Distribuce Tracy – Widom - Tracy–Widom distribution

The Distribuce Tracy – Widom, představil Craig Tracy a Harold Widom (1993, 1994 ), je rozdělení pravděpodobnosti normalizovaného největšího vlastní číslo a náhodný Hermitova matice.
Z praktického hlediska je Tracy – Widom funkcí přechodu mezi dvěma fázemi slabě versus silně vázaných komponent v systému.[1]Rovněž se objevuje v rozdělení délky nejdelší rostoucí posloupnost náhodných obměny,[2] při současných výkyvech indexu asymetrický jednoduchý proces vyloučení (ASEP) s počátečním stavem kroku,[3] a ve zjednodušených matematických modelech chování nejdelší společná posloupnost problém na náhodných vstupech.[4] Vidět Takeuchi & Sano (2010) a Takeuchi a kol. (2011) pro experimentální testování (a ověření), že fluktuace rozhraní rostoucí kapičky (nebo substrátu) jsou popsány distribucí TW (nebo ) jak předpovídal Prähofer & Spohn (2000).
Distribuce F1 je zvláště zajímavý v statistika s více proměnnými.[5] Pro diskusi o univerzálnosti Fβ, β = 1, 2 a 4, viz Deift (2007). Pro aplikaci F1 odvodit strukturu populace z genetických dat viz Patterson, Price & Reich (2006) V roce 2017 bylo prokázáno, že distribuce F není nekonečně dělitelná.[6]
Definice
Distribuce Tracy – Widom je definována jako limit:[7]
kde označuje největší vlastní číslo náhodné matice. Posun o se používá k udržení distribucí na střed 0. Násobení se používá, protože směrodatná odchylka distribučních stupnic jako .
Ekvivalentní formulace
The kumulativní distribuční funkce distribuce Tracy – Widom lze uvést jako Fredholmský determinant
provozovatele As na čtvercových integrovatelných funkcích na půl čáře (s, ∞) s jádro vzhledem k tomu, že Vzdušné funkce Ai od
Může být také uveden jako integrál
z hlediska řešení a Painlevé rovnice typu II
kde q, které se říká Hastingsovo-McLeodovo řešení, splňuje okrajovou podmínku
Další distribuce Tracy – Widom
Distribuce F2 je spojena s unitárními soubory v teorii náhodných matic. Existují analogické distribuce Tracy – Widom F1 a F4 pro ortogonální (β = 1) a symlektické soubory (β = 4), které jsou také vyjádřitelné, pokud jde o totéž Painlevé transcendentní q:[7]
a
Pro rozšíření definice distribucí Tracy – Widom Fβ všem β > 0 viz Ramírez, Rider a Virág (2006).
Numerické aproximace
Numerické techniky pro získání numerických řešení Painlevé rovnic typů II a V a numerické vyhodnocení distribucí vlastních čísel náhodných matic v beta souborech byly poprvé představeny Edelman & Persson (2005) použitím MATLAB. Tyto aproximační techniky byly dále analyticky zdůvodněny Bejan (2005) a slouží k numerickému vyhodnocení distribucí Painlevé II a Tracy – Widom (pro β = 1, 2 a 4) v S-PLUS. Tyto distribuce byly uvedeny v tabulce Bejan (2005) na čtyři platné číslice pro hodnoty argumentu v krocích po 0,01; v této práci byla také uvedena statistická tabulka hodnot p. Bornemann (2010) dal přesné a rychlé algoritmy pro numerické vyhodnocení Fβ a hustotní funkce Fβ(s) = dFβ/ds pro β = 1, 2 a 4. Tyto algoritmy lze použít k numerickému výpočtu znamenat, rozptyl, šikmost a nadměrná špičatost distribucí Fβ.
β | Znamenat | Rozptyl | Šikmost | Nadměrná špičatost |
---|---|---|---|---|
1 | −1.2065335745820 | 1.607781034581 | 0.29346452408 | 0.1652429384 |
2 | −1.771086807411 | 0.8131947928329 | 0.224084203610 | 0.0934480876 |
4 | −2.306884893241 | 0.5177237207726 | 0.16550949435 | 0.0491951565 |
Funkce pro práci se zákony Tracy – Widom jsou také uvedeny v balíčku R „RMTstat“ od Johnstone a kol. (2009) a balíček MATLAB 'RMLab' od Dieng (2006).
Jednoduchou aproximaci založenou na posunuté gama distribuci viz Chiani (2014).
Viz také
Poznámky pod čarou
- ^ Tajemný statistický zákon může konečně mít vysvětlení, wired.com 27. 10. 2014
- ^ Baik, Deift & Johansson (1999).
- ^ Johansson (2000); Tracy & Widom (2009) ).
- ^ Majumdar & Nechaev (2005).
- ^ Johnstone (2007, 2008, 2009 ).
- ^ Domínguez-Molina (2017).
- ^ A b Tracy & Widom (1996).
Reference
- Baik, J .; Deift, P .; Johansson, K. (1999), „O rozdělení délky nejdelší rostoucí posloupnosti náhodných permutací“, Journal of the American Mathematical Society, 12 (4): 1119–1178, doi:10.1090 / S0894-0347-99-00307-0, JSTOR 2646100, PAN 1682248.
- Bornemann, F. (2010), „O numerickém hodnocení distribucí v teorii náhodných matic: přehled s výzvou k experimentální matematice“, Markovovy procesy a související pole, 16 (4): 803–866, arXiv:0904.1581, Bibcode:2009arXiv0904.1581B.
- Chiani, M. (2014), „Distribuce největšího vlastního čísla pro skutečné Wishartovy a Gaussovské náhodné matice a jednoduchá aproximace pro distribuci Tracy – Widom“, Journal of Multivariate Analysis, 129: 69–81, arXiv:1209.3394, doi:10.1016 / j.jmva.2014.04.002.
- Deift, P. (2007), „Univerzálnost pro matematické a fyzikální systémy“ (PDF), Mezinárodní kongres matematiků (Madrid, 2006), Evropská matematická společnost, str. 125–152, arXiv:math-ph / 0603038, doi:10.4171/022-1/7, PAN 2334189.
- Dieng, Momar (2006), RMLab, balíček MATLAB pro výpočet distribucí Tracy-Widom a simulaci náhodných matic.
- Domínguez-Molina, J.Armando (2017), „Distribuce Tracy-Widom není nekonečně dělitelná“, Statistiky a pravděpodobnostní dopisy, 213 (1): 56–60.
- Johansson, K. (2000), „Kolísání tvaru a náhodné matice“, Komunikace v matematické fyzice, 209 (2): 437–476, arXiv:matematika / 9903134, Bibcode:2000CMaPh.209..437J, doi:10,1007 / s002200050027.
- Johansson, K. (2002), „Toeplitzovy determinanty, náhodný růst a determinantní procesy“ (PDF), Proc. Mezinárodní kongres matematiků (Peking, 2002), 3, Peking: Vyšší ed. Stiskněte, str. 53–62, PAN 1957518.
- Johnstone, I. M. (2007), „Vysoko dimenzionální statistická inference a náhodné matice“ (PDF), Mezinárodní kongres matematiků (Madrid, 2006), Evropská matematická společnost, str. 307–333, arXiv:matematika / 0611589, doi:10.4171/022-1/13, PAN 2334195.
- Johnstone, I. M. (2008), „Vícerozměrná analýza a soubory Jacobi: největší vlastní číslo, limity Tracy – Widom a míry konvergence“, Annals of Statistics, 36 (6): 2638–2716, arXiv:0803.3408, doi:10.1214 / 08-AOS605, PMC 2821031, PMID 20157626.
- Johnstone, I. M. (2009), „Přibližná nulová distribuce největšího kořene v multivariační analýze“, Annals of Applied Statistics, 3 (4): 1616–1633, arXiv:1009.5854, doi:10.1214 / 08-AOAS220, PMC 2880335, PMID 20526465.
- Majumdar, Satya N .; Nechaev, Sergei (2005), "Přesné asymptotické výsledky pro Bernoulliho srovnávací model sekvenčního zarovnání", Fyzický přehled E, 72 (2): 020901, 4, arXiv:q-bio / 0410012, Bibcode:2005PhRvE..72b0901M, doi:10.1103 / PhysRevE.72.020901, PAN 2177365, PMID 16196539.
- Patterson, N .; Cena, A. L .; Reich, D. (2006), „Populační struktura a vlastní analýza“, Genetika PLoS, 2 (12): e190, doi:10.1371 / journal.pgen.0020190, PMC 1713260, PMID 17194218.
- Prähofer, M .; Spohn, H. (2000), „Univerzální distribuce pro pěstování v rozměrech 1 + 1 a náhodných matricích“, Dopisy o fyzické kontrole, 84 (21): 4882–4885, arXiv:cond-mat / 9912264, Bibcode:2000PhRvL..84,4882P, doi:10.1103 / PhysRevLett.84.4882, PMID 10990822.
- Takeuchi, K. A .; Sano, M. (2010), „Univerzální fluktuace rostoucích rozhraní: důkazy o turbulentních kapalných krystalech“, Dopisy o fyzické kontrole, 104 (23): 230601, arXiv:1001.5121, Bibcode:2010PhRvL.104w0601T, doi:10.1103 / PhysRevLett.104.230601, PMID 20867221
- Takeuchi, K. A .; Sano, M .; Sasamoto, T .; Spohn, H. (2011), „Rostoucí rozhraní odkrývají univerzální fluktuace za invariancí měřítka“, Vědecké zprávy, 1: 34, arXiv:1108.2118, Bibcode:2011NatSR ... 1E..34T, doi:10.1038 / srep00034
- Tracy, C. A.; Widom, H. (1993), „Distribuce s roztečem mezer a jádro Airy“, Fyzikální písmena B, 305 (1–2): 115–118, arXiv:hep-th / 9210074, Bibcode:1993PhLB..305..115T, doi:10.1016/0370-2693(93)91114-3.
- Tracy, C. A.; Widom, H. (1994), „Distribuce s roztečem mezer a jádro Airy“, Komunikace v matematické fyzice, 159 (1): 151–174, arXiv:hep-th / 9211141, Bibcode:1994CMaPh.159..151T, doi:10.1007 / BF02100489, PAN 1257246.
- Tracy, C. A.; Widom, H. (1996), „O souborech ortogonální a symplektické matice“, Komunikace v matematické fyzice, 177 (3): 727–754, arXiv:solv-int / 9509007, Bibcode:1996CMaPh.177..727T, doi:10.1007 / BF02099545, PAN 1385083
- Tracy, C. A.; Widom, H. (2002), "Distribuční funkce pro největší vlastní čísla a jejich aplikace" (PDF), Proc. Mezinárodní kongres matematiků (Peking, 2002), 1, Peking: Vyšší ed. Press, str. 587–596, PAN 1989209.
- Tracy, C. A.; Widom, H. (2009), „Asymptotics in ASEP with step initial condition“, Komunikace v matematické fyzice, 290 (1): 129–154, arXiv:0807.1713, Bibcode:2009CMaPh.290..129T, doi:10.1007 / s00220-009-0761-0.
Další čtení
- Bejan, Andrei Iu. (2005), Největší vlastní čísla a ukázkové kovarianční matice. Tracy – Widom a Painleve II: Výpočetní aspekty a realizace v S-Plus s aplikacemi (PDF), M.Sc. disertační práce, Katedra statistiky, University of Warwick.
- Edelman, A .; Persson, P.-O. (2005), Numerické metody pro rozdělení vlastních čísel náhodných matic, arXiv:math-ph / 0501068, Bibcode:2005math.ph ... 1068E.
- Ramírez, J. A .; Rider, B .; Virág, B. (2006), „Beta soubory, stochastické vzdušné spektrum a difúze“, Journal of the American Mathematical Society, 24: 919–944, arXiv:matematika / 0607331, Bibcode:Matematika 2006 ...... 7331R, doi:10.1090 / S0894-0347-2011-00703-0.
externí odkazy
- Kuijlaars, Univerzálnost distribučních funkcí v teorii náhodných matic (PDF).
- Tracy, C. A.; Widom, H., Distribuce teorie náhodných matic a jejich aplikace (PDF).
- Johnstone, Iain; Ma, Zongming; Perry, Patrick; Shahram, Morteza (2009), Balíček „RMTstat“ (PDF).
- Časopis Quanta: Na vzdálených koncích nového univerzálního zákona