROTI z q v Na místní souřadnice (X₁, …, X_m) na p a (X₁, …, X_n) na q takhle F(U) = PROTIa mapa F v těchto lokálních souřadnicích je standardní projekce

${ displaystyle f (x_ {1}, ldots, x_ {n}, x_ {n + 1}, ldots, x_ {m}) = (x_ {1}, ldots, x_ {n}).}$

Z toho vyplývá, že celá preimage F⁻¹(q) v M běžné hodnoty q v N pod rozlišitelnou mapou F: M → N je buď prázdný, nebo je rozlišitelným varietou dimenze ztlumit M - dim N, možná odpojen. Toto je obsah věta o běžné hodnotě (také známý jako věta o ponoření). Závěr platí zejména pro všechny q v N pokud mapa F je ponoření.

Topologické rozmanité ponoření

Ponorky jsou také obecně dobře definovány topologické potrubí.^[3] Topologické ponoření potrubí je a kontinuální surjection F : M → N takové, že pro všechny p v M, pro některé spojité grafy ψ na p a φ na f (p), mapa ψ⁻¹ ∘ f ∘ φ se rovná projekční mapa z R^m na Rⁿ, kde m = dim (M) ≥ n = dim (N).

Viz také

• Ehresmannova věta o fibraci

Poznámky

Reference

• Arnold, Vladimír I.; Gusein-Zade, Sabir M.; Varchenko, Alexander N. (1985). Singularita rozlišitelných map: Svazek 1. Birkhäuser. ISBN  0-8176-3187-9.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Bruce, James W .; Giblin, Peter J. (1984). Křivky a singularity. Cambridge University Press. ISBN  0-521-42999-4. PAN  0774048.
• Crampin, Michael; Pirani, Felix Arnold Edward (1994). Použitelná diferenciální geometrie. Cambridge, Anglie: Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-23190-9.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• dělat Carmo, Manfredo Perdigao (1994). Riemannova geometrie. ISBN  978-0-8176-3490-2.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Frankel, Theodore (1997). Geometrie fyziky. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN  0-521-38753-1. PAN  1481707.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique; Lafontaine, Jacques (2004). Riemannova geometrie (3. vyd.). Berlín, New York: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-20493-0.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Kosinski, Antoni Albert (2007) [1993]. Diferenciální potrubí. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN  978-0-486-46244-8.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Lang, Serge (1999). Základy diferenciální geometrie. Postgraduální texty z matematiky. New York: Springer. ISBN  978-0-387-98593-0.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Sternberg, Shlomo Zvi (2012). Zakřivení v matematice a fyzice. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN  978-0-486-47855-5.CS1 maint: ref = harv (odkaz)