Pearsonova distribuce - Pearson distribution

Schéma systému Pearson, ukazující distribuce typů I, III, VI, V a IV, pokud jde o β₁ (druhá mocnina) a β₂ (tradiční špičatost)

The Pearsonova distribuce je rodina kontinuální rozdělení pravděpodobnosti. Poprvé to vydalo Karl Pearson v roce 1895 a následně jej rozšířil v letech 1901 a 1916 v sérii článků o biostatistika.

Dějiny

Systém Pearson byl původně navržen ve snaze modelovat viditelně zkosený pozorování. V té době bylo dobře známo, jak upravit teoretický model tak, aby odpovídal prvním dvěma kumulanty nebo momenty pozorovaných údajů: libovolné rozdělení pravděpodobnosti lze přímo rozšířit a vytvořit rodina v měřítku polohy. Až na patologické v případech lze vytvořit rodinu místního měřítka tak, aby odpovídala pozorovaným znamenat (první kumulant) a rozptyl (druhý kumulant) libovolně dobře. Nebylo však známo, jak konstruovat rozdělení pravděpodobnosti, ve kterém šikmost (standardizovaný třetí kumulant) a špičatost (standardizovaný čtvrtý cumulant) lze nastavit stejně volně. Tato potřeba se ukázala při pokusu přizpůsobit známé teoretické modely pozorovaným údajům, které vykazovaly šikmost. Pearsonovy příklady zahrnují údaje o přežití, které jsou obvykle asymetrické.

Ve svém původním příspěvku Pearson (1895, s. 360) identifikoval kromě klasifikace také čtyři typy distribucí (číslovaných I až IV). normální distribuce (který byl původně známý jako typ V). Klasifikace závisela na tom, zda jsou distribuce podporováno na ohraničeném intervalu, na půlřádce nebo na celku skutečná linie; a zda byly potenciálně zkosené nebo nutně symetrické. Druhý dokument (Pearson 1901) opravil dvě opomenutí: předefinoval distribuci typu V (původně jen normální distribuce, ale teď inverzní gama distribuce ) a zavedla distribuci typu VI. První dva články společně pokrývají pět hlavních typů systému Pearson (I, III, IV, V a VI). Ve třetím článku Pearson (1916) představil další speciální případy a podtypy (VII až XII).

Rhind (1909, s. 430–432) vymyslel jednoduchý způsob vizualizace parametrického prostoru systému Pearson, který následně převzal Pearson (1916, deska 1 a str. 430 a dále, 448 a násl.). Pearsonovy typy se vyznačují dvěma veličinami, běžně označovanými jako β₁ a β₂. První je čtverec šikmost: ${ displaystyle beta _ {1} = gamma _ {1} ^ {2}}$ kde γ₁ je šikmost, nebo třetí standardizovaný moment. Druhý je tradiční špičatost nebo čtvrtý standardizovaný moment: β₂ = γ₂ + 3. (Moderní léčba definuje kurtosu γ₂ pokud jde o kumulanty místo momentů, takže pro normální rozdělení máme γ₂ = 0 a β₂ = 3. Zde následujeme historický precedens a použijeme β₂.) Diagram vpravo ukazuje, který typ Pearson zadal dané konkrétní rozdělení (identifikované bodem (β₁, β₂)) patří.

Mnoho zešikmených a / nebomezokurtic distribuce, které jsou nám dnes známé, byly na počátku 90. let 20. století stále neznámé. Co je nyní známé jako beta distribuce byl použit uživatelem Thomas Bayes jako zadní distribuce parametru a Bernoulliho distribuce ve své práci z roku 1763 inverzní pravděpodobnost. Distribuce Beta získala důležitost díky členství v systému Pearson a byla známá až do 40. let jako distribuce typu Pearson I.^[1] (Pearsonova distribuce typu II je zvláštním případem typu I, ale obvykle již není vybrána.) gama distribuce vznikl z Pearsonovy práce (Pearson 1893, s. 331; Pearson 1895, s. 357, 360, 373–376) a byl známý jako distribuce typu Pearson typu III, než získal své moderní jméno ve 30. a 40. letech.^[2] Pearsonův článek z roku 1895 představil distribuci typu IV, která obsahuje Studentské t-rozdělení jako zvláštní případ, predating William Sealy Gosset následné použití o několik let. Jeho papír z roku 1901 představil inverzní gama distribuce (typ V) a beta prime distribuce (typ VI).

Definice

Pearson hustota p je definováno jako jakékoli platné řešení diferenciální rovnice (srov. Pearson 1895, s. 381)

${ displaystyle { frac {p '(x)} {p (x)}} + { frac {a + (x- lambda)} {b_ {0} + b_ {1} (x- lambda) + b_ {2} (x- lambda) ^ {2}}} = 0. qquad (1)}$

s:

${ displaystyle { begin {aligned} b_ {0} & = { frac {4 beta _ {2} -3 beta _ {1}} {10 beta _ {2} -12 beta _ {1 } -18}} mu _ {2}, [5pt] a = b_ {1} & = { sqrt { mu _ {2}}} { sqrt { beta _ {1}}} { frac { beta _ {2} +3} {10 beta _ {2} -12 beta _ {1} -18}}, [5 bodů] b_ {2} & = { frac {2 beta _ {2} -3 beta _ {1} -6} {10 beta _ {2} -12 beta _ {1} -18}}. end {zarovnáno}}}$

Podle Ord,^[3] Pearson vymyslel základní formu rovnice (1) na základě zaprvé vzorce pro derivaci logaritmu hustotní funkce normální distribuce (který dává lineární funkci) a zadruhé z relace opakování pro hodnoty v funkce pravděpodobnostní hmotnosti z hypergeometrická distribuce (což poskytuje lineárně dělenou kvadratickou strukturu).

V rovnici (1) parametr A určuje a stacionární bod, a tedy za určitých podmínek a režimu distribuce, protože

${ displaystyle p '( lambda -a) = 0}$

vyplývá přímo z diferenciální rovnice.

Protože jsme konfrontováni s lineární diferenciální rovnice prvního řádu s proměnnými koeficienty, jeho řešení je jednoduché:

${ displaystyle p (x) propto exp left (- int { frac {x + a} {b_ {2} x ^ {2} + b_ {1} x + b_ {0}}} , dx right).}$

Integrál v tomto řešení značně zjednodušuje, když se uvažuje o určitých zvláštních případech integrand. Pearson (1895, s. 367) rozlišoval dva hlavní případy, určené znakem diskriminující (a tedy počet skutečných kořeny ) z kvadratická funkce

${ displaystyle f (x) = b_ {2} x ^ {2} + b_ {1} x + b_ {0}. qquad (2)}$

Zvláštní typy distribuce

Případ 1, negativní diskriminace

Distribuce typu IV Pearson

Pokud je diskriminátor kvadratické funkce (2) záporný (${ displaystyle b_ {1} ^ {2} -4b_ {2} b_ {0} <0}$), nemá žádné skutečné kořeny. Poté definujte

${ displaystyle { begin {aligned} y & = x + { frac {b_ {1}} {2b_ {2}}}, [5pt] alpha & = { frac { sqrt {4b_ {2} b_ {0} -b_ {1} ^ {2}}} {2b_ {2}}}. End {zarovnáno}}}$

Dodržujte to α je dobře definované reálné číslo a α ≠ 0, protože podle předpokladu ${ displaystyle 4b_ {2} b_ {0} -b_ {1} ^ {2}> 0}$ a proto b₂ ≠ 0. Použitím těchto substitucí se kvadratická funkce (2) transformuje na

${ displaystyle f (x) = b_ {2} (y ^ {2} + alpha ^ {2}).}$

Z této formulace je zřejmá absence skutečných kořenů, protože α² je nutně pozitivní.

Nyní vyjádříme řešení diferenciální rovnice (1) jako funkci y:

${ displaystyle p (y) propto exp left (- { frac {1} {b_ {2}}} int { frac {y - { frac {b_ {1}} {2b_ {2} }} + a} {y ^ {2} + alpha ^ {2}}} , dy right).}$

Pearson (1895, s. 362) to nazval „trigonometrický případ“, protože integrál

${ displaystyle int { frac {y - { frac {2b_ {2} a-b_ {1}} {2b_ {2}}}} {y ^ {2} + alpha ^ {2}}} , dy = { frac {1} {2}} ln (y ^ {2} + alpha ^ {2}) - { frac {2b_ {2} a-b_ {1}} {2b_ {2} alpha}} arctan left ({ frac {y} { alpha}} right) + C_ {0}}$

zahrnuje inverzní trigonometrický arktanová funkce. Pak

${ displaystyle p (y) propto exp left [- { frac {1} {2b_ {2}}} ln left (1 + { frac {y ^ {2}} { alpha ^ { 2}}} vpravo) - { frac { ln alpha} {b_ {2}}} + { frac {2b_ {2} a-b_ {1}} {2b_ {2} ^ {2} alpha}} arctan left ({ frac {y} { alpha}} right) + C_ {1} right].}$

Nakonec nechte

${ displaystyle { begin {aligned} m & = { frac {1} {2b_ {2}}}, [5pt] nu & = - { frac {2b_ {2} a-b_ {1}} {2b_ {2} ^ {2} alpha}}. End {zarovnáno}}}$

Použitím těchto substitucí získáme parametrickou funkci:

${ displaystyle p (y) propto left [1 + { frac {y ^ {2}} { alpha ^ {2}}} right] ^ {- m} exp left [- nu arctan left ({ frac {y} { alpha}} right) right].}$

Tato nenormalizovaná hustota má Podpěra, podpora v celku skutečná linie. Záleží na a parametr měřítka α> 0 a parametry tvaru m > 1/2 aν. Jeden parametr byl ztracen, když jsme se rozhodli najít řešení diferenciální rovnice (1) jako funkci y spíše než X. Znovu proto zavádíme čtvrtý parametr, a to parametr umístění λ. Odvodili jsme tedy hustotu Distribuce typu Pearson IV:

${ displaystyle p (x) = { frac { left | { frac { operatorname { Gamma} left (m + { frac { nu} {2}} i right)} { Gamma (m )}} doprava | ^ {2}} { alfa operatorname { mathrm {B}} doleva (m - { frac {1} {2}}, { frac {1} {2}} right)}} left [1+ left ({ frac {x- lambda} { alpha}} right) ^ {2} right] ^ {- m} exp left [- nu arctan left ({ frac {x- lambda} { alpha}} right) right].}$

The normalizační konstanta zahrnuje komplex Funkce gama (Γ) a Funkce Beta (B). Všimněte si, že parametr umístění λ zde není stejný jako původní parametr umístění zavedený v obecné formulaci, ale souvisí prostřednictvím

${ displaystyle lambda = lambda _ {originál} + { frac { alfa nu} {2 (m-1)}}.}$

Distribuce typu Pearson typu VII

Spiknutí hustoty typu Pearson typu VII s λ = 0, σ = 1 a: y₂ = ∞ (červená); y₂ = 4 (modrá); a y₂ = 0 (černá)

Parametr tvaru ν distribuce typu Pearson IV řídí jeho šikmost. Pokud fixujeme jeho hodnotu na nulu, získáme symetrickou tříparametrovou rodinu. Tento zvláštní případ je znám jako Distribuce typu Pearson typu VII (srov. Pearson 1916, s. 450). Jeho hustota je

${ displaystyle p (x) = { frac {1} { alpha operatorname { mathrm {B}} left (m - { frac {1} {2}}, { frac {1} {2 }} right)}} left [1+ left ({ frac {x- lambda} { alpha}} right) ^ {2} right] ^ {- m},}$

kde B je Funkce Beta.

Alternativní parametrizace (a mírná specializace) distribuce typu VII se získá letováním

${ displaystyle alpha = sigma { sqrt {2m-3}},}$

což vyžaduje m > 3/2. To s sebou nese malou ztrátu obecnosti, ale zajišťuje to rozptyl distribuce existuje a rovná se σ². Nyní parametr m ovládá pouze špičatost distribuce. Li m se blíží k nekonečnu jako λ a σ jsou konstantní, normální distribuce vzniká jako zvláštní případ:

${ displaystyle { begin {aligned} & lim _ {m to infty} { frac {1} { sigma { sqrt {2m-3}} , operatorname { mathrm {B}} left (m - { frac {1} {2}}, { frac {1} {2}} right)}} left [1+ left ({ frac {x- lambda} { sigma { sqrt {2m-3}}}} vpravo) ^ {2} vpravo] ^ {- m} [5pt] = {} & { frac {1} { sigma { sqrt {2} } , operatorname { Gamma} left ({ frac {1} {2}} right)}} cdot lim _ {m to infty} { frac { Gamma (m)} { operatorname { Gamma} vlevo (m - { frac {1} {2}} vpravo) { sqrt {m - { frac {3} {2}}}}}} cdot lim _ { m to infty} left [1 + { frac { left ({ frac {x- lambda} { sigma}} right) ^ {2}} {2m-3}} right] ^ {-m} [5pt] = {} & { frac {1} { sigma { sqrt {2 pi}}}} cdot 1 cdot exp left [- { frac {1} {2}} left ({ frac {x- lambda} { sigma}} right) ^ {2} right]. End {aligned}}}$

Toto je hustota normálního rozdělení se střední hodnotou λ a směrodatná odchylka σ.

Je vhodné to vyžadovat m > 5/2 a nechat

${ displaystyle m = { frac {5} {2}} + { frac {3} { gamma _ {2}}}.}$

Toto je další specializace a zaručuje, že existují první čtyři momenty distribuce. Přesněji řečeno, distribuce Pearsonova typu VII parametrizována z hlediska (λ, σ, γ₂) má průměr z λ, standardní odchylka z σ, šikmost nula a nadměrná špičatost γ₂.

Studentské t-rozdělení

Distribuce typu Pearson typu VII je ekvivalentní nestandardizované Studentské t-rozdělení s parametry ν> 0, μ, σ² použitím následujících substitucí na původní parametrizaci:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} lambda & = mu, [5pt] alpha & = { sqrt { nu sigma ^ {2}}}, [5pt] m & = { frac { nu +1} {2}}, end {zarovnáno}}}$

Dodržujte toto omezení m > 1/2 je spokojen.

Výsledná hustota je

${ displaystyle p (x mid mu, sigma ^ {2}, nu) = { frac {1} {{ sqrt { nu sigma ^ {2}}} , operatorname { mathrm {B}} left ({ frac { nu} {2}}, { frac {1} {2}} right)}} left (1 + { frac {1} { nu}} { frac {(x- mu) ^ {2}} { sigma ^ {2}}} vpravo) ^ {- { frac { nu +1} {2}}},}$

který je snadno rozpoznatelný jako hustota studenta t-rozdělení.

To znamená, že distribuce typu Pearson typu VII zahrnuje standard Studentské t-rozdělení a také standard Cauchyovo rozdělení. Zejména standardní Student t-distribuce vzniká jako subcase, když μ = 0 a σ² = 1, což odpovídá následujícím substitucím:

${ displaystyle { begin {aligned} lambda & = 0, [5pt] alpha & = { sqrt { nu}}, [5pt] m & = { frac { nu +1} { 2}}, end {zarovnáno}}}$

Hustota této omezené rodiny s jedním parametrem je standardní Studentova t:

${ displaystyle p (x) = { frac {1} {{ sqrt { nu}} , operatorname { mathrm {B}} left ({ frac { nu} {2}}, { frac {1} {2}} right)}} left (1 + { frac {x ^ {2}} { nu}} right) ^ {- { frac { nu +1} { 2}}},}$

Případ 2, nezáporný diskriminační

Pokud má kvadratická funkce (2) nezáporný diskriminátor (${ displaystyle b_ {1} ^ {2} -4b_ {2} b_ {0} geq 0}$), má skutečné kořeny A₁ a A₂ (nemusí být nutně odlišné):

${ displaystyle { begin {aligned} a_ {1} & = { frac {-b_ {1} - { sqrt {b_ {1} ^ {2} -4b_ {2} b_ {0}}}} { 2b_ {2}}}, [5 bodů] a_ {2} & = { frac {-b_ {1} + { sqrt {b_ {1} ^ {2} -4b_ {2} b_ {0}} }} {2b_ {2}}}. End {zarovnáno}}}$

Za přítomnosti skutečných kořenů lze kvadratickou funkci (2) zapsat jako

${ displaystyle f (x) = b_ {2} (x-a_ {1}) (x-a_ {2}),}$

a řešení diferenciální rovnice tedy je

${ displaystyle p (x) propto exp left (- { frac {1} {b_ {2}}} int { frac {xa} {(x-a_ {1}) (x-a_ { 2})}} , dx vpravo).}$

Pearson (1895, s. 362) to nazval „logaritmický případ“, protože integrál

${ displaystyle int { frac {xa} {(x-a_ {1}) (x-a_ {2})}} , dx = { frac {(a_ {1} -a) ln (x -a_ {1}) - (a_ {2} -a) ln (x-a_ {2})} {a_ {1} -a_ {2}}} + C}$

zahrnuje pouze logaritmus funkce a ne arktanová jako v předchozím případě.

Použití substituce

${ displaystyle nu = { frac {1} {b_ {2} (a_ {1} -a_ {2})}}}}$

získáme následující řešení diferenciální rovnice (1):

${ displaystyle p (x) propto (x-a_ {1}) ^ {- nu (a_ {1} -a)} (x-a_ {2}) ^ { nu (a_ {2} -a )}.}$

Vzhledem k tomu, že tato hustota je známá pouze do skryté konstanty proporcionality, lze tuto konstantu změnit a hustotu zapsat takto:

${ displaystyle p (x) propto left (1 - { frac {x} {a_ {1}}} right) ^ {- nu (a_ {1} -a)} left (1- { frac {x} {a_ {2}}} vpravo) ^ { nu (a_ {2} -a)}.}$

Distribuce typu Pearson I.

The Pearsonova distribuce typu I. (zobecnění beta distribuce ) vzniká, když jsou kořeny kvadratické rovnice (2) opačného znaménka, to znamená, ${ displaystyle a_ {1} <0$. Pak řešení p je podporován na intervalu ${ displaystyle (a_ {1}, a_ {2})}$. Použijte náhradu

${ displaystyle x = a_ {1} + y (a_ {2} -a_ {1}),}$

kde ${ displaystyle 0$, což přináší řešení ve smyslu y který je podporován v intervalu (0, 1):

${ displaystyle p (y) propto left ({ frac {a_ {1} -a_ {2}} {a_ {1}}} y right) ^ {(- a_ {1} + a) nu } left ({ frac {a_ {2} -a_ {1}} {a_ {2}}} (1-y) right) ^ {(a_ {2} -a) nu}.}$

Lze definovat:

${ displaystyle { begin {aligned} m_ {1} & = { frac {a-a_ {1}} {b_ {2} (a_ {1} -a_ {2})}}}, [5pt] m_ {2} & = { frac {a-a_ {2}} {b_ {2} (a_ {2} -a_ {1})}}. end {zarovnáno}}}$

Přeskupením konstant a parametrů se to zjednoduší na:

${ displaystyle p (y) propto y ^ {m_ {1}} (1-y) ^ {m_ {2}},}$

Tím pádem ${ displaystyle { frac {x- lambda -a_ {1}} {a_ {2} -a_ {1}}}}$ následuje a ${ displaystyle mathrm {B} (m_ {1} + 1, m_ {2} +1)}$ s ${ displaystyle lambda = mu _ {1} - (a_ {2} -a_ {1}) { frac {m_ {1} +1} {m_ {1} + m_ {2} +2}} - a_ {1}}$. Ukázalo se, že m₁, m₂ > −1 je nutné a dostatečné pro p být správnou funkcí hustoty pravděpodobnosti.

Distribuce typu Pearson typu II

The Pearsonova distribuce typu II je speciální případ rodiny Pearson typu I omezený na symetrické distribuce.

Pro křivku Pearson typu II,^[4]

${ displaystyle y = y_ {0} left (1 - { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} right) ^ {m},}$

kde

${ displaystyle x = součet d ^ {2} / 2- (n ^ {3} -n) / 12.}$

Souřadnice, y, je frekvence ${ displaystyle sum d ^ {2}}$. Křivka Pearson typu II se používá při výpočtu tabulky významných korelačních koeficientů pro Spearmanovův korelační koeficient když je počet položek v sérii menší než 100 (nebo 30, v závislosti na některých zdrojích). Poté distribuce napodobuje standard Studentova t-distribuce. V tabulce hodnot se určité hodnoty používají jako konstanty v předchozí rovnici:

${ displaystyle { begin {aligned} m & = { frac {5 beta _ {2} -9} {2 (3- beta _ {2})}}, [5pt] a ^ {2} & = { frac {2 mu _ {2} beta _ {2}} {3- beta _ {2}}}, [5pt] y_ {0} & = { frac {N [ Gamma (2m + 2)]} {a [2 ^ {2m + 1}] [ Gamma (m + 1)]}}. End {zarovnáno}}}$

Okamžiky X použité jsou

${ displaystyle { begin {aligned} mu _ {2} & = (n-1) [(n ^ {2} + n) / 12] ^ {2}, [5pt] beta _ {2 } & = { frac {3 (25n ^ {4} -13n ^ {3} -73n ^ {2} + 37n + 72)} {25n (n + 1) ^ {2} (n-1)}} . end {zarovnáno}}}$

Distribuce typu Pearson III

Definování

${ displaystyle lambda = mu _ {1} + { frac {b_ {0}} {b_ {1}}} - (m + 1) b_ {1},}$

${ displaystyle b_ {0} + b_ {1} (x- lambda)}$ je ${ displaystyle operatorname {Gamma} (m + 1, b_ {1} ^ {2})}$. Distribuce typu Pearson typu III je a zobecněná distribuce gama nebo distribuce chí-kvadrát.

Distribuce typu Pearson typu V.

Definování nových parametrů:

${ displaystyle { begin {aligned} C_ {1} & = { frac {b_ {1}} {2b_ {2}}}, lambda & = mu _ {1} - { frac {a -C_ {1}} {1-2b_ {2}}}, end {zarovnáno}}}$

${ displaystyle x- lambda}$ následuje ${ displaystyle operatorname {InverseGamma} ({ frac {1} {b_ {2}}} - 1, { frac {a-C_ {1}} {b_ {2}}})}$. Distribuce typu Pearson typu V je inverzní gama distribuce.

Distribuce Pearsonova typu VI

Definování

${ displaystyle lambda = mu _ {1} + (a_ {2} -a_ {1}) { frac {m_ {2} +1} {m_ {2} + m_ {1} +2}} - a_ {2},}$

${ displaystyle { frac {x- lambda -a_ {2}} {a_ {2} -a_ {1}}}}$ následuje a ${ displaystyle beta ^ { prime} (m_ {2} + 1, -m_ {2} -m_ {1} -1)}$. Distribuce typu Pearson VI je a beta prime distribuce nebo F-rozdělení.

Vztah k jiným distribucím

Rodina Pearson zahrnuje mimo jiné následující distribuce:

• Distribuce beta (typ I)
• Distribuce beta verze (typ VI)
• Cauchyovo rozdělení (typ IV)
• Distribuce chí-kvadrát (typ III)
• Kontinuální rovnoměrné rozdělení (limit typu I)
• Exponenciální rozdělení (typ III)
• Distribuce gama (typ III)
• F-rozdělení (typ VI)
• Inverzní-chi-kvadrát distribuce (typ V)
• Distribuce inverzní gama (typ V)
• Normální distribuce (limit typu I, III, IV, V nebo VI)
• Studentské t-rozdělení (typ VII, což je nezkosený podtyp typu IV)

Aplikace

Tyto modely se používají na finančních trzích vzhledem k jejich schopnosti parametrizovat způsobem, který má pro obchodníky na trhu intuitivní význam. V současné době se používá řada modelů, které zachycují stochastickou povahu volatility sazeb, akcií atd.,^{[který? ][Citace je zapotřebí ]} a tato rodina distribucí se může ukázat jako jedna z důležitějších.

Ve Spojených státech je výchozí distribucí pro analýzu povodňové frekvence Log-Pearson III.^{[5][Citace je zapotřebí ]}.

V poslední době došlo k mnoha pokrokům v zobecňování Pearsonových distribucí, aby byla flexibilnější a nazývá se Metalog Distribuce^[6]

Poznámky

Zdroje

Primární zdroje

• Pearson, Karl (1893). „Příspěvky k matematické evoluční teorii [abstrakt]“. Sborník Královské společnosti. 54 (326–330): 329–333. doi:10.1098 / rspl.1893.0079. JSTOR  115538.

• Pearson, Karl (1895). „Příspěvky k matematické evoluční teorii, II: Zkosená variace homogenního materiálu“ (PDF). Filozofické transakce královské společnosti. 186: 343–414. Bibcode:1895RSPTA.186..343P. doi:10.1098 / rsta.1895.0010. JSTOR  90649.

• Pearson, Karl (1901). „Mathematical comments to the theory of evolution, X: Supplement to a memoir on skew variation“. Filozofické transakce královské společnosti A. 197 (287–299): 443–459. Bibcode:1901RSPTA.197..443P. doi:10.1098 / rsta.1901.0023. JSTOR  90841.

• Pearson, Karl (1916). „Matematické příspěvky k evoluční teorii, XIX: Druhý dodatek ke monografii o odchylce odchylky“. Filozofické transakce královské společnosti A. 216 (538–548): 429–457. Bibcode:1916RSPTA.216..429P. doi:10.1098 / rsta.1916.0009. JSTOR  91092.

• Rhind, A. (červenec – říjen 1909). „Tabulky pro usnadnění výpočtu pravděpodobných chyb hlavních konstant rozložení zkreslení frekvence“. Biometrika. 7 (1/2): 127–147. doi:10.1093 / biomet / 7.1-2.127. JSTOR  2345367.

Sekundární zdroje

• Milton Abramowitz a Irene A. Stegun (1964). Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami. Národní úřad pro standardy.
• Eric W. Weisstein et al. Distribuce typu Pearson typu III. Z MathWorld.

Reference

• Elderton, Sir W.P, Johnson, N.L. (1969) Systémy frekvenčních křivek. Cambridge University Press.
• Ord J.K. (1972) Rodiny frekvenčních distribucí. Griffin, Londýn.