Borelův funkční kalkul - Borel functional calculus

v funkční analýza, pobočka matematika, Borelův funkční kalkul je funkční kalkul (tj. zadání operátory z komutativní algebry k funkcím definovaným na jejich spektra ), který má obzvláště široký rozsah.^[1]^[2] Tak například pokud T je operátor, který používá funkci kvadratury s → s² na T poskytuje operátorovi T². Pomocí funkčního počtu pro větší třídy funkcí můžeme například přesně definovat „druhou odmocninu“ (záporného) Laplaciánský operátor $-Δ$ nebo exponenciální ${ displaystyle e ^ {it Delta}.}$

„Rozsah“ zde znamená druh funkce operátora což je povoleno. Borelův funkční počet je obecnější než spojitý funkční počet, a má jiné zaměření než holomorfní funkční počet.

Přesněji řečeno, Borelův funkční počet nám umožňuje libovolně použít Borelova funkce do a operátor s vlastním nastavením způsobem, který zobecňuje použití a polynomiální funkce.

Motivace

Li T je self-adjoint operátor na konečně-dimenzionální vnitřní produktový prostor H, pak H má ortonormální základ ${E 1, ..., E ℓ}$ skládající se z vlastní vektory z T, to je

{ displaystyle Te_ {k} = lambda _ {k} e_ {k}, qquad 1 leq k leq ell.}

Tedy pro každé kladné celé číslo n,

{ displaystyle T ^ {n} e_ {k} = lambda _ {k} ^ {n} e_ {k}.}

Pokud jen polynomy v T jsou považovány, pak jeden dorazí na holomorfní funkční počet. Jsou obecnější funkce T možný? Ano. Vzhledem k tomu, Borelova funkce h, lze definovat operátora h(T) uvedením jeho chování na základě:

{ displaystyle h (T) e_ {k} = h ( lambda _ {k}) e_ {k}.}

Obecně platí, že každý operátor s vlastním nastavením T je jednotně ekvivalentní operátorovi násobení; to znamená, že z mnoha důvodů T lze považovat za provozovatele

{ displaystyle [T psi] (x) = f (x) psi (x)}

jednající na L² některých změřte prostor. Doména T se skládá z těch funkcí, pro které je výše uvedený výraz L². V tomto případě lze definovat analogicky

{ displaystyle [h (T) psi] (x) = [h circ f] (x) psi (x).}

Z mnoha technických důvodů je předchozí formulace dost dobrá. Je však žádoucí formulovat funkční kalkul tak, aby bylo zřejmé, že nezávisí na konkrétním vyjádření T jako operátor násobení. To děláme v další části.

Omezený funkční počet

Formálně ohraničený Borelův funkční kalkul samostatně adjunktního operátoru T na Hilbertův prostor H je mapování definované na prostoru omezených Borelových funkcí s komplexními hodnotami F na skutečné linii,

{ displaystyle { begin {cases} pi _ {T}: L ^ { infty} ( mathbb {R}, mathbb {C}) to { mathcal {B}} ({ mathcal {H }}) f mapsto f (T) end {případy}}}

tak, aby platily následující podmínky

$π T$ je involuce -zachování a jednotu-zachování homomorfismu z kruhu komplexně oceněných omezených měřitelných funkcí R.
Pokud ξ je prvek H, pak

{ displaystyle nu _ { xi}: E mapsto langle pi _ {T} ( mathbf {1} _ {E}) xi, xi rangle}

je spočítatelné aditivní opatření na sady Borel R. Ve výše uvedeném vzorci 1_E označuje funkce indikátoru z E. Tato opatření ν_ξ se nazývají spektrální míry z T.

Li $η$ označuje mapování z → z na C, pak:

{ displaystyle pi _ {T} left ([ eta + i] ^ {- 1} right) = [T + i] ^ {- 1}.}

Teorém. Libovolný operátor s vlastním nastavením T má jedinečný Borelův funkční kalkul.

To definuje funkční počet pro ohraničený funkce aplikované na možná neomezený operátoři s vlastním nastavením. Pomocí omezeného funkčního počtu lze dokázat, že je součástí Stoneova věta o jednoparametrových unitárních skupinách:

Teorém. Li A je tedy operátor s vlastním adjunktem

{ displaystyle U_ {t} = e ^ {itA}, qquad t in mathbb {R}}

je 1-parametr silně spojitá unitární skupina, jejíž nekonečně malý generátor je IA.

Za aplikaci považujeme Schrödingerova rovnice, nebo ekvivalentně dynamika kvantově mechanického systému. v nerelativistické kvantová mechanika, Hamiltonian operátor H modely celkem energie pozorovatelný kvantově mechanického systému S. Jednotková skupina generovaná uživatelem iH odpovídá časovému vývoji S.

Můžeme také použít Borelův funkční počet k abstraktnímu řešení lineárního problémy s počáteční hodnotou například tepelná rovnice nebo Maxwellovy rovnice.

Existence funkčního počtu

Existence mapování s vlastnostmi funkčního počtu vyžaduje důkaz. Pro případ omezeného samostatného operátora T, existenci Borelova funkčního kalkulu lze ukázat elementárním způsobem následovně:

První přechod z polynomu do spojitý funkční počet pomocí Stone-Weierstrassova věta. Zde je zásadní fakt, že pro omezeného samostatného operátora T a polynom p,

{ displaystyle | p (T) | = sup _ { lambda v sigma (T)} | p ( lambda) |.}

Následně mapování

{ Displaystyle p mapsto p (T)}

je izometrie a hustě definovaný homomorfismus na kruhu polynomiálních funkcí. Rozšíření o kontinuitu definuje F(T) pro spojitou funkci F na spektru T. The Riesz-Markovova věta pak nám umožňuje přejít z integrace na spojité funkce do spektrální míry, a toto je Borelův funkční kalkul.

Alternativně lze spojitý počet získat pomocí Gelfandova transformace, v kontextu komutativních Banachových algeber. Rozšíření na měřitelné funkce je dosaženo použitím Riesz-Markova, jak je uvedeno výše. V této formulaci T může být normální operátor.

Daný operátor T, rozsah spojitého funkčního počtu h → h(T) je (abelian) C * -algebra C(T) generované T. Borelův funkční kalkul má větší rozsah, tedy uzavření C(T) v slabá topologie operátora, a (stále abelian) von Neumannova algebra.

Obecný funkční počet

Můžeme také definovat funkční počet pro ne nutně ohraničené Borelovy funkce h; výsledkem je operátor, který obecně není omezen. Použití násobení funkcí F model samoadjunkčního operátoru daný spektrální větou, toto je násobení složením h s F.

Teorém. Nechat T být samostatným operátorem na H, h funkce Borel se skutečnou hodnotou R. Existuje jedinečný operátor S takhle

{ displaystyle operatorname {dom} S = vlevo { xi v H: h v L _ { nu _ { xi}} ^ {2} ( mathbb {R}) vpravo }}

{ displaystyle langle S xi, xi rangle = int _ { mathbb {R}} h (t) d nu _ { xi} (t), quad { mbox {pro}} quad xi in operatorname {dom} S}

Operátor S předchozí věty je označena h(T).

Obecněji řečeno, Borelův funkční počet existuje také pro (ohraničené) normální operátory.

Řešení totožnosti

Nechat T být operátorem s vlastním adjunktem. Li E je Borel podmnožina R, a 1_E je funkce indikátoru z E, pak 1_E(T) je samoadjungovaná projekce na H. Poté mapování

{ displaystyle Omega: E mapsto mathbf {1} _ {E} (T)}

je míra projekce volal rozlišení identity pro operátora s vlastním adjointem T. Míra R vzhledem k Ω je operátor identity zapnutý H. Jinými slovy, operátor identity lze vyjádřit jako spektrální integrál ${ displaystyle textstyle {I = int 1 , d Omega}}$ . Někdy se termín „rozlišení identity“ také používá k popisu této reprezentace operátora identity jako spektrálního integrálu.

V případě diskrétního opatření (zejména když H je konečně-dimenzionální), ${ displaystyle textstyle {I = int 1 , d Omega}}$ lze psát jako

{ displaystyle I = součet _ {i} doleva | i doprava rangle doleva langle i doprava |}

v Diracově notaci, kde každý ${ displaystyle | i rangle}$ je normalizovaný vlastní vektor T. Sada ${ displaystyle {| i rangle }}$ je ortonormální základ H.

Ve fyzikální literatuře se při použití výše uvedeného jako heuristiky přechází k případu, kdy spektrální míra již není diskrétní a zapíše rozlišení identity jako

{ displaystyle I = int d | i rangle langle i |}

a hovoří o „kontinuálním základě“ nebo „kontinuu základních stavů“, ${ displaystyle {| i rangle }}$ Matematicky, pokud není dáno přísné zdůvodnění, je tento výraz čistě formální.

Reference

^ Kadison, Richard V .; Ringrose, John R. (1997). Základy teorie operátorových algeber: Svazek 1. Amer Mathematical Society. ISBN 0-8218-0819-2.
^ Reed, Michael; Simon, Barry (1981). Metody moderní matematické fyziky. Akademický tisk. ISBN 0-12-585050-6.

[1] Kadison, Richard V .; Ringrose, John R. (1997). Základy teorie operátorových algeber: Svazek 1. Amer Mathematical Society. ISBN 0-8218-0819-2.

[2] Reed, Michael; Simon, Barry (1981). Metody moderní matematické fyziky. Akademický tisk. ISBN 0-12-585050-6.

[1]

[2]

Funkční analýza (témat – glosář )
Prostory	Hilbertův prostor Banachův prostor Fréchetový prostor topologický vektorový prostor
Věty	Hahnova – Banachova věta věta o uzavřeném grafu jednotný princip omezenosti Kakutaniho věta o pevném bodě Kerin – Milmanova věta věta o min-max Věta Gelfand – Naimark Banach – Alaogluova věta
Operátoři	ohraničený operátor kompaktní operátor operátor adjoint nečleněný operátor Operátor Hilbert – Schmidt stopová třída neomezený operátor
Algebry	Banachova algebra C * -algebra spektrum C * -algebry operátorová algebra skupinová algebra lokálně kompaktní skupiny von Neumannova algebra
Otevřené problémy	invariantní podprostorový problém Mahlerova domněnka
Aplikace	Besovský prostor Hardy prostor spektrální teorie obyčejných diferenciálních rovnic tepelné jádro věta o indexu variační počet funkční kalkul integrální operátor Jonesův polynom topologická kvantová teorie pole nekomutativní geometrie Riemannova hypotéza
Pokročilá témata	lokálně konvexní prostor aproximační vlastnost vyvážená sada Schwartzův prostor slabá topologie sudový prostor Vzdálenost Banach – Mazur Teorie Tomita – Takesaki

Spektrální teorie a ^*-algebry
Základní pojmy	Involuce / * - algebra Banachova algebra B * -algebra C * -algebra Nekomutativní topologie Opatření oceněné projekcí Spektrum Spektrum C * -algebry Spektrální poloměr Prostor operátora
Hlavní výsledky	Gelfand – Mazurova věta Věta Gelfand – Naimark Gelfand zastoupení Polární rozklad Rozklad singulární hodnoty Spektrální věta Spektrální teorie normálních C * -algeber
Speciální prvky / operátoři	Isospectral Normální operátor Hermitian / Self-adjoint operátor Unitary operátor Jednotka
Spektrum	Kerin – Rutmanova věta Normální vlastní číslo Spektrum C * -algebry Spektrální poloměr Spektrální asymetrie Spektrální mezera
Rozklad spektra	(Kontinuální Směřovat Reziduální ) Přibližný bod Komprese Oddělený Spektrální úsečka
Spektrální věta	Borelův funkční kalkul Věta o min-max Opatření oceněné projekcí Projektor Riesz Pevný Hilbertův prostor Spektrální věta Spektrální teorie kompaktních operátorů Spektrální teorie normálních C * -algeber
Speciální algebry	Upravitelná Banachova algebra S Přibližná identita Banachova algebra funkcí Disková algebra Jednotná algebra
Konečně-dimenzionální	Alon – Boppana vázán Bauer – Fikeova věta Numerický rozsah Schur – Hornova věta
Zobecnění	Diracovo spektrum Základní spektrum Pseudospectrum Strukturovaný prostor (Hranice Shilova )
Smíšený	Abstraktní indexová skupina Banachova algebraická kohomologie Cohen-Hewittova faktorizační věta Rozšíření symetrických operátorů Omezující princip absorpce Neomezený operátor
Příklady	Wienerova algebra
Aplikace	Provozovatel téměř Mathieu Coronova věta Slyšení tvaru bubnu (Dirichletovo vlastní číslo ) Zahřejte jádro Kuzněcovův sledovací vzorec Lax pár Funkce proto-hodnota Ramanujan graf Rayleigh – Faber – Krahnova nerovnost Spektrální geometrie Spektrální metoda Spektrální teorie obyčejných diferenciálních rovnic Teorie Sturm – Liouville Super silná aproximace Operátor přenosu Teorie transformace Weylův zákon