Analytické pokračování - Analytic continuation

v komplexní analýza, pobočka matematika, analytické pokračování je technika k rozšíření doména daného analytická funkce. Analytické pokračování často uspěje při definování dalších hodnot funkce, například v nové oblasti, kde nekonečná řada reprezentace, ve smyslu které je původně definována, se liší.

Technika postupného pokračování však může narazit na potíže. Mohou mít v zásadě topologickou povahu, což vede k nesrovnalostem (definování více než jedné hodnoty). Možná budou mít co do činění s přítomností singularity. Případ několik složitých proměnných je poněkud odlišný, protože singularity pak nemusí být izolovanými body a jeho vyšetřování bylo hlavním důvodem pro vývoj svazek kohomologie.

Úvodní diskuse

Analytické pokračování přirozeného logaritmu (imaginární část)

Předpokládat F je analytická funkce definované na neprázdném otevřená podmnožina U z složité letadlo ${ displaystyle mathbb {C}.}$ Li PROTI je větší otevřená podmnožina ${ displaystyle mathbb {C},}$ obsahující U, a F je analytická funkce definovaná na PROTI takhle

{ Displaystyle F (z) = f (z) qquad forall z v U,}

pak F se nazývá analytické pokračování F. Jinými slovy omezení z F na U je funkce F začali jsme s.

Analytická pokračování jsou jedinečná v následujícím smyslu: pokud PROTI je připojeno doména dvou analytických funkcí F₁ a F₂ takhle U je obsažen v PROTI a pro všechny z v U

{ displaystyle F_ {1} (z) = F_ {2} (z) = f (z),}

pak

{ displaystyle F_ {1} = F_ {2}}

na všech PROTI. To je proto, že F₁ − F₂ je analytická funkce, která mizí na otevřené připojené doméně U z F a proto musí zmizet na celé její doméně. To vyplývá přímo z věta identity pro holomorfní funkce.

Aplikace

Běžný způsob definování funkcí v komplexní analýze probíhá tak, že nejprve zadáte funkci pouze na malé doméně a poté ji rozšíříte analytickým pokračováním.

V praxi se toto pokračování často provádí tak, že se nejprve nějaké vytvoří funkční rovnice na malé doméně a poté pomocí této rovnice rozšířit doménu. Příklady jsou Funkce Riemann zeta a funkce gama.

Koncept a univerzální kryt byl poprvé vyvinut k definování přirozené domény pro analytické pokračování analytická funkce. Myšlenka nalezení maximálního analytického pokračování funkce zase vedla k rozvoji myšlenky Riemannovy povrchy.

Pracoval příklad

Analytické pokračování z U (se středem na 1) až PROTI (se středem na a = (3 + i) / 2)

Začněte konkrétní analytickou funkcí ${ displaystyle f}$ . V tomto případě je to dáno a výkonová řada se středem na ${ displaystyle z = 1}$ :

{ displaystyle f (z) = součet _ {k = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {k} (z-1) ^ {k}.}

Podle Cauchy – Hadamardova věta, jeho poloměr konvergence je 1. To znamená, ${ displaystyle f}$ je definován a analytický na otevřené množině ${ displaystyle U = {| z-1 | <1 }}$ který má hranici ${ displaystyle částečné U = {| z-1 | = 1 }}$ . Série se skutečně rozchází ${ displaystyle z = 0 v částečné U}$ .

Předstírej, že to nevíme ${ displaystyle f (z) = 1 / z}$ a zaměřit se na recentering výkonové řady v jiném bodě ${ displaystyle a v U}$ :

{ displaystyle f (z) = součet _ {k = 0} ^ { infty} a_ {k} (z-a) ^ {k}.}

Vypočítáme ${ displaystyle a_ {k}}$ a určete, zda tato nová řada výkonů konverguje do otevřené množiny ${ displaystyle V}$ který není obsažen v ${ displaystyle U}$ . Pokud ano, budeme analyticky pokračovat ${ displaystyle f}$ do regionu ${ displaystyle U cup V}$ což je přísně větší než ${ displaystyle U}$ .

Vzdálenost od ${ displaystyle a}$ na ${ displaystyle částečné U}$ je ${ displaystyle rho = 1- | a-1 |> 0}$ . Vzít ${ displaystyle 0$ ; nechat ${ displaystyle D}$ být kotouč o poloměru ${ displaystyle r}$ kolem ${ displaystyle a}$ ; a nechte ${ displaystyle částečné D}$ být jeho hranicí. Pak ${ displaystyle D cup částečné D podmnožina U}$ . Použitím Cauchyho diferenciační vzorec vypočítat nové koeficienty,

{ displaystyle { begin {aligned} a_ {k} & = { frac {f ^ {(k)} (a)} {k!}} & = { frac {1} {2 pi i }} int _ { částečné D} { frac {f ( zeta) d zeta} {( zeta -a) ^ {k + 1}}} & = { frac {1} {2 pi i}} int _ { částečné D} { frac { sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} ( zeta -1) ^ {n} d zeta} {( zeta -a) ^ {k + 1}}} & = { frac {1} {2 pi i}} sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1 ) ^ {n} int _ { částečné D} { frac {( zeta -1) ^ {n} d zeta} {( zeta -a) ^ {k + 1}}} & = { frac {1} {2 pi i}} sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} int _ {0} ^ {2 pi} { frac { (a + re ^ {i theta} -1) ^ {n} rie ^ {i theta} d theta} {(re ^ {i theta}) ^ {k + 1}}} & = { frac {1} {2 pi}} sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} int _ {0} ^ {2 pi} { frac {( a-1 + re ^ {i theta}) ^ {n} d theta} {(re ^ {i theta}) ^ {k}}}} & = { frac {1} {2 pi }} sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} int _ {0} ^ {2 pi} { frac { sum _ {m = 0} ^ {n } { binom {n} {m}} (a-1) ^ {nm} (re ^ {i theta}) ^ {m} d theta} {(re ^ {i theta}) ^ {k }}} & = (- 1) ^ {k} a ^ {- k-1} end {zarovnáno}}}

To znamená

{ displaystyle f (z) = součet _ {k = 0} ^ { infty} a_ {k} (za) ^ {k} = součet _ {k = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {k} a ^ {- k-1} (za) ^ {k} = { frac {1} {a}} součet _ {k = 0} ^ { infty} vlevo (1 - { frac {z} {a}} vpravo) ^ {k},}

který má poloměr konvergence ${ displaystyle | a |}$ , a ${ displaystyle V = {| z-a | <| a | }.}$ Pokud se rozhodneme ${ displaystyle a v U}$ s ${ displaystyle | a |> 1}$ , pak ${ displaystyle V}$ není podmnožinou ${ displaystyle U}$ a je ve skutečnosti větší než plocha ${ displaystyle U}$ . Graf ukazuje výsledek pro ${ displaystyle a = { tfrac {1} {2}} (3 + i).}$

Můžeme pokračovat v procesu: vyberte ${ displaystyle b v U cup V}$ , novější výkonovou řadu na ${ displaystyle b}$ , a určit, kde se nová výkonová řada sbíhá. Pokud region obsahuje body, které nejsou v ${ displaystyle U cup V}$ pak budeme analyticky pokračovat ${ displaystyle f}$ ještě dál. Tento konkrétní ${ displaystyle f}$ lze analyticky pokračovat do propíchnuté komplexní roviny ${ displaystyle mathbb {C} setminus {0 }.}$

Formální definice zárodku

Energetická řada definovaná níže je zobecněna myšlenkou a zárodek. Obecná teorie analytického pokračování a jeho zobecnění je známá jako teorie svazků. Nechat

{ displaystyle f (z) = součet _ {k = 0} ^ { infty} alpha _ {k} (z-z_ {0}) ^ {k}}

být výkonová řada konvergující v disk D_r(z₀), r > 0, definováno

{ displaystyle D_ {r} (z_ {0}) = {z v mathbb {C}: | z-z_ {0} |

.

Všimněte si, že bez ztráty obecnosti, zde a níže, budeme vždy předpokládat, že maximální takový r byl vybrán, i když to r je ∞. Všimněte si také, že by bylo ekvivalentní začít s analytickou funkcí definovanou na nějaké malé otevřené sadě. Říkáme, že vektor

{ displaystyle g = (z_ {0}, alpha _ {0}, alpha _ {1}, alpha _ {2}, ldots)}

je zárodek z F. The základna G₀ z G je z₀, zastavit z G je (α₀, α₁, α₂, ...) a horní G₁ z G je α₀. Horní část G je hodnota F na z₀.

Libovolný vektor G = (z₀, α₀, α₁, ...) je zárodek, pokud představuje výkonovou řadu analytické funkce kolem z₀ s určitým poloměrem konvergence r > 0. Proto můžeme bezpečně mluvit o sadě zárodků ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ .

Topologie sady bakterií

Nechat G a h být bakterie. Li ${ displaystyle | h_ {0} -g_ {0} |$ kde r je poloměr konvergence G a pokud je výkonová řada definována G a h určit stejné funkce na průsečíku dvou domén, pak to říkáme h je generován (nebo kompatibilní s) Ga my píšeme G ≥ h. Tato podmínka kompatibility není ani tranzitivní, symetrická ani antisymetrická. Kdybychom rozšířit vztah tranzitivita, získáme symetrický vztah, který je tedy také vztah ekvivalence na bakterie (ale ne objednání). Toto rozšíření o tranzitivitu je jednou z definic analytického pokračování. Bude označen vztah ekvivalence ${ displaystyle cong}$ .

Můžeme definovat a topologie na ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ . Nechat r > 0, a nechte

{ displaystyle U_ {r} (g) = {h in { mathcal {G}}: g geq h, | g_ {0} -h_ {0} |

Soupravy U_r(G), pro všechny r > 0 a ${ displaystyle g in { mathcal {G}}}$ definovat a na základě otevřených množin pro topologii na ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ .

A připojená součást z ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ (tj. třída ekvivalence) se nazývá a snop. Všimněte si také, že mapa definovaná ${ displaystyle phi _ {g} (h) = h_ {0}: U_ {r} (g) to mathbb {C},}$ kde r je poloměr konvergence G, je schéma. Sada takových grafů tvoří atlas pro ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ , proto ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ je Riemannův povrch. ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ se někdy nazývá univerzální analytická funkce.

Příklady analytického pokračování

{ displaystyle L (z) = součet _ {k = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k + 1}} {k}} (z-1) ^ {k}}

je výkonová řada odpovídající přirozený logaritmus u z = 1. Tuto výkonovou řadu lze změnit na a zárodek

{ displaystyle g = left (1,0,1, - { frac {1} {2}}, { frac {1} {3}}, - { frac {1} {4}}, { frac {1} {5}}, - { frac {1} {6}}, ldots right)}

Tento zárodek má poloměr konvergence 1, a tak existuje snop S tomu odpovídá. Toto je svazek logaritmické funkce.

Věta jedinečnosti pro analytické funkce se vztahuje také na svazky analytických funkcí: pokud svazek analytické funkce obsahuje nulový zárodek (tj. Svazek je v některých sousedstvích rovnoměrně nulový), pak je celý svazek nulový. Vyzbrojeni tímto výsledkem vidíme, že pokud vezmeme jakýkoli zárodek G snopu S logaritmické funkce, jak je popsáno výše, a přeměňte ji na výkonovou řadu F(z), pak tato funkce bude mít vlastnost exp (F(z)) = z. Pokud bychom se rozhodli použít verzi věta o inverzní funkci pro analytické funkce bychom mohli sestavit širokou škálu inverzí pro exponenciální mapu, ale zjistili bychom, že jsou všechny zastoupeny nějakým zárodkem v S. V tomto smyslu, S je „jedna skutečná inverze“ exponenciální mapy.

Ve starší literatuře byly nazývány svazky analytických funkcí funkce s více hodnotami. Vidět snop pro obecný koncept.

Přirozená hranice

Předpokládejme, že výkonová řada má poloměr konvergence r a definuje analytickou funkci F uvnitř toho disku. Zvažte body v kruhu konvergence. Bod, pro který existuje sousedství F má analytické rozšíření je pravidelný, v opačném případě jednotné číslo. Kruh je přirozená hranice pokud jsou všechny jeho body singulární.

Obecněji můžeme definici použít na jakoukoli otevřenou připojenou doménu, na které F je analytický a klasifikuje body hranice domény jako pravidelné nebo singulární: hranice domény je pak přirozená hranice, pokud jsou všechny body singulární, v takovém případě je doména a doména holomorfie.

Příklad I: Funkce s přirozenou hranicí na nule (funkce primární zeta)

Pro ${ displaystyle Re (s)> 1}$ definujeme tzv primární funkce zeta, ${ Displaystyle P (s)}$ , být

{ displaystyle P (s): = součet _ {p { text {prime}}} p ^ {- s}.}

Tato funkce je analogická se souhrnnou formou Funkce Riemann zeta když ${ displaystyle Re (s)> 1}$ do té míry, do jaké je to stejná součtová funkce jako ${ displaystyle zeta (s)}$ , s výjimkou indexů omezených pouze na prvočísla namísto převzetí celé kladné částky přirozená čísla. Funkce prime zeta má analytické pokračování celého komplexu s takhle ${ displaystyle 0 < Re (s) <1}$ , což vyplývá z výrazu ${ Displaystyle P (s)}$ logaritmy logiky Funkce Riemann zeta tak jako

{ displaystyle P (s) = součet _ {n geq 1} mu (n) { frac { log zeta (ns)} {n}}.}

Od té doby ${ displaystyle zeta (s)}$ má jednoduchou neodnímatelnou tyč na ${ displaystyle s: = 1}$ , pak je to vidět ${ Displaystyle P (s)}$ má jednoduchý pól v ${ displaystyle s: = { tfrac {1} {k}}, forall k in mathbb {Z} ^ {+}}$ . Od množiny bodů

{ displaystyle operatorname {Sing} _ {P}: = left {k ^ {- 1}: k in mathbb {Z} ^ {+} right } = left {1, { frac {1} {2}}, { frac {1} {3}}, { frac {1} {4}}, ldots right }}

má akumulační bod 0 (limit posloupnosti jako ${ displaystyle k mapsto infty}$ ), můžeme vidět, že nula tvoří přirozenou hranici pro ${ Displaystyle P (s)}$ . To z toho vyplývá ${ Displaystyle P (s)}$ nemá žádné analytické pokračování pro s nalevo od (nebo v) nuly, tj. není možné pokračování pro ${ Displaystyle P (s)}$ když ${ displaystyle 0 geq Re (s)}$ . Tato skutečnost může být problematická, pokud provádíme složitý obrysový integrál v intervalu, jehož skutečné části jsou symetrické kolem nuly, řekněme ${ displaystyle I_ {F} subseteq mathbb {C} { text {takový, že}} Re (s) in (-C, C), forall s in I_ {F}}$ pro některé ${ displaystyle C> 0}$ , kde integrand je funkce se jmenovatelem, na kterém závisí ${ Displaystyle P (s)}$ zásadním způsobem.

Příklad II: Typická lakunární řada (přirozená hranice jako podmnožiny jednotkové kružnice)

Pro celá čísla ${ displaystyle c geq 1}$ , definujeme lakunární série řádu C rozšířením výkonové řady

{ displaystyle { mathcal {L}} _ {c} (z): = sum _ {n geq 1} z ^ {c ^ {n}}, | z | <1.}

Je zřejmé, že od ${ displaystyle c ^ {n + 1} = c cdot c ^ {n}}$ existuje funkční rovnice pro ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {c} (z)}$ pro všechny z uspokojující ${ displaystyle | z | <1}$ dána ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {c} (z) = z ^ {c} + { mathcal {L}} _ {c} (z ^ {c})}$ . Není také těžké to vidět pro žádné celé číslo ${ displaystyle m geq 1}$ , máme další funkční rovnici pro ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {c} (z)}$ dána

{ displaystyle { mathcal {L}} _ {c} (z) = součet _ {i = 0} ^ {m-1} z ^ {c ^ {i}} + { mathcal {L}} _ {c} (z ^ {c ^ {m}}), forall | z | <1.}

Pro všechna kladná přirozená čísla C, funkce lakunární řady má jednoduchý pól v ${ displaystyle z: = 1}$ . Zvažujeme otázku analytického pokračování ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {c} (z)}$ do jiného komplexu z takhle ${ displaystyle | Re (z) |> 1.}$ Jak uvidíme, pro všechny ${ displaystyle n geq 1}$ , soubor ${ displaystyle c ^ {n}}$ -té kořeny jednoty vnucují funkci přirozenou hranici ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {c} (z)}$ . Proto, protože soubor spojení všech těchto kořenů jednoty přes ${ displaystyle n geq 1}$ je hustý na hranici jednotkového kruhu, nemáme žádné možné analytické pokračování ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {c} (z)}$ do komplexu z jehož skutečné části přesahují jednu.

Důkaz této skutečnosti je generalizován standardním argumentem pro případ, kdy ${ displaystyle c: = 2.}$ ^[1] Totiž pro celá čísla ${ displaystyle n geq 1}$ , nechť

{ displaystyle { mathcal {R}} _ {c, n}: = left {z in mathbb {D} cup částečné { mathbb {D}}: z ^ {c ^ {n} } = 1 vpravo },}

kde ${ displaystyle mathbb {D}}$ označuje otevřený jednotkový disk v komplexní rovině a ${ displaystyle | { mathcal {R}} _ {c, n} | = c ^ {n}}$ , tj. existují ${ displaystyle c ^ {n}}$ zřetelná komplexní čísla z které leží na nebo uvnitř jednotkového kruhu tak, že ${ displaystyle z ^ {c ^ {n}} = 1}$ . Nyní je klíčovou součástí důkazu použití funkční rovnice pro ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {c} (z)}$ když ${ displaystyle | z | <1}$ ukázat to

{ displaystyle forall z in { mathcal {R}} _ {c, n}, qquad { mathcal {L}} _ {c} (z) = sum _ {i = 0} ^ {c ^ {n} -1} z ^ {c ^ {i}} + { mathcal {L}} _ {c} (z ^ {c ^ {n}}) = součet _ {i = 0} ^ { c ^ {n} -1} z ^ {c ^ {i}} + { mathcal {L}} _ {c} (1) = + infty.}

Takže pro jakýkoli oblouk na hranici jednotkové kružnice existuje nekonečný počet bodů z v tomto oblouku takový, že ${ displaystyle | { mathcal {L}} _ {c} (z) | = + infty}$ . Tato podmínka je ekvivalentní s tím, že kruh ${ displaystyle C_ {1}: = {z: | z | = 1 }}$ tvoří přirozenou hranici funkce ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {c} (z)}$ pro jakoukoli pevnou volbu ${ displaystyle c in mathbb {Z} ^ {+}.}$ Z tohoto důvodu neexistuje žádné analytické pokračování těchto funkcí mimo vnitřek jednotkového kruhu.

Monodromy věta

Věta o monodromii poskytuje dostatečnou podmínku pro existenci a přímé analytické pokračování (tj. rozšíření analytické funkce na analytickou funkci na větší množině).

Předpokládat ${ displaystyle D podmnožina mathbb {C}}$ je otevřená sada a F analytická funkce zapnuta D. Li G je jednoduše připojeno doména obsahující D, takový, že F má analytické pokračování na každé cestě dovnitř G, počínaje nějakým pevným bodem A v D, pak F má přímé analytické pokračování do G.

Ve výše uvedeném jazyce to znamená, že pokud G je jednoduše připojená doména a S je svazek, jehož sada základních bodů obsahuje G, pak existuje analytická funkce F na G jejichž bakterie patří S.

Hadamardova věta o mezeře

Pro výkonovou řadu

{ displaystyle f (z) = součet _ {k = 0} ^ { infty} a_ {k} z ^ {n_ {k}}}

s

{ displaystyle liminf _ {k to infty} { frac {n_ {k + 1}} {n_ {k}}}> 1}

kruh konvergence je přirozenou hranicí. Taková výkonová řada se nazývá mezník Tuto větu podstatně zobecnil Eugen Fabry (viz Fabryho věta o mezeře ) a George Pólya.

Pólyova věta

Nechat

{ displaystyle f (z) = součet _ {k = 0} ^ { infty} alpha _ {k} (z-z_ {0}) ^ {k}}

být výkonovou řadou, pak existují ε_k ∈ {−1, 1} takové

{ displaystyle f (z) = součet _ {k = 0} ^ { infty} varepsilon _ {k} alpha _ {k} (z-z_ {0}) ^ {k}}

má konvergenční disk z F kolem z₀ jako přirozená hranice.

Důkaz této věty využívá Hadamardovu větu o mezeře.

Užitečná věta: Dostatečná podmínka pro analytické pokračování na nepozitivní celá čísla

Ve většině případů, pokud existuje analytické pokračování komplexní funkce, je dána integrálním vzorcem. Další věta, za předpokladu, že jsou splněny její hypotézy, poskytuje dostatečnou podmínku, za které můžeme pokračovat analytická funkce od jeho konvergentních bodů podél kladných reálných po libovolné ${ displaystyle s in mathbb {C}}$ (s výjimkou konečně mnoha pólů). Kromě toho vzorec poskytuje explicitní zastoupení hodnot pokračování na nepozitivní celá čísla vyjádřená přesně derivace vyššího řádu (celé číslo) původní funkce vyhodnocené na nulu.^[2]

Hypotézy věty

Vyžadujeme tuto funkci ${ displaystyle F: mathbb {R} ^ {+} do mathbb {C}}$ splňuje následující podmínky pro uplatnění věty o pokračování této funkce uvedené níže:

(T-1). Funkce musí mít spojité deriváty všech objednávek, tj. ${ displaystyle F in { mathcal {C}} ^ { infty} ( mathbb {R} ^ {+})}$ . Jinými slovy pro všechna celá čísla ${ displaystyle j geq 1}$ , integrální řád ${ displaystyle j ^ {th}}$ derivát ${ displaystyle F ^ {(j)} (x) = { frac {d ^ {(j)}} {dx ^ {(j)}}} [F (x)]}$ musí existovat, být nepřetržitě zapnutý ${ displaystyle mathbb {R} ^ {+}}$ a sám sebou rozlišitelný, takže všechny deriváty vyššího řádu z F jsou hladký funkce X na kladných reálných číslech;
(T-2). Tuto funkci požadujeme F je rychle klesá v tom pro všechny ${ displaystyle n in mathbb {Z} ^ {+}}$ získáme omezující chování, které ${ displaystyle t ^ {n} F (t) až 0}$ tak jako t stává se neomezeným, má sklon k nekonečnu;
(T-3). The (reciproční gamma-scale) Mellinova transformace z F existuje pro celý komplex s takhle ${ displaystyle Re (s)> 0}$ s výjimkou ${ displaystyle s in { zeta _ {1} (F), zeta _ {2} (F), ldots, zeta _ {k} (F) }}$ (nebo pro všechny s s kladnými reálnými částmi, s výjimkou konečného počtu výjimečných pólů):

{ displaystyle { widetilde { mathcal {M}}} [F] (s): = { frac {1} { Gamma (y)}} int _ {0} ^ { infty} t ^ { s} F (t) { frac {dt} {t}}, qquad left | { widetilde { mathcal {M}}} [F] (s) right | in (- infty, + infty), forall s in {z in mathbb {C}: Re (z)> 0 } setminus { zeta _ {1} (F), ldots, zeta _ { k} (F) }.}

Závěr věty

Nechat F být libovolná funkce definovaná na kladných realích, která splňuje všechny podmínky (T1) - (T3) výše. Pak integrální reprezentace měřítka Mellinova transformace z F na s, označeno ${ displaystyle { widetilde { mathcal {M}}} [F]}$ , má meromorfní pokračování do komplexní roviny ${ displaystyle mathbb {C} setminus { zeta _ {1} (F), ldots, zeta _ {k} (F) }}$ . Navíc to máme pro všechny nezáporné ${ displaystyle n in mathbb {Z}}$ , pokračování F na místě ${ displaystyle s: = - n}$ je dán výslovně vzorcem

{ displaystyle { widetilde { mathcal {M}}} [F] (- n) = (- 1) ^ {n} krát F ^ {(n)} (0) equiv (-1) ^ { n} times { frac { částečné ^ {n}} {{ částečné x} ^ {n}}} levé [F (x) pravé] | _ {x = 0}.}

Příklady

Příklad I: Připojení funkce Riemann zeta k Bernoulliho číslům

Můžeme použít větu na funkci

{ displaystyle F _ { zeta} (x): = { frac {x} {e ^ {x} -1}} = součet _ {n geq 0} B_ {n} { frac {x ^ { n}} {n!}},}

což odpovídá exponenciálu generující funkce z Bernoulliho čísla, ${ displaystyle B_ {n}}$ . Pro ${ displaystyle Re (s)> 1}$ , můžeme vyjádřit ${ displaystyle zeta (s) = { widetilde { mathcal {M}}} [F _ { zeta}] (s)}$ , protože můžeme vypočítat, že další integrální vzorec pro vzájemné síly celých čísel ${ displaystyle n geq 1}$ platí pro s v tomto rozsahu:

{ displaystyle { frac {1} {n ^ {s}}} = { frac {1} { Gamma (y)}} int _ {0} ^ {+ infty} t ^ {s-1 } e ^ {- nt} dt, Re (s)> 1.}

Nyní, protože integrand poslední rovnice je a rovnoměrně spojité funkce t pro každé kladné celé číslo n, máme integrální zastoupení pro ${ displaystyle zeta (s)}$ kdykoli ${ displaystyle Re (s)> 1}$ dána

{ displaystyle zeta (s) = součet _ {n geq 1} n ^ {- s} = { frac {1} { gama (y)}} int _ {0} ^ {+ infty } left ( sum _ {n geq 1} e ^ {- nt} right) t ^ {s-1} dt = { frac {1} { Gamma (s)}} int _ {0 } ^ { infty} t ^ {s-1} { frac {F _ { zeta} (t)} {t}} dt.}

Když vystupujeme integrace po částech do Mellinova transformace integrální pro toto ${ displaystyle F _ { zeta} (x)}$ , získáme také vztah, který

{ displaystyle zeta (s) = { frac {1} {(s-1)}} { widetilde { mathcal {M}}} [F _ { zeta}] (s-1).}

Navíc od té doby ${ displaystyle e ^ {t} gg t ^ {n}}$ pro jakoukoli pevnou celočíselnou polynomickou mocninu t, setkáváme se s hypotézou věty, která to vyžaduje ${ displaystyle lim _ {t to + infty} t ^ {n} cdot F _ { zeta} (t), forall n in mathbb {Z} ^ {+}}$ . Standardní aplikace Taylorova věta do obyčejná generující funkce z Bernoulliho čísla ukázat to ${ displaystyle F _ { zeta} ^ {(n)} (0) = { frac {B_ {n}} {n!}} krát n! = B_ {n}}$ . Zejména pozorováním provedeným výše k posunu ${ displaystyle s mapsto s-1}$ , a tyto poznámky, můžeme vypočítat hodnoty tzv triviální nuly z Funkce Riemann zeta (pro ${ displaystyle zeta (-2n)}$ ) a racionální záporné konstanty lichého celočíselného pořadí, ${ displaystyle zeta (- (2n + 1)), n geq 0}$ podle vzorce

{ displaystyle zeta (-n) = - { frac {1} {n + 1}} { widetilde { mathcal {M}}} [F _ { zeta}] (- n-1) = { frac {(-1) ^ {n}} {n + 1}} F _ { zeta} ^ {(n + 1)} (0) = { begin {cases} - { frac {1} {2} }, & n = 0; infty, & n = 1; - { frac {B_ {n + 1}} {n + 1}}, & n geq 2. end {cases}}}

Příklad II: Interpretace F jako součtová funkce pro nějakou aritmetickou posloupnost

Předpokládejme to F je plynulá, dostatečně klesající funkce kladných reálných podmínek, která splňuje další podmínku

{ displaystyle Delta [F] (x-1) = F (x) -F (x-1) =: f (x), forall x in mathbb {Z} ^ {+}.}

V aplikaci do teoretický počet kontexty, považujeme za takové F být součtová funkce z aritmetická funkce F,

{ displaystyle F (x): = { součet _ {n geq x}} ^ { prime} f (n)}

kam vezmeme ${ displaystyle F (x) = 0, celkem 0$ a prvočíslo na předchozím součtu odpovídá standardním konvenci používaným k vyjádření Perronova věta:

{ displaystyle F_ {f} (x): = { sum _ {n leq x}} ^ { prime} f (n) = { begin {cases} sum _ {n leq [x]} f (n), & x in mathbb {R} ^ {+} setminus mathbb {Z}; součet _ {n leq x} f (n) - { frac {f (x)} {2}}, & x in mathbb {R} ^ {+} cap mathbb {Z}. End {cases}}}

Zajímá nás analytické pokračování DGF z F, nebo ekvivalentně Dirichletova řada přes F na s,

{ displaystyle D_ {f} (s): = sum _ {n geq 1} { frac {f (n)} {n ^ {s}}}.}

Typicky máme konkrétní hodnotu úsečka konvergence, ${ displaystyle sigma _ {0, f}> 0}$ , definované tak, že ${ displaystyle D_ {f} (y)}$ je naprosto konvergentní pro všechny složité s uspokojující ${ displaystyle Re (s)> sigma _ {0, f}}$ , a kde ${ displaystyle D_ {f} (y)}$ se předpokládá, že má pól v ${ displaystyle s: = pm sigma _ {0, f}}$ a tak, že původní Dirichletova série pro ${ displaystyle D_ {f} (y)}$ rozchází se pro všechny s takhle ${ displaystyle Re (s) leq sigma _ {0, f}}$ . Je známo, že existuje vztah mezi Mellinova transformace souhrnné funkce libovolného F k pokračování svého DGF v ${ displaystyle s mapsto -s}$ formuláře:

{ displaystyle D_ {f} (s) = { mathcal {M}} [F] (- s) = int _ {1} ^ { infty} { frac {F_ {f} (s)} { x ^ {s + 1}}} dx}

To znamená, že za předpokladu ${ displaystyle D_ {f} (y)}$ má pokračování do komplexní roviny vlevo od počátku, můžeme vyjádřit součtovou funkci libovolné F podle inverzní Mellinova transformace DGF ze dne F pokračoval s se skutečnými částmi menšími než nula jako:^[3]

{ displaystyle F_ {f} (x) = { mathcal {M}} ^ {- 1} left [{ mathcal {M}} [F_ {f}] (- s) right] (x) = { mathcal {M}} ^ {- 1} [D_ {f} (- s)] (x).}

Můžeme vytvořit DGF, nebo Funkce generování dirichletů, jakéhokoli předepsaného F vzhledem k naší hladké cílové funkci F provedením součet podle částí tak jako

{ displaystyle { begin {aligned} D_ {f} (s) & = { frac {1} { Gamma (s)}} int _ {0} ^ {+ infty} left ( sum _ {n geq 1} (F (n) -F (n-1)) e ^ {- nt} right) t ^ {s} dt & = { frac {1} { Gamma (s) }} int _ {0} ^ { infty} lim _ {N to infty} left [F (N) e ^ {- Nt} + sum _ {k = 0} ^ {N-1 } F (k) e ^ {- kt} vlevo (1-e ^ {- t} vpravo) vpravo] dt & = { frac {1} { Gamma (y)}} int _ {0} ^ { infty} t ^ {s-1} (1-e ^ {- t}) int _ {0} ^ { infty} F (r / t) e ^ {- r} drdt & = { frac {1} { Gamma (y)}} int _ {0} ^ { infty} t ^ {s-1} left (1-e ^ {- t} right) { widetilde {F}} vlevo ({ frac {1} {t}} vpravo) dt & = { frac {1} { Gamma (y)}} int _ {0} ^ { infty} { frac { left (1-e ^ {- 1 / u} right)} {u ^ {s} (1-u)}} F left ({ frac {u} {1-u }} right) du, end {zarovnáno}}}

kde ${ displaystyle { hat {F}} (x) equiv { mathcal {L}} [F] (x)}$ je Laplaceova-Borelova transformace z F, který pokud

{ displaystyle F (z): = součet _ {n geq 0} { frac {f_ {n}} {n!}} z ^ {n}}

odpovídá exponenciálu generující funkce nějaké sekvence vyjmenované ${ displaystyle f_ {n} / n! = F ^ {(n)} (0) / n!}$ (jak je předepsáno Taylorovou řadou rozšíření z F tedy asi nula)

{ displaystyle { widetilde {F}} (z) = součet _ {n geq 0} f_ {n} z ^ {n}}

je jeho běžná forma generující funkce přes sekvenci, jejíž koeficienty jsou vyčísleny ${ displaystyle [z ^ {n}] { widetilde {F}} (z) equiv f_ {n} = F ^ {(n)} (0)}$ .

Z toho tedy vyplývá, že pokud budeme psát

{ displaystyle G_ {F} (x): = { frac {x} {1-x}} F left ({ frac {x} {1-x}} right) = sum _ {n geq 0} left ( sum _ {k = 0} ^ {n} { binom {n} {k}} [z ^ {k}] F (z) right) x ^ {n + 1}, }

alternativně interpretováno jako podepsaná varianta binomická transformace z F, pak můžeme vyjádřit DGF následovně Mellinova transformace na ${ displaystyle -s}$ :

{ displaystyle { begin {aligned} D_ {f} (s) & = { mathcal {M}} [G_ {F}] (- s) { mathcal {M}} left [1-e ^ { -1 / x} right] (- s) & = { frac {{ mathcal {M}} [G_ {F}] (- s)} {s-1}} left (1- Gama (y) right) end {zarovnáno}}}

Nakonec, protože funkce gama má meromorfní pokračování na ${ displaystyle mathbb {C} setminus mathbb {N}}$ , pro všechny ${ displaystyle s in mathbb {C} setminus {0,1,2, ldots },}$ máme analytické pokračování DGF pro F na -s formuláře

{ displaystyle D_ {f} (- s) = - { frac {1- Gamma (-s)} {s + 1}} { mathcal {M}} [G_ {F}] (s),}

kde vzorec pro ${ displaystyle D_ {f} (- n)}$ pro nezáporná celá čísla n je dán podle vzorce ve větě jako

{ displaystyle D_ {f} (- n) = (- 1) ^ {n} { frac {d ^ {n}} {{dx} ^ {n}}} left [ left (1-e ^ {-1 / x} right) { frac {x} {1-x}} F left ({ frac {x} {1-x}} right) right] { Biggr |} _ { x = 0}.}

Navíc za předpokladu, že aritmetická funkce F splňuje ${ displaystyle f (1) neq 1}$ takže existuje jeho Dirichletova inverzní funkce, DGF ${ displaystyle f ^ {- 1}}$ pokračuje žádný ${ displaystyle s in mathbb {C} cap {z: Re (z) in (- infty, - sigma _ {0, f}) cup ( sigma _ {0, f} , + infty) }}$ , to je jakýkoli komplex s kromě s v F-definováno nebo závisí na aplikaci F- konkrétní, tzv kritický pás mezi svislými čarami ${ displaystyle z = pm sigma _ {0, f}}$ , a hodnota této inverzní funkce DGF, když ${ displaystyle Re (s) <- sigma _ {0, f}}$ darováno ^[4]

{ displaystyle D_ {f ^ {- 1}} (- s) = { begin {cases} 0, & n in mathbb {N}; - { frac {s + 1} {1- Gamma (-s)}} { mathcal {M}} [G_ {F} ^ {- 1}] (s) a { text {jinak.}} end {případy}}}

Pokračovat v DGF Dirichletovy inverzní funkce na s uvnitř toho F-definovaný kritický pás, musíme vyžadovat určité znalosti funkční rovnice pro DGF, ${ displaystyle D_ {f} (y)}$ , což nám umožňuje spojit s takové, že Dirichletova řada který definuje tuto funkci zpočátku, je absolutně konvergentní k hodnotám s uvnitř tohoto pásu - v podstatě vzorec, který to poskytuje ${ displaystyle D_ {f} (s) = xi _ {f} (s) krát D_ {f} ( sigma _ {0, f} -s)}$ je nutné v tomto pruhu definovat DGF.^[5]

Viz také

Reference

^ Viz příklad uvedený na MathWorld stránka pro přirozená hranice.
^ Viz článek Fontainovy prsteny a p-adické L-funkce Pierre Colmez najdete na tento odkaz (Poznámky k kurzu PDF z roku 2004).
^ Mnohem více lze ve skutečnosti říci o vlastnostech takových vztahů mezi pokračováním DGF a sumační funkcí jakékoli aritmetiky F - a krátký seznam a výpisy identit najdete na stránce pracovní karantény na adrese Dirichletova řada inverze. Některé zajímavé páry inverzních vztahů funkce summatory-function-to-DGF, které vznikají v nestandardních aplikacích, zahrnují: ${ displaystyle (F_ {f} (x), D_ {f} (s)) in left {(M (x), 1 / zeta (s)), ( pi (x), P ( s)), ( Pi _ {0} (x), log zeta (s)) vpravo }}$ , kde ${ displaystyle M (x)}$ je Funkce Mertens nebo souhrnná funkce Funkce Moebius, ${ Displaystyle P (s)}$ je primární funkce zeta, a ${ displaystyle Pi _ {0} (x)}$ je Funkce počítání prvočísel Riemann.
^ Jedno pozorování, jak sladit, jak se hodnoty tohoto analyticky pokračujícího DGF shodují s tím, co víme o Mellinově integrálu součtová funkce z Fpozorujeme, že bychom to měli mít
${ displaystyle D_ {f} (- s) = - s int _ {1} ^ { infty} x ^ {s-1} F_ {f} (x) dx.}$
^ Je známo, že tato konstrukce je podobná známé funkční rovnici pro Funkce Riemann zeta který souvisí ${ displaystyle zeta (s)}$ pro ${ displaystyle 1 < Re (s) <2}$ na hodnoty ${ displaystyle zeta (1 s)}$ pro ${ displaystyle 0 <1-s <1}$ v klasice kritický pás kde můžeme najít všechny netriviální nuly z toho funkce zeta.

Lars Ahlfors (1979). Komplexní analýza (3. vyd.). McGraw-Hill. 172, 284.
Ludwig Bieberbach (1955). Analytische Fortsetzung. Springer-Verlag.
P. Dienes (1957). Taylorova řada: úvod do teorie funkcí komplexní proměnné. New York: Dover Publications, Inc.

externí odkazy

"Analytické pokračování", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
Analytické pokračování na MathPages
Weisstein, Eric W. „Analytické pokračování“. MathWorld.

[1] Viz příklad uvedený na MathWorld stránka pro přirozená hranice.

[2] Viz článek Fontainovy prsteny a p-adické L-funkce Pierre Colmez najdete na tento odkaz (Poznámky k kurzu PDF z roku 2004).

[3] Mnohem více lze ve skutečnosti říci o vlastnostech takových vztahů mezi pokračováním DGF a sumační funkcí jakékoli aritmetiky F - a krátký seznam a výpisy identit najdete na stránce pracovní karantény na adrese Dirichletova řada inverze. Některé zajímavé páry inverzních vztahů funkce summatory-function-to-DGF, které vznikají v nestandardních aplikacích, zahrnují: ${ displaystyle (F_ {f} (x), D_ {f} (s)) in left {(M (x), 1 / zeta (s)), ( pi (x), P ( s)), ( Pi _ {0} (x), log zeta (s)) vpravo }}$ , kde ${ displaystyle M (x)}$ je Funkce Mertens nebo souhrnná funkce Funkce Moebius, ${ Displaystyle P (s)}$ je primární funkce zeta, a ${ displaystyle Pi _ {0} (x)}$ je Funkce počítání prvočísel Riemann.

[4] Jedno pozorování, jak sladit, jak se hodnoty tohoto analyticky pokračujícího DGF shodují s tím, co víme o Mellinově integrálu součtová funkce z Fpozorujeme, že bychom to měli mít
${ displaystyle D_ {f} (- s) = - s int _ {1} ^ { infty} x ^ {s-1} F_ {f} (x) dx.}$

[5] Je známo, že tato konstrukce je podobná známé funkční rovnici pro Funkce Riemann zeta který souvisí ${ displaystyle zeta (s)}$ pro ${ displaystyle 1 < Re (s) <2}$ na hodnoty ${ displaystyle zeta (1 s)}$ pro ${ displaystyle 0 <1-s <1}$ v klasice kritický pás kde můžeme najít všechny netriviální nuly z toho funkce zeta.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]