Poissonovo binomické rozdělení - Poisson binomial distribution
Parametry | - pravděpodobnosti úspěchu pro každou z n pokusy | ||
---|---|---|---|
Podpěra, podpora | k ∈ { 0, …, n } | ||
PMF | |||
CDF | |||
Znamenat | |||
Rozptyl | |||
Šikmost | |||
Př. špičatost | |||
MGF | |||
CF |
v teorie pravděpodobnosti a statistika, Poissonovo binomické rozdělení je diskrétní rozdělení pravděpodobnosti součtu nezávislý Bernoulliho zkoušky které nemusí být nutně totožně distribuovány. Pojem je pojmenován po Siméon Denis Poisson.
Jinými slovy, je to rozdělení pravděpodobnosti z počtu úspěchů ve sbírce n nezávislý ano / ne experimenty s úspěchem pravděpodobnosti . Obyčejný binomická distribuce je speciální případ Poissonova binomického rozdělení, když jsou všechny pravděpodobnosti úspěchu stejné, to znamená .
Průměr a odchylka
Protože Poissonova binomická distribuovaná proměnná je součtem n nezávislé Bernoulliho distribuované proměnné, jeho průměr a rozptyl budou jednoduše součty průměru a rozptylu n Bernoulli distribuce:
Pro pevné hodnoty průměru () a velikost (n), rozptyl je maximální, když jsou všechny pravděpodobnosti úspěchu stejné a máme binomické rozdělení. Když je průměr fixní, je rozptyl ohraničen shora rozptylem Poissonovo rozdělení se stejným průměrem, kterého je dosaženo asymptoticky[Citace je zapotřebí ] tak jako n inklinuje k nekonečnu.
Pravděpodobnostní hromadná funkce
Pravděpodobnost, že k úspěšné pokusy z celkem n lze zapsat jako součet[1]
kde je sada všech podskupin k celá čísla, která lze vybrat z {1,2,3, ...,n}. Například pokud n = 3, tedy . je doplňkem , tj. .
bude obsahovat prvků, jejichž součet je v praxi nemožné vypočítat, pokud není počet pokusů n je malý (např n = 30, obsahuje přes 1020 elementy). Existují však i jiné, efektivnější způsoby výpočtu .
Dokud se žádná z pravděpodobností úspěchu nerovná jedné, lze vypočítat pravděpodobnost k úspěchy pomocí rekurzivního vzorce [2][3]
kde
Rekurzivní vzorec není numericky stabilní a měl by se mu vyhnout, pokud je větší než přibližně 20. Další možností je použití diskrétní Fourierova transformace.[4]
kde a .
Ještě další metody jsou popsány v [5].
Entropie
Pro entropii Poissonova binomického rozdělení neexistuje jednoduchý vzorec, ale entropie je výše omezena entropií binomického rozdělení se stejným číselným parametrem a stejným průměrem. Proto je entropie také omezena výše entropií Poissonova rozdělení se stejným průměrem.[6]
Shepp – Olkinův konkávní dohad, kvůli Lawrence Shepp a Ingram Olkin v roce 1981 uvádí, že entropie Poissonova binomického rozdělení je konkávní funkcí pravděpodobností úspěchu .[7] Tuto domněnku prokázali Erwan Hillion a Oliver Johnson v roce 2015.[8] Shepp-Olkinova domněnka monotónnosti, rovněž ze stejného článku z roku 1981, spočívá v tom, že entropie je monotónní , padám . Tuto domněnku v roce 2019 prokázali také Hillion a Johnson [9]
Černoff svázán
Pravděpodobnost, že se Poissonovo binomické rozdělení zvětší, lze omezit pomocí jeho funkce generování momentů následujícím způsobem (platí, když ):
kam jsme se vzali . To je podobné jako zadní hranice binomického rozdělení.
Viz také
Reference
- ^ Wang, Y. H. (1993). „O počtu úspěchů v nezávislých studiích“ (PDF). Statistica Sinica. 3 (2): 295–312.
- ^ Shah, B. K. (1994). Msgstr "O rozdělení součtu nezávislých celočíselných náhodných proměnných". Americký statistik. 27 (3): 123–124. JSTOR 2683639.
- ^ Chen, X. H .; A. P. Dempster; J. S. Liu (1994). „Vážené vzorkování konečné populace k maximalizaci entropie“ (PDF). Biometrika. 81 (3): 457. doi:10.1093 / biomet / 81.3.457.
- ^ Fernandez, M .; S. Williams (2010). "Vyjádření uzavřené formy pro funkci Poisson-Binomial Probability Density Function". Transakce IEEE na letectví a elektronických systémech. 46 (2): 803–817. Bibcode:2010ITAES..46..803F. doi:10.1109 / TAES.2010.5461658. S2CID 1456258.
- ^ Chen, S. X .; J. S. Liu (1997). "Statistické aplikace Poissonova-binomického a podmíněného Bernoulliho distribuce". Statistica Sinica. 7: 875–892.
- ^ Harremoës, P. (2001). „Binomické a Poissonovo rozdělení jako maximální rozdělení entropie“ (PDF). Transakce IEEE na teorii informací. 47 (5): 2039–2041. doi:10.1109/18.930936.
- ^ Shepp, Lawrence; Olkin, Ingram (1981). "Entropie součtu nezávislých Bernoulliho náhodných proměnných a multinomického rozdělení". In Gani, J .; Rohatgi, V.K. (eds.). Příspěvky k pravděpodobnosti: Sbírka článků věnovaných Eugenovi Lukacsovi. New York: Academic Press. 201–206. ISBN 0-12-274460-8. PAN 0618689.
- ^ Hillion, Erwan; Johnson, Oliver (03.03.2015). „Důkaz domněnky o konkávnosti Sheppovy-Olkinovy entropie“. Bernoulli. 23 (4B): 3638–3649. arXiv:1503.01570. doi:10,3150 / 16-BEJ860. S2CID 8358662.
- ^ Hillion, Erwan; Johnson, Oliver (09.11.2019). „Důkaz domněnky monotónnosti entropie Shepp-Olkinovy entropie“. Elektronický deník pravděpodobnosti. 24 (126): 1–14. doi:10.1214 / 19-EJP380.