Rozdělení rýže - Rice distribution - Wikipedia

Ve 2D rovině vyberte pevný bod ve vzdálenosti ν od původu. Vytvořte distribuci 2D bodů soustředěných kolem tohoto bodu, kde X a y souřadnice jsou vybrány nezávisle na a Gaussovo rozdělení se směrodatnou odchylkou σ (modrá oblast). Li R je tedy vzdálenost od těchto bodů k počátku R má distribuci rýže.

Funkce hustoty pravděpodobnosti
Funkce kumulativní distribuce
Parametry	${ displaystyle nu geq 0}$vzdálenost mezi vztažným bodem a středem dvojrozměrného rozdělení, ${ displaystyle sigma geq 0}$, rozpětí
Podpěra, podpora	${ displaystyle x v [0, infty)}$
PDF	${ displaystyle { frac {x} { sigma ^ {2}}} exp left ({ frac {- (x ^ {2} + nu ^ {2})} {2 sigma ^ {2 }}} right) I_ {0} left ({ frac {x nu} { sigma ^ {2}}} right)}$
CDF	${ displaystyle 1-Q_ {1} left ({ frac { nu} { sigma}}, { frac {x} { sigma}} right)}$ kde Q1 je Marcumova Q-funkce
Znamenat	${ displaystyle sigma { sqrt { pi / 2}} , , L_ {1/2} (- nu ^ {2} / 2 sigma ^ {2})}$
Rozptyl	${ displaystyle 2 sigma ^ {2} + nu ^ {2} - { frac { pi sigma ^ {2}} {2}} L_ {1/2} ^ {2} vlevo ({ frac {- nu ^ {2}} {2 sigma ^ {2}}} vpravo)}$
Šikmost	(složitý)
Př. špičatost	(složitý)

v teorie pravděpodobnosti, Rozdělení rýže nebo Ricianova distribuce (nebo méně často Ricean distribuce) je rozdělení pravděpodobnosti o velikosti kruhově symetrické bivariate normální náhodná proměnná, případně s nenulovým průměrem (necentrální). Bylo pojmenováno po Stephen O. Rice.

Charakterizace

The funkce hustoty pravděpodobnosti je

${ displaystyle f (x mid nu, sigma) = { frac {x} { sigma ^ {2}}} exp left ({ frac {- (x ^ {2} + nu ^ {2})} {2 sigma ^ {2}}} vpravo) I_ {0} vlevo ({ frac {x nu} { sigma ^ {2}}} vpravo),}$

kde Já₀(z) je upravený Besselova funkce prvního druhu s nulovou objednávkou.

V kontextu Rician blednutí, distribuce je často také přepsána pomocí Parametr tvaru ${ displaystyle K = { frac { nu ^ {2}} {2 sigma ^ {2}}}}$, definovaný jako poměr příspěvků energie cestou přímé viditelnosti ke zbývajícím vícecestným cestám a Parametr měřítka ${ displaystyle Omega = nu ^ {2} +2 sigma ^ {2}}$, definovaný jako celkový výkon přijatý ve všech cestách.^[1]

The charakteristická funkce distribuce rýže se udává jako:^[2][3]

${ displaystyle { begin {zarovnáno} chi _ {X} (t mid nu, sigma) = exp left (- { frac { nu ^ {2}} {2 sigma ^ {2 }}} right) & left [ Psi _ {2} left (1; 1, { frac {1} {2}}; { frac { nu ^ {2}} {2 sigma ^ {2}}}, - { frac {1} {2}} sigma ^ {2} t ^ {2} right) right. [8pt] & left. {} + I { sqrt {2}} sigma t Psi _ {2} left ({ frac {3} {2}}; 1, { frac {3} {2}}; { frac { nu ^ {2} } {2 sigma ^ {2}}}, - { frac {1} {2}} sigma ^ {2} t ^ {2} right) right], end {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle Psi _ {2} left ( alpha; gamma, gamma '; x, y doprava)}$ je jedním z Hornovy soutokové hypergeometrické funkce se dvěma proměnnými a konvergentní pro všechny konečné hodnoty ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$. Je to dáno:^[4][5]

${ displaystyle Psi _ {2} left ( alpha; gamma, gamma '; x, y right) = sum _ {n = 0} ^ { infty} sum _ {m = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {m + n}} {( gamma) _ {m} ( gamma ') _ {n}}} { frac {x ^ {m} y ^ {n}} {m! n!}},}$

kde

${ displaystyle (x) _ {n} = x (x + 1) cdots (x + n-1) = { frac { gama (x + n)} { gama (x)}}}$

je rostoucí faktoriál.

Vlastnosti

Okamžiky

Prvních pár syrové momenty jsou:

${ displaystyle mu _ {1} ^ {'} = sigma { sqrt { pi / 2}} , , L_ {1/2} (- nu ^ {2} / 2 sigma ^ { 2})}$

${ displaystyle mu _ {2} ^ {'} = 2 sigma ^ {2} + nu ^ {2} ,}$

${ displaystyle mu _ {3} ^ {'} = 3 sigma ^ {3} { sqrt { pi / 2}} , , L_ {3/2} (- nu ^ {2} / 2 sigma ^ {2})}$

${ displaystyle mu _ {4} ^ {'} = 8 sigma ^ {4} +8 sigma ^ {2} nu ^ {2} + nu ^ {4} ,}$

${ displaystyle mu _ {5} ^ {'} = 15 sigma ^ {5} { sqrt { pi / 2}} , , L_ {5/2} (- nu ^ {2} / 2 sigma ^ {2})}$

${ displaystyle mu _ {6} ^ {'} = 48 sigma ^ {6} +72 sigma ^ {4} nu ^ {2} +18 sigma ^ {2} nu ^ {4} + nu ^ {6} ,}$

a obecně jsou surové momenty dány

${ displaystyle mu _ {k} ^ {'} = sigma ^ {k} 2 ^ {k / 2} , gama (1 ! + ! k / 2) , L_ {k / 2} (- nu ^ {2} / 2 sigma ^ {2}). ,}$

Tady L_q(X) označuje a Laguerrův polynom:

${ displaystyle L_ {q} (x) = L_ {q} ^ {(0)} (x) = M (-q, 1, x) = , _ {1} F_ {1} (- q; 1 ;X)}$

kde ${ displaystyle M (a, b, z) = _ {1} F_ {1} (a; b; z)}$ je konfluentní hypergeometrická funkce prvního druhu. Když k je sudé, surové momenty se stávají jednoduchými polynomy v σ a ν, jako v příkladech výše.

Pro případ q = 1/2:

${ displaystyle { begin {aligned} L_ {1/2} (x) & = , _ {1} F_ {1} left (- { frac {1} {2}}; 1; x right ) & = e ^ {x / 2} left [ left (1-x right) I_ {0} left (- { frac {x} {2}} right) -xI_ {1} left (- { frac {x} {2}} right) right]. end {aligned}}}$

Druhý centrální moment, rozptyl, je

${ displaystyle mu _ {2} = 2 sigma ^ {2} + nu ^ {2} - ( pi sigma ^ {2} / 2) , L_ {1/2} ^ {2} ( - nu ^ {2} / 2 sigma ^ {2}).}$

Všimněte si, že ${ displaystyle L_ {1/2} ^ {2} ( cdot)}$ označuje druhou mocninu Laguerrova polynomu ${ displaystyle L_ {1/2} ( cdot)}$, ne zobecněný Laguerreův polynom ${ displaystyle L_ {1/2} ^ {(2)} ( cdot).}$

Související distribuce

• ${ displaystyle R sim mathrm {rýže} left (| nu |, sigma right)}$ -li ${ displaystyle R = { sqrt {X ^ {2} + Y ^ {2}}}}$ kde ${ displaystyle X sim N left ( nu cos theta, sigma ^ {2} right)}$ a ${ displaystyle Y sim N left ( nu sin theta, sigma ^ {2} right)}$ jsou statisticky nezávislé normální náhodné proměnné a ${ displaystyle theta}$ je jakékoli skutečné číslo.
• Další případ, kdy ${ displaystyle R sim mathrm {rýže} left ( nu, sigma right)}$ pochází z následujících kroků:

1. Generovat ${ displaystyle P}$ mít a Poissonovo rozdělení s parametrem (také průměr, pro Poissona) ${ displaystyle lambda = { frac { nu ^ {2}} {2 sigma ^ {2}}}.}$

2. Generovat ${ displaystyle X}$ mít a distribuce chí-kvadrát s 2P + 2 stupně svobody.

3. Nastavit ${ displaystyle R = sigma { sqrt {X}}.}$

• Li ${ displaystyle R sim operatorname {rýže} ( nu, 1)}$ pak ${ displaystyle R ^ {2}}$ má necentrální distribuce chí-kvadrát se dvěma stupni volnosti a parametrem necentrality ${ displaystyle nu ^ {2}}$.
• Li ${ displaystyle R sim operatorname {rýže} ( nu, 1)}$ pak ${ displaystyle R}$ má necentrální distribuce chi se dvěma stupni volnosti a parametrem necentrality ${ displaystyle nu}$.
• Li ${ displaystyle R sim operatorname {rýže} (0, sigma)}$ pak ${ displaystyle R sim operatorname {Rayleigh} ( sigma)}$, tj. pro speciální případ distribuce rýže dané ${ displaystyle nu = 0}$, distribuce se stává Rayleighova distribuce, pro které je rozptyl ${ displaystyle mu _ {2} = { frac {4- pi} {2}} sigma ^ {2}}$.
• Li ${ displaystyle R sim operatorname {rýže} (0, sigma)}$ pak ${ displaystyle R ^ {2}}$ má exponenciální rozdělení.^[6]
• Li ${ displaystyle R sim operatorname {rýže} left ( nu, sigma right)}$ pak ${ displaystyle 1 / R}$ má distribuci inverzní Rician.^[7]

• The složené normální rozdělení je jednorozměrný speciální případ distribuce rýže.

Mezní případy

Pro velké hodnoty argumentu se stane Laguerreův polynom^[8]

${ displaystyle lim _ {x rightarrow - infty} L _ { nu} (x) = { frac {| x | ^ { nu}} { Gamma (1+ nu)}}.}$

Je to vidět jako ν se zvětší nebo σ se zmenší na střední ν a rozptyl se změní na σ².

Přechod na Gaussovu aproximaci probíhá následovně. Z Besselovy teorie funkcí máme

${ displaystyle I _ { alpha} (z) rightarrow { frac {e ^ {z}} { sqrt {2 pi z}}} left (1 - { frac {4 alpha ^ {2} -1} {8z}} + cdots right) { text {as}} z rightarrow infty}$

takže ve velkém ${ displaystyle x nu / sigma ^ {2}}$ region, asymptotická expanze Ricianovy distribuce:

${ displaystyle { begin {aligned} f (x, nu, sigma) = {} & { frac {x} { sigma ^ {2}}} exp left ({ frac {- (x ^ {2} + nu ^ {2})} {2 sigma ^ {2}}} vpravo) I_ {0} vlevo ({ frac {x nu} { sigma ^ {2}}} right) { text {is}} & { frac {x} { sigma ^ {2}}} exp left ({ frac {- (x ^ {2} + nu ^ {2})} {2 sigma ^ {2}}} vpravo) { sqrt { frac { sigma ^ {2}} {2 pi x nu}}} exp left ({ frac {2x nu} {2 sigma ^ {2}}} vpravo) vlevo (1 + { frac { sigma ^ {2}} {8x nu}} + cdots vpravo) vpravo {} & { frac {1} { sigma { sqrt {2 pi}}}} exp left (- { frac {(x- nu) ^ {2}} {2 sigma ^ { 2}}} vpravo) { sqrt { frac {x} { nu}}}, ; ; ; { text {as}} { frac {x nu} { sigma ^ {2 }}} rightarrow infty end {zarovnáno}}}$

Navíc, když je hustota koncentrována kolem ${ textstyle nu}$ a ${ textstyle | x- nu | ll sigma}$ kvůli Gaussovskému exponentu můžeme také psát ${ displaystyle { sqrt { frac {x} { nu}}} přibližně 1}$ a nakonec získáte normální aproximaci

${ displaystyle f (x, nu, sigma) přibližně { frac {1} { sigma { sqrt {2 pi}}}} exp left (- { frac {(x- nu ) ^ {2}} {2 sigma ^ {2}}} vpravo), ; ; ; { frac { nu} { sigma}} gg 1}$

Aproximace se stane použitelnou pro ${ displaystyle { frac { nu} { sigma}}> 3}$

Odhad parametrů (technika inverze Koay)

Existují tři různé metody pro odhad parametrů distribuce rýže, (1) metoda momentů,^{[9][10][11][12]} (2) metoda maximální věrohodnosti,^{[9][10][11][13]} a (3) metoda nejmenších čtverců.^{[Citace je zapotřebí ]} V prvních dvou metodách je zájem odhadnout parametry distribuce ν a σ ze vzorku dat. Toho lze dosáhnout pomocí metody momentů, např. Průměr vzorku a směrodatná odchylka vzorku. Průměr vzorku je odhadem μ₁^' a směrodatná odchylka vzorku je odhadem μ₂^1/2.

Následuje účinná metoda známá jako „technika inverze Koay“.^[14] za řešení odhad rovnic na základě střední hodnoty vzorku a směrodatné odchylky vzorku současně. Tato inverzní technika je také známá jako pevný bod vzorec SNR. Dřívější práce^[9][15] na momentové metodě se obvykle k řešení problému používá metoda hledání kořenů, která není efektivní.

Nejprve je definován poměr střední hodnoty vzorku k standardní odchylce vzorku jako r, tj., ${ displaystyle r = mu _ {1} ^ {'} / mu _ {2} ^ {1/2}}$. Vzorec pevného bodu SNR je vyjádřen jako

${ displaystyle g ( theta) = { sqrt { xi {( theta)} vlevo [1 + r ^ {2} vpravo] -2}},}$

kde ${ displaystyle theta}$ je poměr parametrů, tj. ${ displaystyle theta = { frac { nu} { sigma}}}$, a ${ displaystyle xi { left ( theta right)}}$ je dána:

${ displaystyle xi { left ( theta right)} = 2+ theta ^ {2} - { frac { pi} {8}} exp {(- theta ^ {2} / 2) } left [(2+ theta ^ {2}) I_ {0} ( theta ^ {2} / 4) + theta ^ {2} I_ {1} ( theta ^ {2} / 4) vpravo] ^ {2},}$

kde ${ displaystyle I_ {0}}$ a ${ displaystyle I_ {1}}$ jsou upravené Besselovy funkce prvního druhu.

Všimněte si, že ${ displaystyle xi { left ( theta right)}}$ je měřítko ${ displaystyle sigma}$ a souvisí s ${ displaystyle mu _ {2}}$ podle:

${ displaystyle mu _ {2} = xi { left ( theta right)} sigma ^ {2}. ,}$

Chcete-li najít pevný bod, ${ displaystyle theta ^ {*}}$, z ${ displaystyle g}$, je vybráno počáteční řešení, ${ displaystyle { theta} _ {0}}$, to je větší než dolní mez, což je ${ displaystyle { theta} _ { mathrm {dolní mez}} = 0}$ a nastane, když ${ displaystyle r = { sqrt { pi / (4- pi)}}}$^[14] (Všimněte si, že toto je ${ displaystyle r = mu _ {1} ^ {'} / mu _ {2} ^ {1/2}}$ Rayleighova rozdělení). To poskytuje výchozí bod pro iteraci, která využívá funkční složení,^{[je zapotřebí objasnění ]} a to pokračuje až do ${ displaystyle left | g ^ {i} left ( theta _ {0} right) - theta _ {i-1} right |}$ je menší než nějaká malá kladná hodnota. Tady, ${ displaystyle g ^ {i}}$ označuje složení stejné funkce, ${ displaystyle g}$, ${ displaystyle i}$ krát. V praxi spojujeme finále ${ displaystyle theta _ {n}}$ pro celé číslo ${ displaystyle n}$ jako pevný bod, ${ displaystyle theta ^ {*}}$, tj., ${ displaystyle theta ^ {*} = g left ( theta ^ {*} right)}$.

Jakmile je nalezen pevný bod, odhady ${ displaystyle nu}$ a ${ displaystyle sigma}$ jsou nalezeny prostřednictvím funkce škálování, ${ displaystyle xi { vlevo ( theta vpravo)}}$, jak následuje:

${ displaystyle sigma = { frac { mu _ {2} ^ {1/2}} { sqrt { xi vlevo ( theta ^ {*} vpravo)}}}}}$

a

${ displaystyle nu = { sqrt { left ( mu _ {1} ^ {'~ 2} + left ( xi left ( theta ^ {*} right) -2 right) sigma ^ {2} vpravo)}}.}$

Chcete-li ještě více zrychlit iteraci, můžete použít Newtonovu metodu hledání kořenů.^[14] Tento konkrétní přístup je vysoce efektivní.

Aplikace

• The Euklidovská norma a bivariate kruhově symetrický normálně distribuovaný náhodný vektor.
• Rician blednutí (pro vícecestné rušení ))
• Vliv chyby pozorování na střelbu na cíl.^[16]

Viz také

Vícerozměrný Ricianův model se používá při analýze diverzitních přijímačů v rádiové komunikaci^[17][18].

• Rayleighova distribuce
• Stephen O. Rice (1907–1986)

Poznámky

Reference

• Abramowitz, M. a Stegun, I. A. (ed.), Příručka matematických funkcí „National Bureau of Standards, 1964; dotisk Dover Publications, 1965. ISBN  0-486-61272-4
• Rice, S. O. Matematická analýza náhodného šumu. Bell System Technical Journal 24 (1945) 46–156.
• I. Soltani Bozchalooi a Ming Liang (20. listopadu 2007). Msgstr "Přístup k výběru parametrů waveletů při odhlašování signálu a detekci chyb na základě indexu hladkosti." Journal of Sound and Vibration. 308 (1–2): 253–254. Bibcode:2007JSV ... 308..246B. doi:10.1016 / j.jsv.2007.07.038.CS1 maint: používá parametr autoři (odkaz)
• Wang, Dong; Zhou, Qiang; Tsui, Kwok-Leung (2017). "O distribuci modulu gaborových vlnkových koeficientů a horní hranici bezrozměrného indexu hladkosti v případě aditivních Gaussových zvuků: Revisited". Journal of Sound and Vibration. 395: 393–400. doi:10.1016 / j.jsv.2017.02.013.
• Liu, X. a Hanzo, L., Unified Exact BER Performance Analysis of Asynchronous DS-CDMA Systems using BPSK Modulation over Fading Channels, IEEE Transactions on Wireless Communications, svazek 6, vydání 10, říjen 2007, str. 3504–3509.
• Annamalai, A., Tellambura, C. a Bhargava, V. K., Výkon přijímače diverzity se stejným ziskem v bezdrátových kanálech, IEEE Transactions on Communications, svazek 48, říjen 2000, str. 1732–1745.
• Erdelyi, A., Magnus, W., Oberhettinger, F. a Tricomi, F. G., Vyšší transcendentní funkce, svazek 1. McGraw-Hill Book Company Inc., 1953.
• Srivastava, H. M. a Karlsson, P. W., Multiple Gaussian Hypergeometric Series. Ellis Horwood Ltd., 1985.
• Sijbers J., den Dekker A. J., Scheunders P. a Van Dyck D., „Maximální odhad pravděpodobnosti Ricianových distribučních parametrů“, IEEE Transactions on Medical Imaging, sv. 17, č. 3, s. 357–361, (1998)
• Varadarajan D. a Haldar J. P., „Rámec majorizace a minimalizace snímků Rician a Non-Central Chi MR“, IEEE Transactions on Medical Imaging, sv. 34, č. 10, s. 2191–2202, (2015)
• den Dekker, A.J. a Sijbers, J (prosinec 2014). Msgstr "Distribuce dat v obrazech magnetické rezonance: recenze". Physica Medica. 30 (7): 725–741. doi:10.1016 / j.ejmp.2014.05.002. PMID  25059432.CS1 maint: používá parametr autoři (odkaz)
• Koay, C.G. a Basser, P. J., Analyticky přesné schéma korekce pro extrakci signálu z hlučných signálů MR, Journal of Magnetic Resonance, Volume 179, Issue = 2, str. 317–322, (2006)
• Abdi, A., Tepedelenlioglu, C., Kaveh, M. a Giannakis, G. Na odhadu parametru K pro distribuci slábnutí rýže, IEEE Communications Letters, svazek 5, číslo 3, březen 2001, str. 92–94.
• Talukdar, K. K. a Lawing, William D. (březen 1991). Msgstr "Odhad parametrů distribuce rýže". Journal of Acoustical Society of America. 89 (3): 1193–1197. Bibcode:1991ASAJ ... 89.1193T. doi:10.1121/1.400532.CS1 maint: používá parametr autoři (odkaz)
• Bonny, J. M., Renou, J. P. a Zanca, M. (listopad 1996). "Optimální měření velikosti a fáze z MR dat". Journal of Magnetic Resonance, Series B. 113 (2): 136–144. Bibcode:1996JMRB..113..136B. doi:10.1006 / jmrb.1996.0166. PMID  8954899.CS1 maint: používá parametr autoři (odkaz)

externí odkazy

• MATLAB kód pro distribuci Rice / Rician (PDF, průměr a rozptyl a generování náhodných vzorků)