Von Misesova distribuce - von Mises distribution - Wikipedia

von Mises

Funkce hustoty pravděpodobnosti Podpora je vybrána jako [-π,π] s μ = 0
Funkce kumulativní distribuce Podpora je vybrána jako [-π,π] s μ = 0
Parametry	${ displaystyle mu}$ nemovitý ${ displaystyle kappa> 0}$
Podpěra, podpora	${ displaystyle x in}$ libovolný interval délky 2π
PDF	${ displaystyle { frac {e ^ { kappa cos (x- mu)}} {2 pi I_ {0} ( kappa)}}}$
CDF	(není analytické - viz text)
Znamenat	${ displaystyle mu}$
Medián	${ displaystyle mu}$
Režim	${ displaystyle mu}$
Rozptyl	${ displaystyle { textrm {var}} (x) = 1-I_ {1} ( kappa) / I_ {0} ( kappa)}$ (oběžník)
Entropie	${ displaystyle - kappa { frac {I_ {1} ( kappa)} {I_ {0} ( kappa)}} + ln [2 pi I_ {0} ( kappa)]}$ (rozdíl)
CF	${ displaystyle { frac {I_ {| t |} ( kappa)} {I_ {0} ( kappa)}} e ^ {it mu}}$

v teorie pravděpodobnosti a směrová statistika, von Mises rozdělení (také známý jako kruhové normální rozdělení nebo Tichonov rozdělení) je spojitý rozdělení pravděpodobnosti na kruh. Je to blízké přiblížení k zabalená normální distribuce, což je kruhový analog normální distribuce. Volně rozptylující úhel ${ displaystyle theta}$ na kruhu je zabalená normálně distribuovaná náhodná proměnná s rozbaleno rozptyl, který v čase lineárně roste. Naproti tomu von Misesovo rozdělení je stacionární rozdělení procesu driftu a difúze na kruhu v harmonickém potenciálu, tj. S preferovanou orientací.^[1] Distribuce von Mises je maximální distribuce entropie pro kruhová data, když skutečná a imaginární část první kruhový moment jsou specifikovány. Distribuce von Mises je zvláštním případem von Mises – Fisherova distribuce na N-dimenzionální koule.

Definice

Funkce hustoty pravděpodobnosti von Mises pro úhel X darováno:^[2]

${ displaystyle f (x mid mu, kappa) = { frac {e ^ { kappa cos (x- mu)}} {2 pi I_ {0} ( kappa)}}}$

kde Já₀(${ displaystyle kappa}$) je upravený Besselova funkce objednávky 0.

Parametry μ a 1 /${ displaystyle kappa}$ jsou analogické k μ a σ² (průměr a rozptyl) v normálním rozdělení:

• μ je míra umístění (distribuce je seskupena kolem μ) a
• ${ displaystyle kappa}$ je míra koncentrace (vzájemná míra disperze, takže 1 /${ displaystyle kappa}$ je analogický k σ²).
  • Li ${ displaystyle kappa}$ je nula, rozdělení je rovnoměrné a pro malé ${ displaystyle kappa}$, je to blízko k uniformě.
  • Li ${ displaystyle kappa}$ je velká, distribuce se velmi koncentruje kolem úhlu μ s ${ displaystyle kappa}$ je měřítkem koncentrace. Ve skutečnosti jako ${ displaystyle kappa}$ zvyšuje, distribuce se blíží normálnímu rozdělení v X se střední μ a rozptylem 1 /${ displaystyle kappa}$.

Hustotu pravděpodobnosti lze vyjádřit jako řadu Besselových funkcí^[3]

${ displaystyle f (x mid mu, kappa) = { frac {1} {2 pi}} vlevo (1 + { frac {2} {I_ {0} ( kappa)}} součet _ {j = 1} ^ { infty} I_ {j} ( kappa) cos [j (x- mu)] right)}$

kde Já_j(X) je upravený Besselova funkce řádu j.

Funkce kumulativní distribuce není analytická a lze ji nejlépe zjistit integrací výše uvedené řady. Neurčitý integrál hustoty pravděpodobnosti je:

${ displaystyle Phi (x mid mu, kappa) = int f (t mid mu, kappa) , dt = { frac {1} {2 pi}} vlevo (x + { frac {2} {I_ {0} ( kappa)}} sum _ {j = 1} ^ { infty} I_ {j} ( kappa) { frac { sin [j (x- mu )]} {j}} vpravo).}$

Funkce kumulativního rozdělení bude funkcí spodní hranice integrace X₀:

${ displaystyle F (x mid mu, kappa) = Phi (x mid mu, kappa) - Phi (x_ {0} mid mu, kappa). ,}$

Okamžiky

Momenty von Misesova rozdělení se obvykle počítají jako momenty komplexního exponenciálu z = E^ix spíše než úhel X sám. Tyto momenty jsou označovány jako kruhové momenty. Odchylka vypočtená z těchto momentů se označuje jako kruhový rozptyl. Jedinou výjimkou je, že „průměr“ se obvykle vztahuje k argument komplexního průměru.

The nth raw moment of z je:

${ displaystyle m_ {n} = langle z ^ {n} rangle = int _ { Gamma} z ^ {n} , f (x | mu, kappa) , dx}$

${ displaystyle = { frac {I_ {| n |} ( kappa)} {I_ {0} ( kappa)}} e ^ {v mu}}$

kde integrál je přes jakýkoli interval ${ displaystyle Gamma}$ o délce 2π. Při výpočtu výše uvedeného integrálu použijeme skutečnost, že zⁿ = cos (nx) + i sin (nx) a identita funkce Bessel:^[4]

${ displaystyle I_ {n} ( kappa) = { frac {1} { pi}} int _ {0} ^ { pi} e ^ { kappa cos (x)} cos (nx) , dx.}$

Střední hodnota komplexního exponenciálu z je pak jen

${ displaystyle m_ {1} = { frac {I_ {1} ( kappa)} {I_ {0} ( kappa)}} e ^ {i mu}}$

a kruhový průměr hodnota úhlu X se pak považuje za argument μ. Toto je očekávaný nebo preferovaný směr úhlových náhodných proměnných. Rozptyl znebo kruhový rozptyl X je:

${ displaystyle { textrm {var}} (x) = 1-E [ cos (x- mu)] = 1 - { frac {I_ {1} ( kappa)} {I_ {0} ( kappa)}}.}$

Omezující chování

Když ${ displaystyle kappa}$ je velký, distribuce se podobá a normální distribuce. Přesněji řečeno, pro velká pozitivní reálná čísla ${ displaystyle kappa}$,

${ displaystyle f (x mid mu, kappa) cca { frac {1} { sigma { sqrt {2 pi}}}} exp left [{ dfrac {- (x- mu) ^ {2}} {2 sigma ^ {2}}} vpravo]}$

kde σ² = 1/${ displaystyle kappa}$ a rozdíl mezi levou a pravou stranou aproximace konverguje jednotně na nulu jako ${ displaystyle kappa}$ jde do nekonečna. Také kdy ${ displaystyle kappa}$ je malá, funkce hustoty pravděpodobnosti se podobá a rovnoměrné rozdělení:

${ displaystyle lim _ { kappa rightarrow 0} f (x mid mu, kappa) = mathrm {U} (x)}$

kde interval pro rovnoměrné rozdělení ${ displaystyle mathrm {U} (x)}$ je zvolený interval délky ${ displaystyle 2 pi}$ (tj. ${ displaystyle mathrm {U} (x) = 1 / (2 pi)}$ když ${ displaystyle x}$ je v intervalu a ${ displaystyle mathrm {U} (x) = 0}$ když ${ displaystyle x}$ není v intervalu).

Odhad parametrů

Série N Měření ${ displaystyle z_ {n} = e ^ {i theta _ {n}}}$ čerpané z von Misesovy distribuce lze použít k odhadu určitých parametrů distribuce. (Borradaile, 2003) Průměr série ${ displaystyle { overline {z}}}$ je definován jako

${ displaystyle { overline {z}} = { frac {1} {N}} součet _ {n = 1} ^ {N} z_ {n}}$

a jeho očekávaná hodnota bude jen první okamžik:

${ displaystyle langle { overline {z}} rangle = { frac {I_ {1} ( kappa)} {I_ {0} ( kappa)}} e ^ {i mu}.}$

Jinými slovy, ${ displaystyle { overline {z}}}$ je nezaujatý odhad prvního okamžiku. Pokud předpokládáme, že průměr ${ displaystyle mu}$ leží v intervalu ${ displaystyle [- pi, pi]}$, pak Arg${ displaystyle ({ overline {z}})}$ bude (zkreslený) odhad průměru ${ displaystyle mu}$.

Prohlížení ${ displaystyle z_ {n}}$ jako sada vektorů v komplexní rovině je ${ displaystyle { bar {R}} ^ {2}}$ statistika je čtverec délky průměrovaného vektoru:

${ displaystyle { bar {R}} ^ {2} = { overline {z}} , { overline {z ^ {*}}} = left ({ frac {1} {N}} součet _ {n = 1} ^ {N} cos theta _ {n} doprava) ^ {2} + doleva ({ frac {1} {N}} sum _ {n = 1} ^ { N} sin theta _ {n} vpravo) ^ {2}}$

a jeho očekávaná hodnota je:

${ displaystyle langle { bar {R}} ^ {2} rangle = { frac {1} {N}} + { frac {N-1} {N}} , { frac {I_ { 1} ( kappa) ^ {2}} {I_ {0} ( kappa) ^ {2}}}.}$

Jinými slovy statistika

${ displaystyle R_ {e} ^ {2} = { frac {N} {N-1}} left ({ bar {R}} ^ {2} - { frac {1} {N}} že jo)}$

bude nezaujatý odhadce ${ displaystyle { frac {I_ {1} ( kappa) ^ {2}} {I_ {0} ( kappa) ^ {2}}} ,}$ a řešení rovnice ${ displaystyle R_ {e} = { frac {I_ {1} ( kappa)} {I_ {0} ( kappa)}} ,}$ pro ${ displaystyle kappa ,}$ přinese (zaujatý) odhad z ${ displaystyle kappa ,}$. Analogicky k lineárnímu případu řešení rovnice ${ displaystyle { bar {R}} = { frac {I_ {1} ( kappa)} {I_ {0} ( kappa)}} ,}$ přinese odhad maximální věrohodnosti z ${ displaystyle kappa ,}$ a oba budou stejné v limitu velkého N. Pro přibližné řešení do ${ displaystyle kappa ,}$ odkazují na von Mises – Fisherova distribuce.

Rozdělení střední hodnoty

The distribuce střední hodnoty vzorku ${ displaystyle { overline {z}} = { bar {R}} e ^ {i { overline { theta}}}}$ pro distribuci von Mises je dána vztahem:^[5]

${ displaystyle P ({ bar {R}}, { bar { theta}}) , d { bar {R}} , d { bar { theta}} = { frac {1} {(2 pi I_ {0} ( kappa)) ^ {N}}} int _ { Gamma} prod _ {n = 1} ^ {N} left (e ^ { kappa cos ( theta _ {n} - mu)} d theta _ {n} right) = { frac {e ^ { kappa N { bar {R}} cos ({ bar { theta}} - mu)}} {I_ {0} ( kappa) ^ {N}}} vlevo ({ frac {1} {(2 pi) ^ {N}}} int _ { Gamma} prod _ {n = 1} ^ {N} d theta _ {n} vpravo)}$

kde N je počet měření a ${ displaystyle Gamma ,}$ sestává z intervalů ${ displaystyle 2 pi}$ v proměnných, s výhradou omezení ${ displaystyle { bar {R}}}$ a ${ displaystyle { bar { theta}}}$ jsou konstantní, kde ${ displaystyle { bar {R}}}$ je střední výslednice:

${ displaystyle { bar {R}} ^ {2} = | { bar {z}} | ^ {2} = left ({ frac {1} {N}} sum _ {n = 1} ^ {N} cos ( theta _ {n}) vpravo) ^ {2} + vlevo ({ frac {1} {N}} sum _ {n = 1} ^ {N} sin ( theta _ {n}) right) ^ {2}}$

a ${ displaystyle { overline { theta}}}$ je střední úhel:

${ displaystyle { overline { theta}} = mathrm {Arg} ({ overline {z}}). ,}$

Všimněte si, že výraz produktu v závorkách je pouze distribucí průměru pro a rovnoměrné kruhové rozdělení.^[5]

To znamená, že rozdělení středního směru ${ displaystyle mu}$ distribuce von Mises ${ displaystyle VM ( mu, kappa)}$ je distribuce von Mises ${ displaystyle VM ( mu, { bar {R}} N kappa)}$, nebo ekvivalentně ${ displaystyle VM ( mu, R kappa)}$.

Entropie

Podle definice je informační entropie distribuce von Mises je^[2]

${ Displaystyle H = - int _ { Gamma} f ( theta; mu, kappa) , ln (f ( theta; mu, kappa)) , d theta ,}$

kde ${ displaystyle Gamma}$ je jakýkoli interval délky ${ displaystyle 2 pi}$. Logaritmus hustoty distribuce Von Mises je přímočarý:

${ displaystyle ln (f ( theta; mu, kappa)) = - ln (2 pi I_ {0} ( kappa)) + kappa cos ( theta) ,}$

Charakteristické zobrazení funkce pro distribuci Von Mises je:

${ displaystyle f ( theta; mu, kappa) = { frac {1} {2 pi}} vlevo (1 + 2 součet _ {n = 1} ^ { infty} phi _ { n} cos (n theta) vpravo)}$

kde ${ displaystyle phi _ {n} = I_ {| n |} ( kappa) / I_ {0} ( kappa)}$. Nahrazením těchto výrazů do entropického integrálu, výměnou pořadí integrace a součtu a použitím ortogonality kosinů lze entropii zapsat:

${ displaystyle H = ln (2 pi I_ {0} ( kappa)) - kappa phi _ {1} = ln (2 pi I_ {0} ( kappa)) - kappa { frac {I_ {1} ( kappa)} {I_ {0} ( kappa)}}}$

Pro ${ displaystyle kappa = 0}$, distribuce von Mises se stává rovnoměrné kruhové rozdělení a entropie dosáhne své maximální hodnoty ${ displaystyle ln (2 pi)}$.

Všimněte si, že distribuce Von Mises maximalizuje entropii když skutečná a imaginární část první kruhový moment jsou specifikovány^[6] nebo ekvivalentně kruhový průměr a kruhový rozptyl jsou specifikovány.

Viz také

• Bivariát von Misesova distribuce
• Směrová statistika
• Von Mises – Fisherova distribuce
• Kent distribuce

Reference

Další čtení

Tento Další čtení část může obsahovat nevhodné nebo nadměrné návrhy, které se nemusí řídit pokyny Wikipedie pokyny. Ujistěte se, že pouze a přiměřený počet z vyrovnaný, aktuální, spolehlivýa jsou uvedeny pozoruhodné návrhy pro další čtení; odstranění méně relevantních nebo nadbytečných publikací pomocí stejný úhel pohledu kde se to hodí. Zvažte použití vhodných textů jako vložené zdroje nebo vytvoření samostatný bibliografický článek. (Červen 2014) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

• Abramowitz, M. a Stegun, I. A. (ed.), Příručka matematických funkcí „National Bureau of Standards, 1964; dotisk Dover Publications, 1965. ISBN  0-486-61272-4
• „Algorithm AS 86: The von Mises Distribution Function“, Mardia, Applied Statistics, 24, 1975 (str. 268–272).
• „Algoritmus 518, Neúplná Besselova funkce I0: The von Mises Distribution “, Hill, ACM Transactions on Mathematical Software, sv. 3, č. 3, září 1977, strany 279–284.
• Best, D. a Fisher, N. (1979). Efektivní simulace distribuce von Mises. Aplikovaná statistika, 28, 152–157.
• Evans, M., Hastings, N., a Peacock, B., "von Mises Distribution". Ch. 41 in Statistical Distribuce, 3. vyd. New York. Wiley 2000.
• Fisher, Nicholas I., Statistická analýza kruhových dat. New York. Cambridge 1993.
• "Statistické rozdělení", 2. místo. Edition, Evans, Hastings a Peacock, John Wiley and Sons, 1993, (kapitola 39). ISBN  0-471-55951-2
• Borradaile, Graham (2003). Statistika údajů o Zemi. Springer. ISBN  978-3-540-43603-4. Citováno 31.prosince 2009.