Logistická distribuce - Logistic distribution
Funkce hustoty pravděpodobnosti ![]() | |||
Funkce kumulativní distribuce ![]() | |||
Parametry | umístění (nemovitý ) měřítko (nemovitý) | ||
---|---|---|---|
Podpěra, podpora | |||
CDF | |||
Znamenat | |||
Medián | |||
Režim | |||
Rozptyl | |||
Šikmost | |||
Př. špičatost | |||
Entropie | |||
MGF | pro a je Funkce Beta | ||
CF |
v teorie pravděpodobnosti a statistika, logistická distribuce je spojité rozdělení pravděpodobnosti. Své kumulativní distribuční funkce je logistická funkce, který se objeví v logistická regrese a dopředné neuronové sítě. Připomíná to normální distribuce ve tvaru, ale má těžší ocasy (vyšší špičatost ). Logistická distribuce je zvláštním případem Distribuce tukey lambda.
Specifikace
Funkce hustoty pravděpodobnosti
Když je parametr umístěníμ je 0 a parametr měřítkas je 1, pak funkce hustoty pravděpodobnosti logistické distribuce je dáno
Obecně je tedy hustota:
Protože tuto funkci lze vyjádřit jako druhou mocninu hyperbolická sekansová funkce "sech", to je někdy označováno jako sech-square (d) rozdělení.[1]
- Viz také: hyperbolická sekánová distribuce
Funkce kumulativní distribuce
Logistická distribuce obdrží svůj název od svého kumulativní distribuční funkce, což je instance rodiny logistických funkcí. Funkce kumulativní distribuce logistické distribuce je také škálovanou verzí hyperbolická tečna.
V této rovnici X je náhodná proměnná, μ je znamenat, a s je parametr měřítka úměrný standardní odchylka.
Kvantilní funkce
The inverzní kumulativní distribuční funkce (kvantilová funkce ) logistické distribuce je zobecněním logit funkce. Jeho derivát se nazývá funkce kvantilové hustoty. Jsou definovány takto:
Alternativní parametrizace
Alternativní parametrizaci logistické distribuce lze odvodit vyjádřením parametru scale, , pokud jde o směrodatnou odchylku, , pomocí substituce , kde . Alternativní formy výše uvedených funkcí jsou přiměřeně přímé.
Aplikace
Logistické rozdělení - a jeho vzor ve tvaru písmene S. kumulativní distribuční funkce (dále jen logistická funkce ) a kvantilová funkce (dále jen funkce logit ) - byly široce používány v mnoha různých oblastech.
Logistická regrese
Jedna z nejběžnějších aplikací je v logistická regrese, který se používá pro modelování kategorický závislé proměnné (např. ano-ne volby nebo výběr ze 3 nebo 4 možností), stejně jako standard lineární regrese se používá pro modelování spojité proměnné (např. příjem nebo populace). Konkrétně lze modely logistické regrese formulovat jako latentní proměnná modely s chybové proměnné po logistické distribuci. Toto frázování je v teorii běžné diskrétní volba modely, kde logistická distribuce hraje stejnou roli v logistické regrese jako normální distribuce dělá dovnitř probitová regrese. Logistické a normální rozdělení má ve skutečnosti docela podobný tvar. Logistická distribuce však má těžší ocasy, což často zvyšuje robustnost analýz založených na tom ve srovnání s použitím normálního rozdělení.
Fyzika
PDF této distribuce má stejnou funkční formu jako derivace souboru Funkce Fermi. V teorii vlastností elektronů v polovodičích a kovech stanoví tento derivát relativní hmotnost různých energií elektronů v jejich příspěvcích k transportu elektronů. Ty energetické úrovně, jejichž energie jsou nejblíže „průměru“ distribuce (Fermiho úroveň ) dominují procesy, jako je elektronické vedení, s určitým rozmazáním vyvolaným teplotou.[2]:34 Všimněte si však, že relevantní pravděpodobnost distribuce v Statistiky Fermi – Dirac je ve skutečnosti jednoduchý Bernoulliho distribuce, s faktorem pravděpodobnosti daným Fermiho funkcí.
Logistické rozdělení vzniká jako mezní rozdělení náhodného pohybu tlumeného konečnou rychlostí popsaného telegrafním procesem, ve kterém náhodné časy mezi po sobě následujícími změnami rychlosti mají nezávislé exponenciální rozdělení s lineárně rostoucími parametry.[3]
Hydrologie

v hydrologie rozložení dlouhodobých průtoků řek a srážek (např. měsíční a roční úhrny, skládající se ze součtu 30 respektive 360 denních hodnot) je často považováno za téměř normální podle teorém centrálního limitu.[4] The normální distribuce, ale potřebuje numerickou aproximaci. Protože logistická distribuce, kterou lze vyřešit analyticky, je podobná normální distribuci, lze ji místo toho použít. Modrý obrázek ilustruje příklad přizpůsobení logistické distribuce řazeným říjnovým srážkám - které jsou téměř normálně distribuovány - a ukazuje 90% pás spolehlivosti založeno na binomická distribuce. Údaje o srážkách jsou reprezentovány vykreslování pozic jako součást kumulativní frekvenční analýza.
Hodnocení šachů
The Americká šachová federace a FIDE přešli na svůj vzorec pro výpočet šachových hodnocení z normálního rozdělení na logistické rozdělení; viz článek na Systém hodnocení Elo (sám na základě normálního rozdělení).
Související distribuce
- Logistická distribuce napodobuje sech distribuce.
- Li X ~ Logistické (μ, β) pak kX + ℓ ~ Logistické (kμ + ℓ, kβ).
- Li X ~ U(0, 1) pak μ + β(log (X) - protokol (1 - X)) ~ Logistické (μ, β).
- Li a pak .
- Li a pak (Součet je ne logistická distribuce). Všimněte si, že .
- Li X ~ Logistické (μ, s) pak exp (X) ~ LogLogistic, a exp (X) + y ~ posunutá log-logistika
- .
- Li X ~ Exponenciální (1) pak
- Li X, Y ~ Exponenciální (1) pak
Odvození
Momenty vyššího řádu
The ncentrální moment tého řádu lze vyjádřit pomocí kvantilové funkce:
Tento integrál je dobře známý[5] a lze jej vyjádřit pomocí Bernoulliho čísla:
Viz také
- Zobecněná logistická distribuce
- Distribuce tukey lambda
- Logistická regrese
- Log-logistická distribuce
- Sigmoidní funkce
Poznámky
- ^ Johnson, Kotz a Balakrishnan (1995, s. 116).
- ^ Davies, John H. (1998). Fyzika nízkodimenzionálních polovodičů: Úvod. Cambridge University Press. ISBN 9780521484916.
- ^ A. Di Crescenzo, B. Martinucci (2010) „Tlumený telegrafní náhodný proces s logistickým stacionárním rozdělením“, J. Appl. Prob., sv. 47, s. 84–96.
- ^ Ritzema, H.P., ed. (1994). Frekvenční a regresní analýza. Kapitola 6 v: Zásady a aplikace odvodnění, publikace 16, Mezinárodní institut pro melioraci a zlepšování půdy (ILRI), Wageningen, Nizozemsko. str.175–224. ISBN 90-70754-33-9.
- ^ OEIS: A001896
Reference
- John S. deCani a Robert A. Stine (1986). Msgstr "Poznámka k odvození informační matice pro logistické rozdělení". Americký statistik. Americká statistická asociace. 40: 220–222. doi:10.2307/2684541.
- N., Balakrishnan (1992). Příručka logistické distribuce. Marcel Dekker, New York. ISBN 0-8247-8587-8.
- Johnson, N.L .; Kotz, S .; N., Balakrishnan (1995). Kontinuální jednorozměrné distribuce. Sv. 2 (2. vyd.). ISBN 0-471-58494-0.
- Modis, Theodore (1992) Předpovědi: Telltale Signature společnosti odhaluje minulost a předpovídá budoucnost, Simon & Schuster, New York. ISBN 0-671-75917-5