Distribuce tukey lambda - Tukey lambda distribution - Wikipedia

Distribuce tukey lambda

Funkce hustoty pravděpodobnosti
Zápis	Tukey (λ)
Parametry	λ ∈ R — parametr tvaru
Podpěra, podpora	X ∈ [−1/λ, 1/λ] pro λ > 0, X ∈ R pro λ ≤ 0
PDF	${ displaystyle (Q (p; lambda), q (p; lambda) ^ {- 1}), , 0 leq , p , leq , 1}$
CDF	${ displaystyle (e ^ {- x} +1) ^ {- 1}, , , lambda , = , 0 ,}$(speciální případ) ${ displaystyle (Q (p; lambda), p), , 0 leq , p , leq , 1 ,}$(obecný případ)
Znamenat	${ displaystyle 0, , , lambda> -1}$
Medián	0
Režim	0
Rozptyl	${ displaystyle { frac {2} { lambda ^ {2}}} { bigg (} { frac {1} {1 + 2 lambda}} - { frac { Gamma ( lambda +1) ^ {2}} { Gamma (2 lambda +2)}} { bigg)}, , , lambda> -1/2}$ ${ displaystyle { frac { pi ^ {2}} {3}}, , , lambda , = , 0}$
Šikmost	${ displaystyle 0, , , lambda> -1/3}$
Př. špičatost	${ displaystyle { frac {(2 lambda +1) ^ {2}} {2 (4 lambda +1)}} , { frac {g_ {2} ^ {2} { big (} 3g_ {2} ^ {2} -4g_ {1} g_ {3} + g_ {4} { big)}} {g_ {4} { big (} g_ {1} ^ {2} -g_ {2} { big)} ^ {2}}} , - , 3,}$ ${ Displaystyle 1.2, , , lambda , = , 0,}$ ${ displaystyle { text {kde}} , g_ {k} , = , gama (k lambda +1) , { text {a}} , lambda ,> , - 1 / 4.}$
Entropie	${ displaystyle h ( lambda) = int _ {0} ^ {1} log (q (p; lambda)) , dp}$[1]
CF	${ displaystyle phi (t; lambda) = int _ {0} ^ {1} exp (, to , Q (p; lambda)) , dp}$[2]

Formalizováno John Tukey, Distribuce tukey lambda je spojité, symetrické rozdělení pravděpodobnosti definované z hlediska jeho kvantilová funkce. Obvykle se používá k identifikaci vhodné distribuce (viz komentáře níže) a nepoužívá se v statistické modely přímo.

Distribuce lambda Tukey má jediný parametr tvaru, λ a stejně jako u jiných rozdělení pravděpodobnosti je možné jej transformovat pomocí a parametr umístění, μ a a parametr měřítka, σ. Protože obecnou formu rozdělení pravděpodobnosti lze vyjádřit pomocí standardního rozdělení, jsou pro standardní tvar funkce uvedeny následující vzorce.

Kvantilní funkce

Pro standardní formu distribuce Tukey lambda je kvantilní funkce, ${ displaystyle Q (p)}$, (tj. inverzní k kumulativní distribuční funkce ) a funkce kvantilové hustoty (${ displaystyle q = dQ / dp}$) jsou

${ displaystyle Q left (p; lambda right) = { begin {cases} { frac {1} { lambda}} left [p ^ { lambda} - (1-p) ^ { lambda} right], & { mbox {if}} lambda neq 0 log ({ frac {p} {1-p}}), & { mbox {if}} lambda = 0 , end {případů}}}$

${ displaystyle q left (p; lambda right) = p ^ {( lambda -1)} + left (1-p right) ^ {( lambda -1)}.}$

U většiny hodnot parametru tvaru λ, funkce hustoty pravděpodobnosti (PDF) a kumulativní distribuční funkce (CDF) musí být vypočítán numericky. Distribuce Tukey lambda má jednoduchý, uzavřený tvar pro CDF a / nebo PDF pouze pro několik výjimečných hodnot parametru tvaru, například: λ = 2, 1, ½, 0 (viz rovnoměrné rozdělení a logistická distribuce ).

Nicméně pro jakoukoli hodnotu λ jak CDF, tak PDF lze tabulkovat pro libovolný počet kumulativních pravděpodobností, strpomocí kvantilové funkce Q pro výpočet hodnoty X, pro každou kumulativní pravděpodobnost str, s hustotou pravděpodobnosti danou¹⁄_q, převrácená hodnota funkce kvantilové hustoty. Jak je obvyklé u statistických distribucí, distribuci Tukey lambda lze snadno použít vyhledáním hodnot v připravené tabulce.

Okamžiky

Distribuce Tukey lambda je symetrická kolem nuly, proto se očekávaná hodnota tohoto rozdělení rovná nule. Rozptyl existuje pro λ > −½ a je dáno vzorcem (kromě případů, kdy λ = 0)

${ displaystyle operatorname {Var} [X] = { frac {2} { lambda ^ {2}}} { bigg (} { frac {1} {1 + 2 lambda}} - { frac { Gamma ( lambda +1) ^ {2}} { Gamma (2 lambda +2)}} { bigg)}.}$

Obecněji, n- okamžik pořadí je konečný, když λ > −1/n a je vyjádřena jako funkce beta Β(X,y) (kromě případů, kdy λ = 0) :

${ displaystyle mu _ {n} = operatorname {E} [X ^ {n}] = { frac {1} { lambda ^ {n}}} sum _ {k = 0} ^ {n} (-1) ^ {k} {n zvolte k} , mathrm {B} ( lambda k + 1, , lambda (nk) +1).}$

Všimněte si, že díky symetrii hustotní funkce jsou všechny momenty lichých řádů rovny nule.

L-momenty

Na rozdíl od centrálních momentů, L-momenty lze vyjádřit v uzavřené formě. L-moment objednávky r> 1 je dána^[3]

${ displaystyle L_ {r} = { frac { doleva [1 + (- 1) ^ {r} doprava]} { lambda}} součet _ {k = 0} ^ {r-1} (- 1) ^ {r-1-k} { binom {r-1} {k}} { binom {r + k-1} {k}} vlevo ({ frac {1} {k + 1 + lambda}} vpravo).}$

Prvních šest L-momentů lze představit následovně:^[3]

${ displaystyle L_ {1} = 0}$

${ displaystyle L_ {2} = { frac {2} { lambda}} left [- { frac {1} {1+ lambda}} + { frac {2} {2+ lambda}} že jo]}$

${ displaystyle L_ {3} = 0}$

${ displaystyle L_ {4} = { frac {2} { lambda}} left [- { frac {1} {1+ lambda}} + { frac {12} {2+ lambda}} - { frac {30} {3+ lambda}} + { frac {30} {4+ lambda}} right]}$

${ displaystyle L_ {5} = 0}$

${ displaystyle L_ {6} = { frac {2} { lambda}} left [- { frac {1} {1+ lambda}} + { frac {30} {2+ lambda}} - { frac {210} {3+ lambda}} + { frac {560} {4+ lambda}} - { frac {630} {5+ lambda}} + { frac {252} { 6+ lambda}} vpravo] ,.}$

Komentáře

Distribuce Tukey lambda je ve skutečnosti rodina distribucí, která dokáže přiblížit řadu běžných distribucí. Například,

λ = −1	Cca. Cauchy C(0,π)
λ = 0	přesně logistické
λ = 0.14	Cca. normální N(0, 2.142)
λ = 0.5	přísně konkávní (${ displaystyle cap}$-tvarovaná)
λ = 1	přesně jednotný U(−1, 1)
λ = 2	přesně jednotný U(−½, ½)

Nejběžnějším použitím této distribuce je generování Tukey lambda PPCC graf a soubor dat. Na základě PPCC grafu, vhodné Modelka pro data se navrhuje. Například pokud maximum korelace nastane pro hodnotu λ na nebo blízko 0,14, pak lze data modelovat s normálním rozdělením. Hodnoty λ méně než toto znamená těžce sledovanou distribuci (s -1 blížící se Cauchy). To znamená, že protože optimální hodnota lambda se pohybuje od 0,14 do -1, jsou naznačeny stále těžší ocasy. Podobně jako optimální hodnota λ je větší než 0,14, předpokládají se kratší ocasy.

Vzhledem k tomu, že distribuce Tukey lambda je a symetrický distribuce, použití grafu PPD Tukey lambda k určení rozumného rozdělení k modelování dat se vztahuje pouze na symetrické distribuce. A histogram údajů by mělo poskytnout důkazy o tom, zda lze data rozumně modelovat pomocí symetrického rozdělení.^[4]

Reference

externí odkazy

• Distribuce Tukey-Lambda

Tento článek zahrnujepublic domain materiál z Národní institut pro standardy a technologie webová stránka https://www.nist.gov.