Logit-normální distribuce - Logit-normal distribution

Logit-normální

Funkce hustoty pravděpodobnosti
Funkce kumulativní distribuce
Zápis	${ displaystyle P ({ mathcal {N}} ( mu, , sigma ^ {2}))}$
Parametry	σ2 > 0 - čtvercová stupnice (skutečná), μ ∈ R - umístění
Podpěra, podpora	X ∈ (0, 1)
PDF	${ displaystyle { frac {1} { sigma { sqrt {2 pi}}}} , e ^ {- { frac {( operatorname {logit} (x) - mu) ^ {2} } {2 sigma ^ {2}}}} { frac {1} {x (1-x)}}}$
CDF	${ displaystyle { frac {1} {2}} { Big [} 1+ operatorname {erf} { Big (} { frac { operatorname {logit} (x) - mu} { sqrt { 2 sigma ^ {2}}}} { Big)} { Big]}}$
Znamenat	žádné analytické řešení
Medián	${ displaystyle P ( mu) ,}$
Režim	žádné analytické řešení
Rozptyl	žádné analytické řešení
MGF	žádné analytické řešení

v teorie pravděpodobnosti, a logit-normální distribuce je rozdělení pravděpodobnosti a náhodná proměnná jehož logit má normální distribuce. Li Y je náhodná proměnná s normálním rozdělením a P je standard logistická funkce, pak X = P(Y) má logit-normální distribuci; podobně, pokud X je tedy logicky normálně distribuován Y = logit (X) = log (X/(1-X)) je normálně distribuován. To je také známé jako logistické normální rozdělení,^[1] který často odkazuje na multinomiální verzi logitu (např.^[2][3][4][5]).

Proměnná může být modelována jako logit-normal, pokud se jedná o podíl, který je ohraničen nulou a jednou a kde se hodnoty nula a jedna nikdy nevyskytují.

Charakterizace

Funkce hustoty pravděpodobnosti

The funkce hustoty pravděpodobnosti (PDF) logit-normální distribuce, za 0 ≤ X ≤ 1, je:

${ displaystyle f_ {X} (x; mu, sigma) = { frac {1} { sigma { sqrt {2 pi}}}} , { frac {1} {x (1 x)}} , e ^ {- { frac {( operatorname {logit} (x) - mu) ^ {2}} {2 sigma ^ {2}}}}}$

kde μ a σ jsou znamenat a standardní odchylka proměnné logit (podle definice je logit proměnné normálně distribuován).

Hustota získaná změnou znaménka μ je symetrické v tom, že se rovná f (1-x; -μ,σ), posunutí režimu na druhou stranu 0,5 (střed intervalu (0,1)).

Spiknutí souboru Logitnormal PDF pro různé kombinace μ (fazety) a σ (barvy)

Okamžiky

Momenty logiticko-normálního rozdělení nemají analytické řešení. Okamžiky lze odhadnout podle numerická integrace, avšak numerická integrace může být neúměrná, když hodnoty ${ textstyle mu, sigma ^ {2}}$jsou takové, že se funkce hustoty rozchází s nekonečnem v koncových bodech nula a jedna. Alternativou je použít pozorování, že logit-normal je transformace normální náhodné proměnné. To nám umožňuje aproximovat momenty pomocí následujícího kvazi Monte Carlo odhadu ${ displaystyle E [X ^ {n}] přibližně { frac {1} {K-1}} součet _ {i = 1} ^ {K-1} vlevo (P vlevo ( Phi _ { mu, sigma ^ {2}} ^ {- 1} (i / K) vpravo) vpravo) ^ {n},}$

kde ${ textový styl P}$ je standardní logistická funkce a ${ textstyle Phi _ { mu, sigma ^ {2}} ^ {- 1}}$ je inverzní kumulativní distribuční funkce normálního rozdělení se střední hodnotou a rozptylem ${ textstyle mu, sigma ^ {2}}$.

Režim nebo režimy

Když se derivace hustoty rovná 0, pak umístění režimu x splňuje následující rovnici:

${ displaystyle operatorname {logit} (x) = sigma ^ {2} (2x-1) + mu.}$

Pro některé hodnoty parametrů existují dvě řešení, tj. Distribuce je bimodální.

Vícerozměrné zobecnění

The logistické normální rozdělení je zobecnění logit – normálního rozdělení na vektory D-dimenzionální pravděpodobnosti provedením logistické transformace vícerozměrného normálního rozdělení.^[6][7][8]

Funkce hustoty pravděpodobnosti

The funkce hustoty pravděpodobnosti je:

${ displaystyle f_ {X} ( mathbf {x}; { boldsymbol { mu}}, { boldsymbol { Sigma}}) = { frac {1} {| 2 pi { boldsymbol { Sigma }} | ^ { frac {1} {2}}}} , { frac {1} { prod limity _ {i = 1} ^ {D} x_ {i}}} , e ^ { - { frac {1} {2}} left { log left ({ frac { mathbf {x} _ {- D}} {x_ {D}}} right) - { boldsymbol { mu}} right } ^ { top} { boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} left { log left ({ frac { mathbf {x} _ {- D}} {x_ {D}}} right) - { boldsymbol { mu}} right }} quad, quad mathbf {x} in { mathcal {S}} ^ {D} ; ;,}$

kde ${ displaystyle mathbf {x} _ {- D}}$ označuje vektor prvních (D-1) složek ${ displaystyle mathbf {x}}$ a ${ displaystyle { mathcal {S}} ^ {D}}$ označuje simplexní vektorů D-rozměrné pravděpodobnosti. To vyplývá z použití aditivní logistická transformace zmapovat a vícerozměrný normální náhodná proměnná ${ displaystyle mathbf {y} sim { mathcal {N}} vlevo ({ boldsymbol { mu}}, { boldsymbol { Sigma}} vpravo) ;, ; mathbf {y} in mathbb {R} ^ {D-1}}$ do simplexu:

${ displaystyle mathbf {x} = left [{ frac {e ^ {y_ {1}}} {1+ sum _ {i = 1} ^ {D-1} e ^ {y_ {i}} }}, dots, { frac {e ^ {y_ {D-1}}} {1+ sum _ {i = 1} ^ {D-1} e ^ {y_ {i}}}}, { frac {1} {1+ sum _ {i = 1} ^ {D-1} e ^ {y_ {i}}}} right] ^ { top}}$

Funkce gaussovské hustoty a odpovídající funkce logistické normální hustoty po logistické transformaci.

Jedinečné inverzní mapování je dáno:

${ displaystyle mathbf {y} = left [ log left ({ frac {x_ {1}} {x_ {D}}} right), dots, log left ({ frac {x_ {D-1}} {x_ {D}}} vpravo) vpravo] ^ { nahoru}}$.

To je případ vektoru X které komponenty sečtou až jednu. V případě X se sigmoidními prvky, tj. kdy

${ displaystyle mathbf {y} = left [ log left ({ frac {x_ {1}} {1-x_ {1}}} right), dots, log left ({ frac {x_ {D}} {1-x_ {D}}} vpravo) vpravo] ^ { nahoru}}$

my máme

${ displaystyle f_ {X} ( mathbf {x}; { boldsymbol { mu}}, { boldsymbol { Sigma}}) = { frac {1} {| 2 pi { boldsymbol { Sigma }} | ^ { frac {1} {2}}}} , { frac {1} { prod limits _ {i = 1} ^ {D} left (x_ {i} (1-x_ {i}) right)}} , e ^ {- { frac {1} {2}} left { log left ({ frac { mathbf {x}} {1- mathbf { x}}} right) - { boldsymbol { mu}} right } ^ { top} { boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} left { log left ({ frac { mathbf {x}} {1- mathbf {x}}} vpravo) - { boldsymbol { mu}} vpravo }}}$

kde log a rozdělení v argumentu jsou brány elementově. Je to proto, že jakobiánská matice transformace je diagonální s prvky ${ displaystyle { frac {1} {x_ {i} (1-x_ {i})}}}$.

Použití ve statistické analýze

Logistické normální rozdělení je flexibilnější alternativou k Dirichletova distribuce v tom, že dokáže zachytit korelace mezi složkami pravděpodobnostních vektorů. Má také potenciál zjednodušit statistické analýzy údaje o složení umožněním odpovědi na otázky týkající se logaritmů složek datových vektorů. Jeden se často zajímá spíše o poměry než o absolutní hodnoty komponent.

Pravděpodobnost simplex je ohraničený prostor, který vytváří standardní techniky, které se obvykle používají pro vektory v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ méně smysluplné. Aitchison popsal problém rušivých negativních korelací při aplikaci těchto metod přímo na jednoduché vektory.^[7] Mapování kompozičních dat v ${ displaystyle { mathcal {S}} ^ {D}}$ inverzí aditivní logistické transformace poskytuje data se skutečnou hodnotou ${ displaystyle mathbb {R} ^ {D-1}}$. Na tuto reprezentaci dat lze použít standardní techniky. Tento přístup ospravedlňuje použití logistického normálního rozdělení, které lze tedy považovat za „Gaussian simplexu“.

Vztah s Dirichletovou distribucí

Logistická normální aproximace Dirichletova rozdělení

The Dirichlet a logistické normální rozdělení není nikdy přesně stejné pro jakýkoli výběr parametrů. Aitchison však popsal metodu aproximace Dirichlet s logistickým normálem takovým, že jejich Kullback – Leiblerova divergence (KL) je minimalizováno:

${ displaystyle K (p, q) = int _ {{ mathcal {S}} ^ {D}} p left ( mathbf {x} mid { boldsymbol { alpha}} right) log left ({ frac {p left ( mathbf {x} mid { boldsymbol { alpha}} right)} {q left ( mathbf {x} mid { boldsymbol { mu}}) , { boldsymbol { Sigma}} right)}} right) , d mathbf {x}}$

To je minimalizováno:

${ displaystyle { boldsymbol { mu}} ^ {*} = mathbf {E} _ {p} left [ log left ({ frac { mathbf {x} _ {- D}} {x_ {D}}} right) right] quad, quad { boldsymbol { Sigma}} ^ {*} = { textbf {Var}} _ {p} left [ log left ({ frac { mathbf {x} _ {- D}} {x_ {D}}} vpravo) vpravo]}$

Pomocí momentových vlastností Dirichletova rozdělení lze řešení zapsat z hlediska digamma ${ displaystyle psi}$ a trigamma ${ displaystyle psi '}$ funkce:

${ displaystyle mu _ {i} ^ {*} = psi levý ( alpha _ {i} pravý) - psi levý ( alpha _ {D} pravý) quad, quad i = 1, ldots, D-1}$

${ displaystyle Sigma _ {ii} ^ {*} = psi ' vlevo ( alpha _ {i} vpravo) + psi' vlevo ( alpha _ {D} vpravo) quad, quad i = 1, ldots, D-1}$

${ displaystyle Sigma _ {ij} ^ {*} = psi ' vlevo ( alpha _ {D} vpravo) quad, quad i neq j}$

Tato aproximace je zvláště přesná pro velké ${ displaystyle { boldsymbol { alpha}}}$. Ve skutečnosti se to dá ukázat pro ${ displaystyle alpha _ {i} rightarrow infty, i = 1, ldots, D}$, máme to ${ displaystyle p left ( mathbf {x} mid { boldsymbol { alpha}} right) rightarrow q left ( mathbf {x} mid { boldsymbol { mu}} ^ {*} , { boldsymbol { Sigma}} ^ {*} vpravo)}$.

Viz také

• Distribuce beta a Distribuce kumaraswamy, další distribuce dvou parametrů na ohraničeném intervalu s podobnými tvary

Další čtení

• Frederic, P. & Lad, F. (2008) Dva okamžiky logitnormální distribuce. Komunikace v simulaci a výpočtu statistik. 37: 1263-1269
• Mead, R. (1965). "Zobecněná distribuce logit-normální". Biometrie. 21 (3): 721–732. doi:10.2307/2528553. JSTOR  2528553.

externí odkazy

• balíček logitnorm pro R