Distribuce Marchenko – Pastur - Marchenko–Pastur distribution

Děj distribuce Marchenko-Pastur pro různé hodnoty lambda

V matematické teorii náhodné matice, Distribuce Marchenko – Pasturnebo Marchenko – Pasturovo právo, popisuje asymptotické chování singulární hodnoty velkých obdélníkových náhodné matice. Věta je pojmenována po ukrajinština matematici Vladimir Marchenko a Leonid Pastur který tento výsledek prokázal v roce 1967.

Li ${ displaystyle X}$ označuje a ${ displaystyle m krát n}$ náhodná matice, jejíž záznamy jsou nezávislé identicky distribuované náhodné proměnné se střední hodnotou 0 a rozptylem ${ displaystyle sigma ^ {2} < infty}$, nechť

${ displaystyle Y_ {n} = { frac {1} {n}} XX ^ {T}}$

a nechte ${ displaystyle lambda _ {1}, , lambda _ {2}, , tečky, , lambda _ {m}}$ být vlastní čísla z ${ displaystyle Y_ {n}}$ (zobrazeno jako náhodné proměnné ). Nakonec zvažte náhodné měřítko

${ displaystyle mu _ {m} (A) = { frac {1} {m}} # vlevo { lambda _ {j} v A vpravo }, quad A podmnožina mathbb {R}.}$

Teorém. Předpokládat, že ${ displaystyle m, , n , to , infty}$ takže poměr ${ Displaystyle m / n , to , lambda in (0, + infty)}$. Pak ${ displaystyle mu _ {m} , to , mu}$ (v slabá * topologie v rozdělení ), kde

${ displaystyle mu (A) = { begin {cases} (1 - { frac {1} { lambda}}) mathbf {1} _ {0 v A} + nu (A), & { text {if}} lambda> 1 nu (A), & { text {if}} 0 leq lambda leq 1, end {případy}}}$

a

${ displaystyle d nu (x) = { frac {1} {2 pi sigma ^ {2}}} { frac { sqrt {( lambda _ {+} - x) (x- lambda _ {-})}} { lambda x}} , mathbf {1} _ {x in [ lambda _ {-}, lambda _ {+}]} , dx}$

s

${ displaystyle lambda _ { pm} = sigma ^ {2} (1 pm { sqrt { lambda}}) ^ {2}.}$

Zákon Marchenko – Pastur také vzniká jako volný Poissonův zákon ve volné teorii pravděpodobnosti s mírou ${ displaystyle 1 / lambda}$ a velikost skoku ${ displaystyle sigma ^ {2}}$.

Některé transformace tohoto zákona

Cauchyova transformace (což je záporná hodnota z Stieltjesova transformace ), když ${ displaystyle sigma ^ {2} = 1}$, darováno

${ displaystyle G _ { mu} (z) = { frac {z + lambda -1 - { sqrt {(z- lambda -1) ^ {2} -4 lambda}}} {2 lambda z }}}$

To dává ${ displaystyle R}$- transformace:

${ displaystyle R _ { mu} (z) = { frac {1} {1- lambda z}}}$

Aplikace na korelační matice

Při aplikaci na korelační matice ${ displaystyle sigma ^ {2} = 1}$ a ${ displaystyle lambda = m / n}$ což vede k hranicím

${ displaystyle lambda _ { pm} = vlevo (1 pm { sqrt { frac {m} {n}}} vpravo) ^ {2}.}$

Proto se často předpokládá, že vlastní hodnoty korelačních matic nižší než ${ displaystyle lambda _ {+}}$ jsou náhodou a hodnoty vyšší než ${ displaystyle lambda _ {+}}$ jsou významné společné faktory. Například získání korelační matice celoroční řady (tj. 252 obchodních dnů) 10 výnosů akcií by se vykreslilo ${ displaystyle lambda _ {+} = vlevo (1 + { sqrt { frac {10} {252}}} vpravo) ^ {2} přibližně 1,43}$. Z 10 vlastních hodnot korelační matice by byly považovány za významné pouze hodnoty vyšší než 1,43.

Viz také

• Distribuce půlkruhu Wigner
• Distribuce Tracy – Widom

Reference

• Götze, F .; Tikhomirov, A. (2004). „Míra pravděpodobnosti konvergence k zákonu Marchenko – Pastur“. Bernoulli. 10 (3): 503–548. doi:10,3150 / bj / 1089206408.
• Marchenko, V. A .; Pastur, L. A. (1967). „Распределение собственных значений в некоторых ансамблях случайных матриц“ [Distribuce vlastních čísel pro některé sady náhodných matic]. Rohož. Sb. N.S. (v Rusku). 72 (114:4): 507–536. doi:10.1070 / SM1967v001n04ABEH001994. Odkaz na bezplatný přístup k ruské verzi pdf
• Nica, A .; Speicher, R. (2006). Přednášky o kombinatorice teorie volné pravděpodobnosti. Cambridge Univ. Lis. str.204, 368. ISBN  0-521-85852-6. Odkaz na bezplatné stažení Další web s bezplatným přístupem