Rayleighova distribuce - Rayleigh distribution

Rayleigh

Funkce hustoty pravděpodobnosti
Funkce kumulativní distribuce
Parametry	měřítko: ${ displaystyle sigma> 0}$
Podpěra, podpora	${ displaystyle x v [0, infty)}$
PDF	${ displaystyle { frac {x} { sigma ^ {2}}} e ^ {- x ^ {2} / left (2 sigma ^ {2} right)}}$
CDF	${ displaystyle 1-e ^ {- x ^ {2} / vlevo (2 sigma ^ {2} vpravo)}}$
Kvantilní	${ displaystyle Q (F; sigma) = sigma { sqrt {-2 ln (1-F)}}}$
Znamenat	${ displaystyle sigma { sqrt { frac { pi} {2}}}}$
Medián	${ displaystyle sigma { sqrt {2 ln (2)}}}$
Režim	${ displaystyle sigma}$
Rozptyl	${ displaystyle { frac {4- pi} {2}} sigma ^ {2}}$
Šikmost	${ displaystyle { frac {2 { sqrt { pi}} ( pi -3)} {(4- pi) ^ {3/2}}}}$
Př. špičatost	${ displaystyle - { frac {6 pi ^ {2} -24 pi +16} {(4- pi) ^ {2}}}}$
Entropie	${ displaystyle 1+ ln left ({ frac { sigma} { sqrt {2}}} right) + { frac { gamma} {2}}}$
MGF	${ displaystyle 1+ sigma te ^ { sigma ^ {2} t ^ {2} / 2} { sqrt { frac { pi} {2}}} left ( operatorname {erf} left ( { frac { sigma t} { sqrt {2}}} vpravo) +1 vpravo)}$
CF	${ displaystyle 1- sigma te ^ {- sigma ^ {2} t ^ {2} / 2} { sqrt { frac { pi} {2}}} left ( operatorname {erfi} left ({ frac { sigma t} { sqrt {2}}} vpravo) -i vpravo)}$

v teorie pravděpodobnosti a statistika, Rayleighova distribuce je spojité rozdělení pravděpodobnosti pro nezáporné hodnoty náhodné proměnné. Je to v zásadě a distribuce chi se dvěma stupně svobody.

Rayleighovo rozdělení je často pozorováno, když celková velikost vektoru souvisí s jeho směrovým komponenty. Jedním příkladem, kde přirozeně vzniká Rayleighova distribuce, je kdy vítr rychlost je analyzována v dva rozměry Za předpokladu, že každá součást je nesouvisí, normálně distribuováno se stejnými rozptyl a nula znamenat, pak celková rychlost větru (vektor velikost) bude charakterizována Rayleighovým rozdělením. Druhý příklad rozdělení vzniká v případě náhodných komplexních čísel, jejichž reálné a imaginární složky jsou nezávisle a identicky distribuovány Gaussian se stejnou odchylkou a nulovým průměrem. V takovém případě je absolutní hodnota komplexního čísla Rayleighova distribuovaná.

Distribuce je pojmenována po Lord Rayleigh (/ˈreɪli/).^[1]

Definice

The funkce hustoty pravděpodobnosti Rayleighova distribuce je^[2]

${ displaystyle f (x; sigma) = { frac {x} { sigma ^ {2}}} e ^ {- x ^ {2} / (2 sigma ^ {2})}, quad x geq 0,}$

kde ${ displaystyle sigma}$ je parametr měřítka distribuce. The kumulativní distribuční funkce je^[2]

${ displaystyle F (x; sigma) = 1-e ^ {- x ^ {2} / (2 sigma ^ {2})}}$

pro ${ displaystyle x v [0, infty).}$

Vztah k délce náhodného vektoru

Zvažte dvourozměrný vektor ${ displaystyle Y = (U, V)}$ který má komponenty, které jsou normálně distribuovány, vycentrovány na nulu a nezávislé. Pak ${ displaystyle U}$ a ${ displaystyle V}$ mají funkce hustoty

${ displaystyle f_ {U} (x; sigma) = f_ {V} (x; sigma) = { frac {e ^ {- x ^ {2} / (2 sigma ^ {2})}} { sqrt {2 pi sigma ^ {2}}}}.}$

Nechat ${ displaystyle X}$ být délka ${ displaystyle Y}$. To znamená, ${ displaystyle X = { sqrt {U ^ {2} + V ^ {2}}}.}$ Pak ${ displaystyle X}$ má kumulativní distribuční funkci

${ displaystyle F_ {X} (x; sigma) = iint _ {D_ {x}} f_ {U} (u; sigma) f_ {V} (v; sigma) , dA,}$

kde ${ displaystyle D_ {x}}$ je disk

${ displaystyle D_ {x} = left {(u, v): { sqrt {u ^ {2} + v ^ {2}}}$

Psaní dvojitý integrál v polární souřadnice, stává se

${ displaystyle F_ {X} (x; sigma) = { frac {1} {2 pi sigma ^ {2}}} int _ {0} ^ {2 pi} int _ {0} ^ {x} re ^ {- r ^ {2} / (2 sigma ^ {2})} , dr , d theta = { frac {1} { sigma ^ {2}}} int _ {0} ^ {x} re ^ {- r ^ {2} / (2 sigma ^ {2})} , dr.}$

Nakonec funkce hustoty pravděpodobnosti pro ${ displaystyle X}$ je derivát jeho kumulativní distribuční funkce, kterou pomocí základní věta o počtu je

${ displaystyle f_ {X} (x; sigma) = { frac {d} {dx}} F_ {X} (x; sigma) = { frac {x} { sigma ^ {2}}} e ^ {- x ^ {2} / (2 sigma ^ {2})},}$

což je Rayleighova distribuce. Je jednoduché generalizovat na vektory dimenze jiné než 2. Existují také zevšeobecnění, když komponenty mají nerovnoměrný rozptyl nebo korelace, nebo když vektor Y následuje a bivariate Student t-rozdělení.^[3]

Vlastnosti

The syrové momenty jsou dány:

${ displaystyle mu _ {j} = sigma ^ {j} 2 ^ {j / 2} , gama doleva (1 + { frac {j} {2}} doprava),}$

kde ${ Displaystyle Gamma (z)}$ je funkce gama.

The znamenat Rayleighovy náhodné proměnné je tedy:

${ displaystyle mu (X) = sigma { sqrt { frac { pi} {2}}} přibližně 1,253 sigma.}$

The standardní odchylka Rayleighovy náhodné proměnné je:

${ displaystyle operatorname {std} (X) = { sqrt { vlevo (2 - { frac { pi} {2}} vpravo)}} sigma přibližně { sqrt {0,429}} sigma}$

The rozptyl Rayleighovy náhodné proměnné je:

${ displaystyle operatorname {var} (X) = mu _ {2} - mu _ {1} ^ {2} = vlevo (2 - { frac { pi} {2}} vpravo) sigma ^ {2} přibližně 0,429 sigma ^ {2}}$

The režimu je ${ displaystyle sigma,}$ a maximální pdf je

${ displaystyle f _ { max} = f ( sigma; sigma) = { frac {1} { sigma}} e ^ {- 1/2} přibližně { frac {0,606} { sigma}} .}$

The šikmost darováno:

${ displaystyle gamma _ {1} = { frac {2 { sqrt { pi}} ( pi -3)} {(4- pi) ^ {3/2}}} přibližně 0,631}$

Přebytek špičatost darováno:

${ displaystyle gamma _ {2} = - { frac {6 pi ^ {2} -24 pi +16} {(4- pi) ^ {2}}} přibližně 0,245}$

The charakteristická funkce darováno:

${ displaystyle varphi (t) = 1- sigma te ^ {- { frac {1} {2}} sigma ^ {2} t ^ {2}} { sqrt { frac { pi} { 2}}} left [ operatorname {erfi} left ({ frac { sigma t} { sqrt {2}}} right) -i right]}$

kde ${ displaystyle operatorname {erfi} (z)}$ je imaginární chybová funkce. The funkce generování momentů darováno

${ displaystyle M (t) = 1 + sigma t , e ^ {{ frac {1} {2}} sigma ^ {2} t ^ {2}} { sqrt { frac { pi} {2}}} left [ operatorname {erf} left ({ frac { sigma t} { sqrt {2}}} right) +1 right]}$

kde ${ displaystyle operatorname {erf} (z)}$ je chybová funkce.

Diferenciální entropie

The diferenciální entropie darováno^{[Citace je zapotřebí ]}

${ displaystyle H = 1 + ln left ({ frac { sigma} { sqrt {2}}} right) + { frac { gamma} {2}}}$

kde ${ displaystyle gamma}$ je Euler – Mascheroniho konstanta.

Odhad parametrů

Vzhledem k vzorku N nezávislé a identicky distribuované Rayleighovy náhodné proměnné ${ displaystyle x_ {i}}$ s parametrem ${ displaystyle sigma}$,

${ displaystyle { widehat { sigma}} ^ {2} přibližně ! , { frac {1} {2N}} součet _ {i = 1} ^ {N} x_ {i} ^ {2 }}$ je maximální pravděpodobnost odhad a také je objektivní.

${ displaystyle { widehat { sigma}} přibližně { sqrt {{ frac {1} {2N}} sum _ {i = 1} ^ {N} x_ {i} ^ {2}}}}$ je zkreslený odhad, který lze opravit pomocí vzorce

${ displaystyle sigma = { widehat { sigma}} { frac { Gamma (N) { sqrt {N}}} { Gamma (N + { frac {1} {2}})}}} = { widehat { sigma}} { frac {4 ^ {N} N! (N-1)! { sqrt {N}}} {(2N)! { sqrt { pi}}}}}$^[4]

Intervaly spolehlivosti

Chcete-li najít (1 -α) interval spolehlivosti, nejprve najděte hranice ${ displaystyle [a, b]}$ kde:

  ${ displaystyle P ( chi _ {2N} ^ {2} leq a) = alpha / 2, quad P ( chi _ {2N} ^ {2} leq b) = 1- alpha / 2 }$

pak parametr měřítka spadne do mezí

  ${ displaystyle { frac {{N} { overline {x ^ {2}}}} {b}} leq { widehat { sigma}} ^ {2} leq { frac {{N} { overline {x ^ {2}}}} {a}}}$^[5]

Generování náhodných variací

Vzhledem k náhodnému variaci U čerpáno z rovnoměrné rozdělení v intervalu (0, 1), pak variát

${ displaystyle X = sigma { sqrt {-2 ln U}} ,}$

má Rayleighovo rozdělení s parametrem ${ displaystyle sigma}$. Toho je dosaženo použitím vzorkování inverzní transformace -metoda.

Související distribuce

• ${ displaystyle R sim mathrm {Rayleigh} ( sigma)}$ je Rayleigh distribuován, pokud ${ displaystyle R = { sqrt {X ^ {2} + Y ^ {2}}}}$, kde ${ displaystyle X sim N (0, sigma ^ {2})}$ a ${ displaystyle Y sim N (0, sigma ^ {2})}$ jsou nezávislé normální náhodné proměnné.^[6] (To dává motivaci k použití symbolu „sigma“ při výše uvedené parametrizaci Rayleighovy hustoty.)

• Velikost ${ displaystyle | z |}$ a standardní komplex normálně distribuovaný proměnná z bude mít Rayleighovu distribuci.

• The distribuce chi s proti = 2 je ekvivalentní Rayleighově distribuci sσ = 1.

• Li ${ displaystyle R sim mathrm {Rayleigh} (1)}$, pak ${ displaystyle R ^ {2}}$ má distribuce chí-kvadrát s parametrem ${ displaystyle N}$, stupně volnosti, rovné dvěma (N = 2)

${ displaystyle [Q = R ^ {2}] sim chi ^ {2} (N) .}$

• Li ${ displaystyle R sim mathrm {Rayleigh} ( sigma)}$, pak ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {N} R_ {i} ^ {2}}$ má gama distribuce s parametry ${ displaystyle N}$ a ${ displaystyle 2 sigma ^ {2}}$

${ displaystyle left [Y = sum _ {i = 1} ^ {N} R_ {i} ^ {2} right] sim Gamma (N, 2 sigma ^ {2}).}$

• The Rozdělení rýže je necentrální zobecnění Rayleighova rozdělení: ${ displaystyle mathrm {Rayleigh} ( sigma) = mathrm {rýže} (0, sigma)}$.
• The Weibullova distribuce s "tvarovým parametrem" k= 2 poskytuje Rayleighovo rozdělení. Pak Rayleighův distribuční parametr ${ displaystyle sigma}$ souvisí s parametrem Weibullovy stupnice podle ${ displaystyle lambda = sigma { sqrt {2}}.}$
• The Maxwell – Boltzmannova distribuce popisuje velikost normálního vektoru ve třech rozměrech.
• Li ${ displaystyle X}$ má exponenciální rozdělení ${ displaystyle X sim mathrm {exponenciální} ( lambda)}$, pak ${ displaystyle Y = { sqrt {X}} sim mathrm {Rayleigh} (1 / { sqrt {2 lambda}}).}$

• The poloviční normální rozdělení je jednorozměrný speciální případ Rayleighovy distribuce.

Aplikace

Aplikaci odhadu σ lze nalézt v magnetická rezonance (MRI). Jako snímky MRI se zaznamenávají jako komplex obrázky, ale nejčastěji se zobrazují jako obrázky velikosti, jsou data na pozadí distribuována Rayleigh. Výše uvedený vzorec lze tedy použít k odhadu rozptylu šumu v obrazu MRI z dat na pozadí.^[7][8]

Rayleighova distribuce byla také použita v oblasti výživa pro propojení dietní živina úrovně a člověk a zvíře odpovědi. Tímto způsobem parametr σ lze použít k výpočtu vztahu reakce na živiny.^[9]

Viz také

• Rayleigh slábne
• Rayleighova distribuce směsi
• Pravděpodobná kruhová chyba

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (duben 2013) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Reference