Zobecněná hyperbolická distribuce - Generalised hyperbolic distribution

Zobecněný hyperbolický

Parametry	${ displaystyle lambda}$ (nemovitý) ${ displaystyle alpha}$ (nemovitý) ${ displaystyle beta}$ parametr asymetrie (skutečný) ${ displaystyle delta}$ parametr měřítka (nemovitý) ${ displaystyle mu}$ umístění (nemovitý ) ${ displaystyle gamma = { sqrt { alpha ^ {2} - beta ^ {2}}}}$
Podpěra, podpora	${ displaystyle x in (- infty; + infty) !}$
PDF	${ displaystyle { frac {( gamma / delta) ^ { lambda}} {{ sqrt {2 pi}} K _ { lambda} ( delta gamma)}} ; e ^ { beta (x- mu)} !}$ ${ displaystyle times { frac {K _ { lambda -1/2} left ( alpha { sqrt { delta ^ {2} + (x- mu) ^ {2}}} right)} { left ({ sqrt { delta ^ {2} + (x- mu) ^ {2}}} / alpha right) ^ {1 / 2- lambda}}} !}$
Znamenat	${ displaystyle mu + { frac { delta beta K _ { lambda +1} ( delta gamma)} { gamma K _ { lambda} ( delta gamma)}}}$
Rozptyl	${ displaystyle { frac { delta K _ { lambda +1} ( delta gamma)} { gamma K _ { lambda} ( delta gamma)}} + { frac { beta ^ {2} delta ^ {2}} { gamma ^ {2}}} vlevo ({ frac {K _ { lambda +2} ( delta gamma)} {K _ { lambda} ( delta gamma)} } - { frac {K _ { lambda +1} ^ {2} ( delta gamma)} {K _ { lambda} ^ {2} ( delta gamma)}} vpravo)}$
MGF	${ displaystyle { frac {e ^ { mu z} gamma ^ { lambda}} {({ sqrt { alpha ^ {2} - ( beta + z) ^ {2}}}) ^ { lambda}}} { frac {K _ { lambda} ( delta { sqrt { alpha ^ {2} - ( beta + z) ^ {2}}})}} {K _ { lambda} ( delta gamma)}}}$

The generalizovaná hyperbolická distribuce (GH) je spojité rozdělení pravděpodobnosti definován jako normální odchylka-střední směs kde směšovací distribuce je zobecněné inverzní Gaussovo rozdělení (GIG). Své funkce hustoty pravděpodobnosti (viz rámeček) je uveden v termínech upravená Besselova funkce druhého druhu, označeno ${ displaystyle K _ { lambda}}$.^[1] To bylo představeno Ole Barndorff-Nielsen, který ji studoval v kontextu fyziky navátý písek.^[2]

Vlastnosti

Lineární transformace

Tato třída je uzavřena pod afinní transformace.^[1]

Shrnutí

Barndorff-Nielsen a Halgreen dokázali, že distribuce GIG je nekonečně dělitelný a protože distribuce GH může být získána jako normální variančně-střední směs, kde směšovací distribuce je zobecněné inverzní Gaussovo rozdělení Barndorff-Nielsen a Halgreen ukázali, že distribuce GH je také nekonečně dělitelná.^[3]

Nelze uzavřít konvolucí

Důležitým bodem nekonečně dělitelných distribucí je jejich připojení k Lévyho procesy, tj. v každém okamžiku je Lévyho proces nekonečně dělitelný. Mnoho rodin známých nekonečně dělitelných distribucí je takzvaných konvolučních uzavřených, tj. Pokud distribuce Lévyho procesu v jednom okamžiku patří jedné z těchto rodin, pak distribuce Lévyho procesu ve všech časových okamžicích patří do stejné rodiny distribucí. Například Poissonův proces bude Poissonův distribuovaný ve všech časových bodech nebo Brownův pohyb bude normálně distribuován ve všech časových bodech. Lévyho proces, který je v jednom okamžiku zobecněný hyperbolický, by však mohl selhat v tom, že by byl zobecněný hyperbolický v jiném okamžiku. Ve skutečnosti jsou zobecněné Laplaceovy distribuce a normální inverzní Gaussovy distribuce jediné podtřídy zobecněných hyperbolických distribucí, které jsou uzavřeny konvolucí.^[4]

Související distribuce

Jak název napovídá, má velmi obecnou formu a je mimo jiné nadtřídou Studentské t-rozdělení, Laplaceova distribuce, hyperbolická distribuce, normálně-inverzní Gaussovo rozdělení a varianční-gama distribuce.

• ${ displaystyle X sim mathrm {GH} (- { frac { nu} {2}}, 0,0, { sqrt { nu}}, mu) ,}$ má Studentské t-rozdělení s ${ displaystyle nu}$ stupně svobody.
• ${ displaystyle X sim mathrm {GH} (1, alfa, beta, delta, mu) ,}$ má hyperbolická distribuce.

• ${ displaystyle X sim mathrm {GH} (-1/2, alfa, beta, delta, mu) ,}$ má normálně-inverzní Gaussovo rozdělení (NIG).
• ${ displaystyle X sim mathrm {GH} (?,?,?,?,?) ,}$ normální inverzní rozdělení chí-kvadrát
• ${ displaystyle X sim mathrm {GH} (?,?,?,?,?) ,}$ normální inverzní gama rozdělení (NI)
• ${ displaystyle X sim mathrm {GH} ( lambda, alfa, beta, 0, mu) ,}$ má varianční-gama distribuce
• ${ displaystyle X sim mathrm {GH} (1,1,0,0, mu) ,}$ má Laplaceova distribuce s parametrem umístění ${ displaystyle mu}$ a měřítko parametru 1.

Aplikace

Aplikuje se hlavně na oblasti, které vyžadují dostatečnou pravděpodobnost chování na dálku^{[je zapotřebí objasnění ]}, kterou může modelovat díky svým polotěžkým ocasům - vlastnost normální distribuce nemá. The generalizovaná hyperbolická distribuce se často používá v ekonomii, se zvláštním uplatněním v oblastech modelování finančních trhů a řízení rizik díky svým polotěžkým ocasům.

Reference