Holtsmark distribuce - Holtsmark distribution

Holtsmark

Funkce hustoty pravděpodobnosti Symetrický α-stabilní distribuce s jednotkovým měřítkem; α= 1,5 (modrá čára) představuje distribuci značky Holtsmark
Funkce kumulativní distribuce
Parametry	C ∈ (0, ∞) — parametr měřítka μ ∈ (−∞, ∞) — parametr umístění
Podpěra, podpora	X ∈ R
PDF	vyjádřitelné z hlediska hypergeometrické funkce; viz text
Znamenat	μ
Medián	μ
Režim	μ
Rozptyl	nekonečný
Šikmost	nedefinováno
Př. špičatost	nedefinováno
MGF	nedefinováno
CF	${ displaystyle exp left [~ it mu ! - ! | ct | ^ {3/2} ~ right]}$

(Jednorozměrný) Holtsmark distribuce je spojité rozdělení pravděpodobnosti. Distribuce značky Holtsmark je zvláštním případem a stabilní distribuce s indexem stability nebo parametru tvaru ${ displaystyle alpha}$ rovná se 3/2 a parametr šikmosti ${ displaystyle beta}$ nula. Od té doby ${ displaystyle beta}$ rovná nule, distribuce je symetrická, a tedy příklad symetrické alfa stabilní distribuce. Distribuce značky Holtsmark je jedním z mála příkladů stabilní distribuce, pro kterou je uzavřený výraz výrazem funkce hustoty pravděpodobnosti je známo. Jeho funkce hustoty pravděpodobnosti však není vyjádřitelná z hlediska základní funkce; spíše je funkce hustoty pravděpodobnosti vyjádřena jako hypergeometrické funkce.

Distribuce Holtsmark má aplikace ve fyzice plazmatu a astrofyzice.^[1] V roce 1919 norský fyzik J. Holtsmark navrhl distribuci jako model pro kolísající pole v plazmě kvůli chaotický pohyb nabitých částic.^[2] Je také použitelný pro jiné typy Coulombových sil, zejména pro modelování gravitačních těles, a je proto důležitý v astrofyzice.^[3][4]

Charakteristická funkce

The charakteristická funkce symetrické stabilní distribuce je:

${ displaystyle varphi (t; mu, c) = exp left [~ it mu ! - ! | ct | ^ { alpha} ~ right],}$

kde ${ displaystyle alpha}$ je tvarový parametr nebo index stability, ${ displaystyle mu}$ je parametr umístění, a C je parametr měřítka.

Protože distribuce Holtsmark má ${ displaystyle alpha = 3/2,}$ jeho charakteristická funkce je:^[5]

${ displaystyle varphi (t; mu, c) = exp left [~ it mu ! - ! | ct | ^ {3/2} ~ right].}$

Protože distribuce Holtsmark je stabilní distribucí s α > 1, ${ displaystyle mu}$ představuje znamenat distribuce.^[6][7] Od té doby β = 0, ${ displaystyle mu}$ také představuje medián a režimu distribuce. A od té doby α < 2, rozptyl distribuce Holtsmark je nekonečný.^[6] Všechny vyšší momenty distribuce jsou také nekonečné.^[6] Stejně jako ostatní stabilní distribuce (jiné než normální distribuce), protože rozptyl je nekonečný, disperze v distribuci se odráží parametr měřítka, c. Alternativní přístup k popisu rozptylu distribuce je prostřednictvím zlomkových momentů.^[6]

Funkce hustoty pravděpodobnosti

Obecně platí, že funkce hustoty pravděpodobnosti, F(X), spojitého rozdělení pravděpodobnosti lze odvodit z jeho charakteristické funkce:

${ displaystyle f (x) = { frac {1} {2 pi}} int _ {- infty} ^ { infty} varphi (t) e ^ {- ixt} , dt.}$

Většina stabilních distribucí nemá pro své funkce hustoty pravděpodobnosti známý výraz uzavřené formy. Pouze normální, Cauchy a Lévyho distribuce znali uzavřené výrazy ve smyslu základní funkce.^[1] Distribuce Holtsmark je jedním ze dvou symetrických stabilních distribucí, které mají známý výraz uzavřené formy, pokud jde o hypergeometrické funkce.^[1] Když ${ displaystyle mu}$ je rovno 0 a parametr měřítka je roven 1, distribuce Holtsmark má funkci hustoty pravděpodobnosti:

${ displaystyle { begin {aligned} f (x; 0,1) & = {1 over pi} , Gamma left ({5 over 3} right) {_ {2} F_ {3 }} ! left ({5 nad 12}, {11 nad 12}; {1 nad 3}, {1 nad 2}, {5 nad 6}; - {4x ^ {6} nad 729} right) & {} quad {} - {x ^ {2} over 3 pi} , {_ {3} F_ {4}} ! left ({3 over 4 }, {1}, {5 nad 4}; {2 nad 3}, {5 nad 6}, {7 nad 6}, {4 nad 3}; - {4x ^ {6} nad 729} right) & {} quad {} + {7x ^ {4} over 81 pi} , Gamma left ({4 over 3} right) {_ {2} F_ { 3}} ! Left ({13 over 12}, {19 over 12}; {7 over 6}, {3 over 2}, {5 over 3}; - {4x ^ {6} přes 729} vpravo), end {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle { Gamma (x)}}$ je funkce gama a ${ displaystyle ; _ {m} F_ {n} ()}$ je hypergeometrická funkce.^[1] Jeden také má^[8]

${ displaystyle { begin {aligned} f (x; 0,1) & = { frac {- beta ^ {2}} {6 pi}} left [~ _ {2} F_ {2} vlevo (1, { frac {3} {2}}; { frac {4} {3}}, { frac {5} {3}}; - { frac {4i beta ^ {3}} {27}} right) + ~ _ {2} F_ {2} left (1, { frac {3} {2}}; { frac {4} {3}}, { frac {5} {3}}; { frac {4i beta ^ {3}} {27}} vpravo) vpravo] & + { frac {4} {3 krát 3 ^ {2/3}}} left [ mathrm {Bi} ' left (- { frac { beta ^ {2}} {3 krát 3 ^ {1/3}}} right) cos left ({ frac {2 beta ^ {3}} {27}} vpravo) + { frac { beta} {3 ^ {2/3}}} ~ mathrm {Bi} vlevo (- { frac { beta ^ { 2}} {3 krát 3 ^ {1/3}}} vpravo) sin vlevo ({ frac {2 beta ^ {3}} {27}} vpravo) vpravo], konec { zarovnaný}}}$

kde ${ displaystyle mathrm {Bi}}$ je vzdušná funkce druhého druhu a ${ displaystyle mathrm {Bi} '}$ jeho derivát. Argumenty ${ displaystyle _ {2} F_ {2}}$ funkce jsou čistě imaginární komplexní čísla, ale součet těchto dvou funkcí je skutečný. Pro ${ displaystyle x}$ pozitivní, funkce ${ displaystyle mathrm {Bi} (-x)}$ souvisí s Besselovými funkcemi zlomkového řádu ${ displaystyle J _ {- 1/3}}$ a ${ displaystyle J_ {1/3}}$ a jeho derivát na Besselovy funkce zlomkového řádu ${ displaystyle J _ {- 2/3}}$ a ${ displaystyle J_ {2/3}}$. Proto lze psát^[8]

${ displaystyle { begin {aligned} f (x; 0,1) & = { frac {4 beta ^ {2}} {27 { sqrt {3}}}} left { cos left ({ frac {2 beta ^ {3}} {27}} vpravo) doleva [J _ {- 2/3} doleva ({ frac {2 beta ^ {3}} {27}} vpravo) + J_ {2/3} vlevo ({ frac {2 beta ^ {3}} {27}} vpravo) vpravo] + sin vlevo ({ frac {2 beta ^ {3 }} {27}} right) left [J _ {- 1/3} left ({ frac {2 beta ^ {3}} {27}} right) -J_ {1/3} left ({ frac {2 beta ^ {3}} {27}} vpravo) vpravo] vpravo } & - { frac { beta ^ {2}} {6 pi}} vlevo [~ _ {2} F_ {2} left (1, { frac {3} {2}}; { frac {4} {3}}, { frac {5} {3}}; - { frac {4i beta ^ {3}} {27}} vpravo) + ~ _ {2} F_ {2} vlevo (1, { frac {3} {2}}; { frac {4} {3}}, { frac {5} {3}}; { frac {4i beta ^ {3}} {27}} right) right]. End {zarovnáno}}}$

Reference

• Hummer, D. G. (1986). "Racionální aproximace distribuce holtsmark, její kumulativní a derivační". Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer. 36: 1–5. Bibcode:1986JQSRT..36 ... 1H. doi:10.1016/0022-4073(86)90011-7.