Holomorfní funkce - Holomorphic function

Matematická analýza → Složitá analýza
Složitá analýza
Složitá čísla
Reálné číslo Imaginární číslo Složité letadlo Složitý konjugát Komplexní číslo jednotky
Složité funkce
Funkce s komplexní hodnotou Analytická funkce Holomorfní funkce Cauchy – Riemannovy rovnice Formální výkonová řada
Základní teorie
Nuly a póly Cauchyho integrální věta Místní primitiv Cauchyho integrální vzorec Vinutí číslo Laurentova řada Izolovaná singularita Věta o zbytku Konformní mapa Schwarzovo lema Harmonická funkce Laplaceova rovnice
Teorie geometrických funkcí
Lidé
Augustin-Louis Cauchy Leonhard Euler Carl Friedrich Gauss Jacques Hadamard Kiyoshi Oka Bernhard Riemann Karl Weierstrass
Matematický portál

Obdélníková mřížka (nahoře) a její obrázek pod a Konformní mapa F (dno).

v matematika, a holomorfní funkce je funkce s komplexní hodnotou jednoho nebo více komplex proměnné, tj. v každém bodě doména, komplexní diferencovatelné v sousedství bodu. Existence komplexního derivátu v sousedství je velmi silná podmínka, protože naznačuje, že jakákoli holomorfní funkce je ve skutečnosti nekonečně diferencovatelné a místně rovnocenné Taylor série (analytický). Holomorfní funkce jsou ústředními objekty studia v komplexní analýza.

Ačkoli termín analytická funkce je často používán zaměnitelně s „holomorfní funkcí“, slovo „analytické“ je definováno v širším smyslu k označení jakékoli funkce (reálné, komplexní nebo obecnější), kterou lze zapsat jako konvergentní mocenskou řadu v sousedství každé z nich bod v jeho doména. Skutečnost, že všechny holomorfní funkce jsou složité analytické funkce a naopak, je a hlavní věta v komplexní analýze.^[1]

Holomorfní funkce jsou také někdy označovány jako běžné funkce.^[2] Holomorfní funkce, jejíž doménou je celá komplexní rovina, se nazývá celá funkce. Fráze „holomorfní v určitém okamžiku z₀„znamená nejen rozlišitelné v z₀, ale diferencovatelné všude v nějakém sousedství z₀ v komplexní rovině.

Definice

Funkce ${displaystyle f (z) = {ar {z}}}$ není komplexně diferencovatelné na nulu, protože jak je uvedeno výše, hodnota ${displaystyle f (z) -f (0) nad z-0}$ se liší v závislosti na směru, ze kterého se blíží nula. Podél skutečné osy F rovná se funkci G(z) = z a limit je 1, zatímco podél imaginární osy, F rovná se h(z) = −z a limit je -1. Jiné směry přinášejí další limity.

Vzhledem ke komplexní hodnotě funkce F jedné komplexní proměnné, derivát z F v určitém okamžiku z₀ ve své doméně je definována omezit^[3]

${displaystyle f '(z_ {0}) = lim _ {z o z_ {0}} {f (z) -f (z_ {0}) nad z-z_ {0}}.}$

To je stejné jako definice derivátu pro skutečné funkce, kromě toho, že všechny veličiny jsou složité. Zejména se limit bere jako komplexní číslo z přístupy z₀, a musí mít stejnou hodnotu pro libovolnou posloupnost komplexních hodnot pro z ten přístup z₀ v komplexní rovině. Pokud limit existuje, říkáme to F je komplexně diferencovatelné na místě z₀. Tento koncept komplexní diferencovatelnosti sdílí několik vlastností skutečná rozlišitelnost: to je lineární a poslouchá produktové pravidlo, pravidlo kvocientu, a řetězové pravidlo.^[4]

Li F je komplexní diferencovatelné na každý směřovat z₀ v otevřené sadě U, říkáme to F je holomorfní na U. Říkáme to F je holomorfní v místě z₀ -li F je komplexně diferencovatelný na nějakém sousedství z₀.^[5] Říkáme to F je holomorfní na nějaké neotevřené sadě A pokud je holomorfní v otevřené sadě obsahující A. Jako patologický příklad není funkce dána F(z) = |z|² je komplexně diferencovatelný přesně v jednom bodě (z₀ = 0), a z tohoto důvodu je ne holomorfní na 0, protože kolem 0 není otevřená množina F je komplexně diferencovatelné.

Vztah mezi skutečnou odlišitelností a složitou odlišitelností je následující. Pokud je komplexní funkce F(X + iy) = u(X, y) + iproti(X, y) je tedy holomorfní u a proti mít první dílčí deriváty s ohledem na X a y, a uspokojit Cauchy – Riemannovy rovnice:^[6]

${displaystyle {frac {částečné u} {částečné x}} = {frac {částečné v} {částečné y}} qquad {mbox {a}} qquad {frac {částečné u} {částečné y}} = - {frac {částečné v} {částečné x}},}$

nebo ekvivalentně Wirtingerův derivát z F s respektem k komplexní konjugát z z je nula:^[7]

${displaystyle {frac {částečné f} {částečné {overline {z}}}} = 0,}$

což znamená, že zhruba F je funkčně nezávislý na komplexním konjugátu z.

Pokud není dána kontinuita, nemusí být nutně pravdivá. Jednoduchý rozhovor je, že pokud u a proti mít kontinuální nejprve parciální derivace a uspokojte Cauchy – Riemannovy rovnice F je holomorfní. Spokojenější konverzace, kterou je mnohem těžší prokázat, je Looman – Menchoffova věta: pokud F je spojitý, u a proti mají první parciální derivace (ale ne nutně spojité) a splňují tedy Cauchy-Riemannovy rovnice F je holomorfní.^[8]

Terminologie

Slovo „holomorfní“ představili dva z nich Cauchy studenti, Briot (1817–1882) a Kytice (1819–1895) a pochází z řečtiny ὅλος (holo), což znamená „celý“ a μορφή (morphē), což znamená „forma“ nebo „vzhled“.^[9]

Dnes je termín „holomorfní funkce“ někdy preferován před „analytickou funkcí“. Důležitým výsledkem komplexní analýzy je, že každá holomorfní funkce je komplexní analytická, což z definic zjevně nevyplývá. Termín „analytický“ je však také široce používán.

Vlastnosti

Protože komplexní diferenciace je lineární a řídí se pravidly produktu, kvocientu a řetězu; součty, produkty a složení holomorfních funkcí jsou holomorfní a kvocient dvou holomorfních funkcí je holomorfní všude tam, kde jmenovatel není nula.^[10]

Pokud se někdo identifikuje C s R², pak se holomorfní funkce shodují s funkcemi dvou reálných proměnných se spojitými prvními derivacemi, které řeší Cauchy – Riemannovy rovnice, sada dvou parciální diferenciální rovnice.^[6]

Každá holomorfní funkce může být rozdělena na její skutečnou a imaginární část a každá z nich je řešením Laplaceova rovnice na R². Jinými slovy, pokud vyjádříme holomorfní funkci F(z) tak jako u(X, y) + já v(X, y) oba u a proti jsou harmonické funkce, kde v je harmonický konjugát z vás^[11]

Cauchyho integrální věta znamená, že konturový integrál každé holomorfní funkce podél a smyčka zmizí:^[12]

${displaystyle mast _ {gamma} f (z), dz = 0.}$

Tady y je napravitelná cesta v jednoduše připojeno otevřená podmnožina U z složité letadlo C jehož počáteční bod se rovná jeho koncovému bodu a F : U → C je holomorfní funkce.

Cauchyho integrální vzorec uvádí, že každá funkce holomorfní uvnitř a disk je zcela určen jeho hodnotami na hranici disku.^[12] Dále: Předpokládejme U je otevřená podmnožina C, F : U → C je holomorfní funkce a uzavřený disk D = {z : |z − z₀| ≤ r} je zcela obsažen v U. Nechť γ je kruh tvořící hranice z D. Pak pro každého A v interiér z D:

${displaystyle f (a) = {frac {1} {2pi i}} mast _ {gamma} {frac {f (z)} {z-a}}, dz}$

Kde konturový integrál je vzat proti směru hodinových ručiček.

Derivát F′(A) lze zapsat jako obrysový integrál^[12] použitím Cauchyho diferenciační vzorec:

${displaystyle f '(a) = {1 nad 2pi i} mast _ {gamma} {f (z) nad (z-a) ^ {2}}, dz,}$

pro každou jednoduchou smyčku s pozitivním vinutím jednou kolem A, a

${displaystyle f '(a) = lim limits _ {gamma oa} {frac {i} {2 {mathcal {A}} (gamma)}} mast _ {gamma} f (z) d {ar {z}}, }$

pro nekonečně pozitivní kladné smyčky γ kolem A.

V oblastech, kde první derivace není nula, jsou holomorfní funkce konformní v tom smyslu, že zachovávají úhly a tvar (nikoli však velikost) malých postav.^[13]

Každý holomorfní funkce je analytická. To znamená holomorfní funkce F má deriváty každé objednávky v každém bodě A ve své doméně a shoduje se s vlastní Taylor série na A v sousedství A. Ve skutečnosti, F se shoduje s jeho sérií Taylor v A na jakémkoli disku se středem v tomto bodě a ležícím v doméně funkce.

Z algebraického hlediska je množina holomorfních funkcí na otevřené množině a komutativní prsten a a složitý vektorový prostor. Sada holomorfních funkcí v otevřené množině U je navíc integrální doména právě tehdy, když je připojena otevřená množina U. ^[7] Ve skutečnosti je to lokálně konvexní topologický vektorový prostor, s semináře být suprema na kompaktní podmnožiny.

Z geometrické perspektivy funkce F je holomorfní v z₀ jen a jen pokud vnější derivace df v sousedství U z z₀ je rovný F′(z) dz pro nějakou spojitou funkci F'. Vyplývá to z

${displaystyle extstyle 0 = d ^ {2} f = d (f ^ {prime} dz) = df ^ {prime} klín dz}$

že df′ Je také úměrné dz, což znamená, že derivát F′ Je samo o sobě holomorfní a tedy i to F je nekonečně diferencovatelné. Podobně skutečnost, že d(f dz) = F′ dz ∧ dz = 0 znamená, že jakákoli funkce F to je holomorfní na jednoduše spojené oblasti U je také integrovatelný U. (Pro cestu γ z z₀ na z leží úplně v U, definovat

${displaystyle extstyle F_ {gamma} (z) = F_ {0} + int _ {gamma} fdz}$;

ve světle Jordanova věta o křivce a zobecněná Stokesova věta, F_y(z) je nezávislý na konkrétní volbě cesty γ, a tedy F(z) je dobře definovaná funkce na U mít F(z₀) = F₀ a dF = f dz.)

Příklady

Všechno polynomiální funkce v z s komplexem koeficienty jsou holomorfní Ca také jsou sinus, kosinus a exponenciální funkce. (Goniometrické funkce jsou ve skutečnosti úzce spjaty a lze je definovat pomocí exponenciální funkce pomocí Eulerův vzorec ). Hlavní pobočka komplexní logaritmus funkce je holomorfní na soubor C ∖ {z ∈ R : z ≤ 0}. The odmocnina funkce může být definována jako

${displaystyle {sqrt {z}} = e ^ {{frac {1} {2}} přihlásit z}}$

a je tedy holomorfní všude tam, kde logaritmus log (z) je. Funkce 1 /z je holomorfní {z : z ≠ 0}.

V důsledku Cauchy – Riemannovy rovnice, holomorfní funkce se skutečnou hodnotou musí být konstantní. Proto je absolutní hodnota z, argument z z, skutečná část z z a imaginární část z z nejsou holomorfní. Dalším typickým příkladem spojité funkce, která není holomorfní, je komplexní konjugát z tvořil komplexní konjugace.

Několik proměnných

Definice holomorfní funkce se zobecňuje přímo na několik složitých proměnných. Nechat D označuje otevřenou podmnožinu Cⁿa nechte F : D → C. Funkce F je analytický v určitém okamžiku p v D pokud existuje otevřené sousedství p ve kterém F se rovná konvergentní výkonové řadě v n komplexní proměnné.^[14] Definovat F být holomorfní pokud je analytický v každém bodě své domény. Osgoodovo lemma ukazuje (pomocí vícerozměrného Cauchyova integrálního vzorce), že pro spojitou funkci F, to je ekvivalentní k F být holomorfní v každé proměnné samostatně (to znamená, že pokud existuje n − 1 souřadnice jsou pevné, pak omezení F je holomorfní funkce zbývající souřadnice). Mnohem hlouběji Hartogsova věta dokazuje, že hypotéza kontinuity je zbytečná: F je holomorfní právě tehdy, pokud je holomorfní v každé proměnné zvlášť.

Obecněji řečeno, funkce několika komplexních proměnných, která je čtvercový integrovatelný přes všechny kompaktní podmnožina jeho domény je analytická právě tehdy, pokud splňuje Cauchy-Riemannovy rovnice ve smyslu distribucí.

Funkce několika komplexních proměnných jsou v některých základních směrech komplikovanější než funkce jedné komplexní proměnné. Například oblast konvergence výkonové řady nemusí být nutně otevřená koule; tyto regiony jsou Reinhardtovy domény, jehož nejjednodušším příkladem je a polydisk. Přicházejí však také s některými zásadními omezeními. Na rozdíl od funkcí jedné komplexní proměnné jsou možné domény, na kterých jsou holomorfní funkce, které nelze rozšířit na větší domény, velmi omezené. Taková sada se nazývá a doména holomorfie.

A komplexní diferenciál (p, 0) -form α je holomorfní právě tehdy, pokud je jeho antiholomorfní Dolbeaultův derivát nulový, ${displaystyle {ar {částečný}} alfa = 0}$.

Rozšíření o funkční analýzu

Koncept holomorfní funkce lze rozšířit na nekonečně dimenzionální prostory funkční analýza. Například Fréchet nebo Gateaux derivát lze použít k definici pojmu holomorfní funkce na a Banachův prostor přes pole komplexních čísel.

Viz také

• Antiderivativní (komplexní analýza)
• Antiholomorfní funkce
• Biholomorphy
• Holomorfní oddělitelnost
• Meromorfní funkce
• Kvadraturní domény
• Harmonické mapy
• Harmonické morfismy
• Wirtingerovy deriváty

Reference

Další čtení

• Blakey, Joseph (1958). Univerzitní matematika (2. vyd.). London: Blackie and Sons. OCLC  2370110.

externí odkazy

• "Analytická funkce", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]