Lineární časově invariantní systém - Linear time-invariant system

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Dubna 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v systémová analýza, mimo jiné studijní obory, a lineární časově invariantní systém (nebo "systém LTI") je systém, který produkuje výstupní signál z jakéhokoli vstupního signálu podléhajícího omezením linearita a časová invariance; tyto pojmy jsou stručně definovány níže. Tyto vlastnosti se vztahují (přesně nebo přibližně) na mnoho důležitých fyzických systémů, v takovém případě jde o odezvu y (t) systému na libovolný vstup x (t) lze najít přímo pomocí konvoluce: y (t) = x (t) * h (t) kde h (t) se nazývá systém impulsní odezva a * představuje konvoluci (nesmí být zaměňována s násobením, jak je často používáno symbolem v počítačové jazyky ). A co víc, existují systematické metody řešení jakéhokoli takového systému (určování h (t)), zatímco systémy, které nesplňují obě vlastnosti, jsou analyticky obvykle obtížnější (nebo nemožné). Dobrým příkladem systému LTI je jakýkoli elektrický obvod skládající se z rezistorů, kondenzátorů, induktorů a lineárních zesilovačů.^[1]

Lineární časově invariantní systémová teorie se také používá v zpracování obrazu, kde systémy mají prostorové rozměry namísto nebo navíc k časové dimenzi. Tyto systémy lze označit jako lineární překlad-invariantní dát terminologii nejobecnější dosah. V případě generických diskrétní čas (tj., odebrány vzorky ) systémy, lineární posun-invariantní je odpovídající výraz. Teorie systému LTI je oblast aplikovaná matematika který má přímé aplikace v analýza a návrh elektrického obvodu, zpracování signálu a design filtru, teorie řízení, strojírenství, zpracování obrazu, design měřící nástroje mnoha druhů, NMR spektroskopie^{[Citace je zapotřebí ]}, a mnoho dalších technických oblastí, kde systémy obyčejné diferenciální rovnice představit se.

Přehled

Definující vlastnosti jakéhokoli systému LTI jsou linearita a časová invariance.

• Linearita znamená, že vztah mezi vstupem a výstupem je výsledkem lineární diferenciální rovnice, tj. diferenciální rovnice využívající pouze lineární operátory. Lineární systém, který mapuje vstup x (t) na výstup y (t) bude mapovat a zmenšen vstup sekera (t) na výstup ay (t) stejným měřítkem A. A princip superpozice platí pro lineární systém: pokud systém mapuje vstupy X₁(t) a X₂(t) na výstupy y₁(t) a y₂(t) respektive pak bude mapovat X₃(t) = x₁(t) + x₂(t) na výstup y₃(t) kde y₃(t) = r₁(t) + r₂(t).

• Časová invariance znamená, že ať už použijeme vstup do systému hned, nebo T sekund od této chvíle bude výstup identický s výjimkou časového zpoždění T sekundy. To znamená, že pokud je výstup kvůli vstupu ${ displaystyle x (t)}$ je ${ displaystyle y (t)}$, pak výstup kvůli vstupu ${ displaystyle x (t-T)}$ je ${ displaystyle y (t-T)}$. Proto je systém časově neměnný, protože výstup nezávisí na konkrétním čase, kdy je vstup použit.

Základním výsledkem teorie systému LTI je, že jakýkoli systém LTI lze zcela charakterizovat jedinou funkcí zvanou systém impulsní odezva. Výstup systému y (t) je prostě konvoluce vstupu do systému x (t) s impulzní odezvou systému h (t). Tomu se říká a nepřetržitý čas Systém. Podobně je systém s diskrétním lineárním časově invariantním (nebo obecněji „shift-invariantním“) systémem definován jako systém pracující v diskrétní čas: y_i = x_i * h_i kde y, x a h jsou sekvence a konvoluce v diskrétním čase používá spíše diskrétní součet než integrál.

Vztah mezi časová doména a frekvenční doména

Systémy LTI lze charakterizovat také v frekvenční doména systémem přenosová funkce, který je Laplaceova transformace impulzní odezvy systému (nebo Z transformace v případě diskrétních systémů). V důsledku vlastností těchto transformací je výstup systému ve frekvenční doméně produktem přenosové funkce a transformace vstupu. Jinými slovy, konvoluce v časové doméně je ekvivalentní násobení ve frekvenční doméně.

Pro všechny systémy LTI platí vlastní funkce a základní funkce transformací jsou komplex exponenciály. To znamená, že pokud je vstupem do systému složitý tvar vlny ${ displaystyle A_ {s} e ^ {st}}$ pro nějakou složitou amplitudu ${ displaystyle A_ {s}}$ a komplexní frekvence ${ displaystyle s}$, výstup bude nějaká složitá konstantní doba vstupu, řekněme ${ displaystyle B_ {s} e ^ {st}}$ pro nějakou novou komplexní amplitudu ${ displaystyle B_ {s}}$. Poměr ${ displaystyle B_ {s} / A_ {s}}$ je přenosová funkce při frekvenci ${ displaystyle s}$.

Od té doby sinusoidy jsou součtem komplexních exponenciálů s komplexně sdruženými frekvencemi, pokud je vstup do systému sinusoid, pak bude výstupem systému také sinusoid, možná s jinou amplituda a jiný fáze, ale po dosažení ustáleného stavu vždy se stejnou frekvencí. Systémy LTI nemohou vyrábět frekvenční komponenty, které nejsou na vstupu.

Teorie systémů LTI dobře popisuje mnoho důležitých systémů. Většina systémů LTI je považována za „snadno“ analyzovatelnou, přinejmenším ve srovnání s časově proměnlivými a / nebo nelineární případ. Jakýkoli systém, který lze modelovat jako lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty je systém LTI. Příklady takových systémů jsou elektrické obvody tvořeny rezistory, induktory, a kondenzátory (Obvody RLC). Ideální systémy tlumiče pružiny a hmoty jsou také systémy LTI a jsou matematicky ekvivalentní obvodům RLC.

Většina konceptů systému LTI je podobná mezi případy spojitého času a diskrétního času (invariantní s lineárním posunem). Při zpracování obrazu je časová proměnná nahrazena dvěma prostorovými proměnnými a pojem časové invariance je nahrazen dvojrozměrnou invariancí posunu. Při analýze filtrovat banky a MIMO systémů, je často užitečné zvážit vektory signálů.

Lineární systém, který není časově neměnný, lze vyřešit pomocí jiných přístupů, jako je Zelená funkce metoda. Stejná metoda musí být použita, pokud počáteční podmínky problému nejsou null.^{[Citace je zapotřebí ]}

Systémy kontinuálního času

Impulzní reakce a konvoluce

Chování lineárního systému s kontinuálním časem a časově invariantním se vstupním signálem X(t) a výstupní signál y(t) je popsán konvolučním integrálem:^[2]

${ Displaystyle y (t) = (x * h) (t) ,}$	${ displaystyle {} quad { stackrel { mathrm {def}} {=}} int limity _ {- infty} ^ { infty} x (t- tau) cdot h ( tau) , mathrm {d} tau}$
	${ displaystyle {} quad = int limity _ {- infty} ^ { infty} x ( tau) cdot h (t- tau) , mathrm {d} tau,}$ (použitím komutativita )

kde ${ displaystyle textstyle h (t)}$ je reakce systému na impuls:  ${ displaystyle textstyle x ( tau) = delta ( tau).}$   ${ displaystyle textstyle y (t)}$ je tedy úměrný váženému průměru vstupní funkce ${ displaystyle textstyle x ( tau).}$ Funkce vážení je ${ displaystyle textstyle h (- tau),}$ jednoduše posunut o částku ${ displaystyle textstyle t.}$ Tak jako ${ displaystyle textstyle t}$ změny, funkce vážení zdůrazňuje různé části vstupní funkce. Když ${ displaystyle textstyle h ( tau)}$ je nula pro všechny záporné ${ displaystyle textstyle tau,}$  ${ displaystyle textstyle y (t)}$ záleží pouze na hodnotách ${ displaystyle textstyle x}$ před časem ${ displaystyle textstyle t,}$ a systém se říká, že je kauzální.

Abyste pochopili, proč konvoluce produkuje výstup systému LTI, nechte notaci ${ displaystyle textstyle {x (u- tau); u }}$ představují funkci ${ displaystyle textstyle x (u- tau)}$ s proměnnou ${ displaystyle textstyle u}$ a konstantní ${ displaystyle textstyle tau.}$ A nechte kratší notaci ${ displaystyle textstyle {x } ,}$ zastupovat ${ displaystyle textstyle {x (u); u }.}$ Pak systém spojitého času transformuje vstupní funkci, ${ displaystyle textstyle {x },}$ do výstupní funkce, ${ displaystyle textstyle {y }}$. Obecně platí, že každá hodnota výstupu může záviset na každé hodnotě vstupu. Tento koncept představuje:

${ displaystyle y (t) { stackrel { text {def}} {=}} O_ {t} {x },}$

kde ${ displaystyle textstyle O_ {t}}$ je transformační operátor pro čas ${ displaystyle textstyle t}$. V typickém systému ${ displaystyle textstyle y (t)}$ nejvíce závisí na hodnotách ${ displaystyle textstyle x}$ to se stalo blízko času ${ displaystyle textstyle t.}$ Pokud se samotná transformace nezmění s ${ displaystyle textstyle t,}$ výstupní funkce je konstantní a systém je nezajímavý.

U lineárního systému ${ displaystyle textstyle O}$ musí uspokojit Rovnice 1 :

${ displaystyle O_ {t} vlevo { int limity _ {- infty} ^ { infty} c _ { tau} x _ { tau} (u) , mathrm {d} tau; u right } = int limits _ {- infty} ^ { infty} c _ { tau} underbrace {y _ { tau} (t)} _ {O_ {t} {x_ { tau} }} , mathrm {d} tau. ,}$

(Rovnice 2)

A požadavek časové invariance je:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} O_ {t} {x (u- tau); u } & { stackrel { quad} {=}} y (t- tau) & { stackrel { text {def}} {=}} O_ {t- tau} {x }. , end {zarovnáno}}}$

(Rovnice 3)

V této notaci můžeme napsat impulsní odezva tak jako${ displaystyle textstyle h (t) { stackrel { text {def}} {=}} O_ {t} { delta (u); u }.}$

Podobně:

${ displaystyle h (t- tau) ,}$	${ displaystyle {} { stackrel { text {def}} {=}} O_ {t- tau} { delta (u); u }}$
	${ displaystyle {} = O_ {t} { delta (u- tau); u }. ,}$ (použitím Rovnice 3)

Dosazením tohoto výsledku do konvolučního integrálu:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} (x * h) (t) & = int limity _ {- infty} ^ { infty} x ( tau) cdot h (t- tau) , mathrm {d} tau [4pt] & = int limits _ {- infty} ^ { infty} x ( tau) cdot O_ {t} { delta (u- tau) ; u } , mathrm {d} tau, , end {zarovnáno}}}$

který má podobu pravé strany Rovnice 2 pro případ ${ displaystyle textstyle c _ { tau} = x ( tau)}$ a ${ displaystyle textstyle x _ { tau} (u) = delta (u- tau).}$
Rovnice 2 pak umožňuje toto pokračování:

${ displaystyle { begin {aligned} (x * h) (t) & = O_ {t} left { int limits _ {- infty} ^ { infty} x ( tau) cdot delta (u- tau) , mathrm {d} tau; u right } & = O_ {t} left {x (u); u right } & { stackrel { text {def}} {=}} y (t). , end {zarovnáno}}}$

Stručně řečeno, vstupní funkce, ${ displaystyle textstyle {x },}$ může být reprezentováno kontinuem časově posunutých impulsních funkcí, kombinovaných "lineárně", jak je znázorněno na Rovnice 1. Vlastnost linearity systému umožňuje, aby reakce systému byla reprezentována odpovídajícím kontinuem impulsu odpovědi, kombinované stejným způsobem. Vlastnost časová invariance umožňuje, aby tato kombinace byla reprezentována konvolučním integrálem.

Výše uvedené matematické operace mají jednoduchou grafickou simulaci.^[3]

Exponenciály jako vlastní funkce

An vlastní funkce je funkce, pro kterou je výstupem operátoru zmenšená verze stejné funkce. To znamená,

${ displaystyle { mathcal {H}} f = lambda f,}$

kde F je vlastní funkce a ${ displaystyle lambda}$ je vlastní číslo konstanta.

The exponenciální funkce ${ displaystyle Ae ^ {st}}$, kde ${ displaystyle A, s in mathbb {C}}$, jsou vlastní funkce a lineární, časově neměnný operátor. Tento koncept ilustruje jednoduchý důkaz. Předpokládejme, že vstup je ${ displaystyle x (t) = Ae ^ {st}}$. Výstup systému s impulzní odezvou ${ displaystyle h (t)}$ je tedy

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} h (t- tau) Ae ^ {s tau} , operatorname {d} tau}$

které komutativní vlastností konvoluce, je ekvivalentní s

${ displaystyle { begin {zarovnáno} overbrace { int _ {- infty} ^ { infty} h ( tau) , Ae ^ {s (t- tau)} , operatorname {d} tau} ^ {{ mathcal {H}} f} & = int _ {- infty} ^ { infty} h ( tau) , Ae ^ {st} e ^ {- s tau} , operatorname {d} tau & = Ae ^ {st} int _ {- infty} ^ { infty} h ( tau) , e ^ {- s tau} , operatorname { d} tau & = overbrace { underbrace {Ae ^ {st}} _ { text {Input}}} ^ {f} overbrace { underbrace {H (s)} _ { text {skalární }}} ^ { lambda}, end {zarovnáno}}}$

kde skalární

${ displaystyle H (s) { stackrel { text {def}} {=}} int _ {- infty} ^ { infty} h (t) e ^ {- st} , operatorname {d} t}$

je závislá pouze na parametru s.

Reakcí systému je tedy zmenšená verze vstupu. Zejména pro všechny ${ displaystyle A, s in mathbb {C}}$, systémový výstup je produktem vstupu ${ displaystyle Ae ^ {st}}$ a konstanta ${ displaystyle H (s)}$. Proto, ${ displaystyle Ae ^ {st}}$ je vlastní funkce systému LTI a odpovídající vlastní číslo je ${ displaystyle H (s)}$.

Přímý důkaz

Je také možné přímo odvodit složité exponenciály jako vlastní funkce systémů LTI.

Pojďme ${ displaystyle v (t) = e ^ {i omega t}}$ nějaké složité exponenciální a ${ displaystyle v_ {a} (t) = e ^ {i omega (t + a)}}$ jeho časově posunutá verze.

${ displaystyle H [v_ {a}] (t) = e ^ {i omega a} H [v] (t)}$ linearitou vzhledem ke konstantě ${ displaystyle e ^ {i omega a}}$ .

${ displaystyle H [v_ {a}] (t) = H [v] (t + a)}$ časovou neměnností ${ displaystyle H}$ .

Tak ${ displaystyle H [v] (t + a) = e ^ {i omega a} H [v] (t)}$. Nastavení ${ displaystyle t = 0}$ a přejmenování dostaneme:

${ displaystyle H [v] ( tau) = e ^ {i omega tau} H [v] (0)}$

tj. že komplexní exponenciál ${ displaystyle e ^ {i omega tau}}$ jako vstup dá komplexní exponenciál stejné frekvence jako výstup.

Fourierova a Laplaceova transformace

Vlastnost vlastních funkcí exponenciálů je velmi užitečná jak pro analýzu, tak pro nahlédnutí do LTI systémů. Jednostranný Laplaceova transformace

${ displaystyle H (s) { stackrel { text {def}} {=}} { mathcal {L}} {h (t) } { stackrel { text {def}} { =}} int _ {0} ^ { infty} h (t) e ^ {- st} , operatorname {d} t}$

je přesně způsob, jak získat vlastní čísla z impulzní odezvy. Zvláště zajímavé jsou čisté sinusoidy (tj. Exponenciální funkce formy ${ displaystyle e ^ {j omega t}}$ kde ${ displaystyle omega in mathbb {R}}$ a ${ displaystyle j { stackrel { text {def}} {=}} { sqrt {-1}}}$). The Fourierova transformace ${ displaystyle H (j omega) = { mathcal {F}} {h (t) }}$ dává vlastní čísla pro čisté komplexní sinusoidy. Oba ${ displaystyle H (s)}$ a ${ displaystyle H (j omega)}$ se nazývají funkce systému, odezva systémunebo přenosová funkce.

Laplaceova transformace se obvykle používá v kontextu jednostranných signálů, tj. Signálů, které jsou nulové pro všechny hodnoty t menší než nějaká hodnota. Obvykle je tento „počáteční čas“ z důvodu pohodlí a bez ztráty obecnosti nastaven na nulu, přičemž integrál transformace je převzat z nuly do nekonečna (výše uvedená transformace se spodní mezí integrace záporného nekonečna je formálně známá jako bilaterální Laplaceova transformace ).

Fourierova transformace se používá k analýze systémů, které zpracovávají signály nekonečného rozsahu, jako jsou například modulované sinusoidy, i když ji nelze přímo použít na vstupní a výstupní signály, které nejsou čtvercový integrovatelný. Laplaceova transformace ve skutečnosti funguje přímo pro tyto signály, pokud jsou před začátkem nulové, i když nejsou čtvercové integrovatelné, pro stabilní systémy. Fourierova transformace se často aplikuje na spektra nekonečných signálů přes Věta Wiener – Khinchin i když Fourierovy transformace signálů neexistují.

Kvůli konvoluční vlastnosti obou těchto transformací může být konvoluce, která dává výstup systému, transformována na násobení v transformační doméně, dané signály, pro které transformace existují

${ displaystyle y (t) = (h * x) (t) { stackrel { text {def}} {=}} int _ {- infty} ^ { infty} h (t- tau) x ( tau) , operatorname {d} tau { stackrel { text {def}} {=}} { mathcal {L}} ^ {- 1} {H (s) X (y) }$

Lze přímo použít systémovou odezvu k určení, jak je s konkrétní Laplaceovou transformací zacházeno s konkrétní frekvenční komponentou systémem. Pokud vyhodnotíme odezvu systému (Laplaceova transformace impulzní odezvy) na komplexní frekvenci s = jω, kde ω = 2πf, získáme |H(s) | což je zisk systému pro frekvenci F. Relativní fázový posun mezi výstupem a vstupem pro tuto frekvenční složku je rovněž dán vztahem arg (H (s)).

Příklady

• Jednoduchým příkladem operátora LTI je derivát.
  • ${ displaystyle { frac { operatorname {d}} { operatorname {d} t}} vlevo (c_ {1} x_ {1} (t) + c_ {2} x_ {2} (t) vpravo ) = c_ {1} x '_ {1} (t) + c_ {2} x' _ {2} (t)}$ (tj. je lineární)
  • ${ displaystyle { frac { operatorname {d}} { operatorname {d} t}} x (t- tau) = x '(t- tau)}$ (tj. je časově neměnný)

Když se vezme Laplaceova transformace derivace, transformuje se na jednoduché násobení Laplaceovou proměnnou s.

${ displaystyle { mathcal {L}} vlevo {{ frac { operatorname {d}} { operatorname {d} t}} x (t) right } = sX (s)}$

To, že derivace má tak jednoduchou Laplaceovu transformaci, částečně vysvětluje užitečnost transformace.

• Dalším jednoduchým operátorem LTI je operátor průměrování

${ displaystyle { mathcal {A}} vlevo {x (t) vpravo } { stackrel { text {def}} {=}} int _ {ta} ^ {t + a} x ( lambda) , operatorname {d} lambda.}$

Linearitou integrace

${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {A}} {c_ {1} x_ {1} (t) + c_ {2} x_ {2} (t) } & = int _ {ta } ^ {t + a} (c_ {1} x_ {1} ( lambda) + c_ {2} x_ {2} ( lambda)) , operatorname {d} lambda & = c_ {1 } int _ {ta} ^ {t + a} x_ {1} ( lambda) , operatorname {d} lambda + c_ {2} int _ {ta} ^ {t + a} x_ {2 } ( lambda) , operatorname {d} lambda & = c_ {1} { mathcal {A}} {x_ {1} (t) } + c_ {2} { mathcal {A }} {x_ {2} (t) }, end {zarovnáno}}}$

je lineární. Navíc, protože

${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {A}} left {x (t- tau) right } & = int _ {ta} ^ {t + a} x ( lambda - tau) , operatorname {d} lambda & = int _ {(t- tau) -a} ^ {(t- tau) + a} x ( xi) , operatorname { d} xi & = { mathcal {A}} {x } (t- tau), end {zarovnáno}}}$

je časově neměnný. Ve skutečnosti, ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ lze napsat jako konvoluci s funkce vagónu ${ displaystyle Pi (t)}$. To znamená,

${ displaystyle { mathcal {A}} vlevo {x (t) vpravo } = int _ {- infty} ^ { infty} Pi vlevo ({ frac { lambda -t} {2a}} vpravo) x ( lambda) , operatorname {d} lambda,}$

kde je funkce vagónu

${ displaystyle Pi (t) { stackrel { text {def}} {=}} { začátek {případů} 1 & { text {if}} | t | <{ frac {1} {2 }}, 0 & { text {if}} | t |> { frac {1} {2}}. End {cases}}}$

Důležité vlastnosti systému

Mezi nejdůležitější vlastnosti systému patří kauzalita a stabilita. Kauzalita je nutností pro fyzický systém, jehož nezávislou proměnnou je čas, avšak toto omezení není přítomno v jiných případech, jako je zpracování obrazu.

Kauzalita

Systém je příčinný, pokud výstup závisí pouze na současných a minulých, nikoli však budoucích vstupech. Nutnou a dostatečnou podmínkou kauzality je

${ Displaystyle h (t) = 0 quad forall t <0,}$

kde ${ displaystyle h (t)}$ je impulzní odezva. Obecně není možné určit příčinnou souvislost z Oboustranná Laplaceova transformace. Při práci v časové doméně se však obvykle používá jednostranná Laplaceova transformace což vyžaduje kauzalitu.

Stabilita

Systém je ohraničený vstup, ohraničený výstup stabilní (BIBO stabilní), pokud je pro každý ohraničený vstup výstup konečný. Matematicky, pokud každý vstup vyhovuje

${ displaystyle | x (t) | _ { infty} < infty}$

vede k uspokojivému výstupu

${ displaystyle | y (t) | _ { infty} < infty}$

(to je konečný maximální absolutní hodnota z ${ displaystyle x (t)}$ znamená konečnou maximální absolutní hodnotu ${ displaystyle y (t)}$), pak je systém stabilní. Nutnou a dostatečnou podmínkou je, že ${ displaystyle h (t)}$je impulzní odezva L¹ (má konečný L¹ norma):

${ displaystyle | h (t) | _ {1} = int _ {- infty} ^ { infty} | h (t) | , operatorname {d} t < infty.}$

Ve frekvenční doméně oblast konvergence musí obsahovat imaginární osu ${ displaystyle s = j omega}$.

Jako příklad ideální dolní propust s impulzní odezvou rovnou a funkce sinc není stabilní BIBO, protože funkce sinc nemá konečnou L¹ norma. U některých omezených vstupů je tedy výstup ideálního nízkoprůchodového filtru neomezený. Zejména pokud je vstup nulový pro ${ displaystyle t <0 ,}$ a rovná se sinusoidy na mezní frekvence pro ${ displaystyle t> 0 ,}$, pak bude výstup neomezený pro všechny časy kromě přechodů nulou.^{[pochybný – diskutovat]}

Systémy diskrétního času

Téměř vše v systémech s nepřetržitým časem má protějšek v systémech s diskrétním časem.

Systémy diskrétního času ze systémů spojitého času

V mnoha kontextech je systém diskrétního času (DT) skutečně součástí většího systému spojitého času (CT). Například digitální záznamový systém přijímá analogový zvuk, digitalizuje jej, případně zpracovává digitální signály a přehrává analogový zvuk, který mohou lidé poslouchat.

V praktických systémech jsou získané signály DT obvykle jednotně vzorkovanými verzemi signálů CT. Li ${ displaystyle x (t)}$ je CT signál, pak vzorkovací obvod použitý před analogově-digitální převodník jej transformuje na signál DT:

${ displaystyle x_ {n} { stackrel { text {def}} {=}} x (nT) qquad forall , n in mathbb {Z},}$

kde T je období vzorkování. Před vzorkováním je vstupní signál běžně veden přes tzv Nyquistův filtr který odstraňuje frekvence nad „skládací frekvencí“ 1 / (2T); to zaručuje, že ve filtrovaném signálu nebudou ztraceny žádné informace. Bez filtrování jakékoli frekvenční složky výše frekvence skládání (nebo Nyquistova frekvence ) je aliasovaný na jinou frekvenci (tedy zkreslení původního signálu), protože signál DT může podporovat pouze frekvenční složky nižší než skládací frekvence.

Impulzní reakce a konvoluce

Nechat ${ displaystyle {x [m-k]; m }}$ představují sekvenci ${ displaystyle {x [m-k]; { text {pro všechny celočíselné hodnoty}} m }.}$

A nechte kratší notaci ${ displaystyle {x } ,}$ zastupovat ${ displaystyle {x [m]; m }.}$

Diskrétní systém transformuje vstupní sekvenci, ${ displaystyle {x }}$ do výstupní sekvence, ${ displaystyle {y }.}$ Obecně platí, že každý prvek výstupu může záviset na každém prvku vstupu. Zastupování operátora transformace ${ displaystyle O}$, můžeme psát:

${ displaystyle y [n] { stackrel { text {def}} {=}} O_ {n} {x }.}$

Všimněte si, že pokud se samotná transformace nezmění s n, výstupní sekvence je konstantní a systém je nezajímavý. (Tedy dolní index, n.) V typickém systému y [n] nejvíce závisí na prvcích X jejichž indexy jsou blízké n.

Pro zvláštní případ Funkce Kronecker delta, ${ displaystyle x [m] = delta [m],}$ výstupní sekvence je impulsní odezva:

${ displaystyle h [n] { stackrel { text {def}} {=}} O_ {n} { delta [m]; m }. ,}$

U lineárního systému ${ displaystyle O}$ musí uspokojit:

${ displaystyle O_ {n} left { sum _ {k = - infty} ^ { infty} c_ {k} cdot x_ {k} [m]; m right } = sum _ {k = - infty} ^ { infty} c_ {k} cdot O_ {n} {x_ {k} }. ,}$

(Rovnice 4)

A požadavek časové invariance je:

${ displaystyle { begin {aligned} O_ {n} {x [mk]; m } & { stackrel { quad} {=}} y [nk] & { stackrel { text {def}} {=}} O_ {nk} {x }. , end {zarovnáno}}}$

(Rovnice 5)

V takovém systému je impulzní odezva, ${ displaystyle {h }, ,}$ zcela charakterizuje systém. Tj. Pro libovolnou vstupní sekvenci lze výstupní sekvenci vypočítat z hlediska vstupu a impulzní odezvy. Chcete-li zjistit, jak se to dělá, zvažte identitu:

${ displaystyle x [m] equiv suma _ {k = - infty} ^ { infty} x [k] cdot delta [m-k], ,}$

který vyjadřuje ${ displaystyle {x }}$ ve smyslu součtu vážených delta funkcí.

Proto:

${ displaystyle { begin {aligned} y [n] = O_ {n} {x } & = O_ {n} left { sum _ {k = - infty} ^ { infty} x [ k] cdot delta [mk]; m right } & = sum _ {k = - infty} ^ { infty} x [k] cdot O_ {n} { delta [ mk]; m }, , end {zarovnáno}}}$

kde jsme se dovolali Rovnice 4 pro případ ${ displaystyle c_ {k} = x [k] ,}$ a ${ displaystyle x_ {k} [m] = delta [m-k]. ,}$

A kvůli Rovnice 5, můžeme napsat:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} O_ {n} { delta [mk]; m } & { stackrel { quad} {=}} O_ {nk} { delta [m] ; m } & { stackrel { text {def}} {=}} h [nk]. , end {zarovnáno}}}$

Proto:

${ displaystyle y [n] ,}$	${ displaystyle = součet _ {k = - infty} ^ { infty} x [k] cdot h [n-k] ,}$
	${ displaystyle = součet _ {k = - infty} ^ { infty} x [n-k] cdot h [k],}$       (komutativita )

což je známý vzorec diskrétní konvoluce. Operátor ${ displaystyle O_ {n}}$ lze proto interpretovat jako úměrný váženému průměru funkce x [k]Funkce vážení je h [-k], jednoduše posunut o částku n. Tak jako n změny, funkce vážení zdůrazňuje různé části vstupní funkce. Ekvivalentně reakce systému na impuls při n = 0 je „časově“ obrácená kopie funkce neposunutého vážení. Když h [k] je nula pro všechny záporné k, systém se říká, že je kauzální.

Exponenciály jako vlastní funkce

An vlastní funkce je funkce, pro kterou je výstup operátoru stejná funkce, škálovaná nějakou konstantou. V symbolech,

${ displaystyle { mathcal {H}} f = lambda f}$,

kde F je vlastní funkce a ${ displaystyle lambda}$ je vlastní číslo konstanta.

The exponenciální funkce ${ displaystyle z ^ {n} = e ^ {sTn}}$, kde ${ displaystyle n in mathbb {Z}}$, jsou vlastní funkce a lineární, časově neměnný operátor. ${ displaystyle T in mathbb {R}}$ je interval vzorkování a ${ displaystyle z = e ^ {sT}, z, s in mathbb {C}}$. Tento koncept ilustruje jednoduchý důkaz.

Předpokládejme, že vstup je ${ displaystyle x [n] = , ! z ^ {n}}$. Výstup systému s impulzní odezvou ${ displaystyle h [n]}$ je tedy

${ displaystyle sum _ {m = - infty} ^ { infty} h [n-m] , z ^ {m}}$

což je ekvivalentní následující komutativní vlastností konvoluce

${ displaystyle sum _ {m = - infty} ^ { infty} h [m] , z ^ {(nm)} = z ^ {n} sum _ {m = - infty} ^ { infty} h [m] , z ^ {- m} = z ^ {n} H (z)}$

kde

${ displaystyle H (z) { stackrel { text {def}} {=}} součet _ {m = - infty} ^ { infty} h [m] z ^ {- m}}$

je závislá pouze na parametru z.

Tak ${ displaystyle z ^ {n}}$ je vlastní funkce systému LTI, protože odezva systému je stejná jako doba vstupu konstanty ${ displaystyle H (z)}$.

Z a Fourierovy transformace v diskrétním čase

Vlastnost vlastních funkcí exponenciálů je velmi užitečná jak pro analýzu, tak pro nahlédnutí do LTI systémů. The Z transformace

${ displaystyle H (z) = { mathcal {Z}} {h [n] } = součet _ {n = - infty} ^ { infty} h [n] z ^ {- n}}$

je přesně způsob, jak získat vlastní čísla z impulzní odezvy^{[je zapotřebí objasnění ]}. Zvláště zajímavé jsou čisté sinusoidy, tj. Exponenciály formy ${ displaystyle e ^ {j omega n}}$, kde ${ displaystyle omega in mathbb {R}}$. Mohou být také zapsány jako ${ displaystyle z ^ {n}}$ s ${ displaystyle z = e ^ {j omega}}$^{[je zapotřebí objasnění ]}. The diskrétní Fourierova transformace (DTFT) ${ displaystyle H (e ^ {j omega}) = { mathcal {F}} {h [n] }}$ dává vlastní čísla čistých sinusoid^{[je zapotřebí objasnění ]}. Oba ${ displaystyle H (z)}$ a ${ displaystyle H (e ^ {j omega})}$ se nazývají funkce systému, odezva systémunebo přenosová funkce '.

Stejně jako jednostranná Laplaceova transformace se transformace Z obvykle používá v kontextu jednostranných signálů, tj. Signálů, které jsou nulové pro t <0. Diskrétní Fourierova transformace Fourierova řada lze použít pro analýzu periodických signálů.

Kvůli konvoluční vlastnosti obou těchto transformací lze konvoluci, která dává výstup systému, transformovat na multiplikaci v transformační doméně. To znamená,

${ displaystyle y [n] = (h * x) [n] = součet _ {m = - infty} ^ { infty} h [nm] x [m] = { mathcal {Z}} ^ { -1} {H (z) X (z) }.}$

Stejně jako u funkce přenosu Laplaceovy transformace v analýze systému s nepřetržitým časem, transformace Z usnadňuje analýzu systémů a získání přehledu o jejich chování.

Příklady

• Jednoduchým příkladem operátora LTI je operátor zpoždění ${ displaystyle D {x [n] } { stackrel { text {def}} {=}} x [n-1]}$.
  • ${ displaystyle D left (c_ {1} cdot x_ {1} [n] + c_ {2} cdot x_ {2} [n] right) = c_ {1} cdot x_ {1} [n -1] + c_ {2} cdot x_ {2} [n-1] = c_ {1} cdot Dx_ {1} [n] + c_ {2} cdot Dx_ {2} [n]}$ (tj. je lineární)
  • ${ displaystyle D {x [n-m] } = x [n-m-1] = x [(n-1) -m] = D {x } [n-m] ,}$ (tj. je časově neměnný)

Z transformace operátoru zpoždění je jednoduché vynásobení z⁻¹. To znamená,

${ displaystyle { mathcal {Z}} vlevo {Dx [n] vpravo } = z ^ {- 1} X (z).}$

• Dalším jednoduchým operátorem LTI je operátor průměrování

${ displaystyle { mathcal {A}} vlevo {x [n] vpravo } { stackrel { text {def}} {=}} součet _ {k = na} ^ {n + a} x [k].}$

Kvůli linearitě součtů

${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {A}} left {c_ {1} x_ {1} [n] + c_ {2} x_ {2} [n] right } & = součet _ {k = na} ^ {n + a} left (c_ {1} x_ {1} [k] + c_ {2} x_ {2} [k] right) & = c_ {1} sum _ {k = na} ^ {n + a} x_ {1} [k] + c_ {2} sum _ {k = na} ^ {n + a} x_ {2} [k] & = c_ {1} { mathcal {A}} left {x_ {1} [n] right } + c_ {2} { mathcal {A}} left {x_ {2} [n] right }, end {aligned}}}$

a tak je to lineární. Protože,

${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {A}} left {x [nm] right } & = sum _ {k = na} ^ {n + a} x [km] & = sum _ {k '= (nm) -a} ^ {(nm) + a} x [k'] & = { mathcal {A}} left {x right } [nm ], end {zarovnáno}}}$

je také časově neměnný.

Důležité vlastnosti systému

Charakteristiky vstupu a výstupu systému LTI v diskrétním čase jsou zcela popsány jeho impulsní odezvou ${ displaystyle h [n]}$.Dva z nejdůležitějších vlastností systému jsou kauzalita a stabilita. Nekauzální (v čase) systémy lze definovat a analyzovat, jak je uvedeno výše, ale nelze je realizovat v reálném čase. Nestabilní systémy lze také analyzovat a sestavit, ale jsou užitečné pouze jako součást většího systému, jehož celková přenosová funkce je stabilní.

Kauzalita

Systém LTI v diskrétním čase je příčinný, pokud aktuální hodnota výstupu závisí pouze na aktuální hodnotě a minulých hodnotách vstupu.,^[4] Nutnou a dostatečnou podmínkou kauzality je

${ displaystyle h [n] = 0 celkem n <0,}$

kde ${ displaystyle h [n]}$ je impulzní odezva. Obecně není možné určit kauzalitu z transformace Z, protože inverzní transformace není jedinečná^{[pochybný – diskutovat]}. Když oblast konvergence je specifikováno, pak lze určit kauzalitu.

Stabilita

Systém je ohraničený vstup, ohraničený výstup stabilní (BIBO stabilní), pokud je pro každý ohraničený vstup výstup konečný. Matematicky, pokud

${ displaystyle | x [n] | _ { infty} < infty}$

to naznačuje

${ displaystyle | y [n] | _ { infty} < infty}$

(to znamená, že pokud omezený vstup znamená omezený výstup, v tom smyslu, že maximální absolutní hodnoty z ${ displaystyle x [n]}$ a ${ displaystyle y [n]}$ jsou konečné), pak je systém stabilní. Nutnou a dostatečnou podmínkou je, že ${ displaystyle h [n]}$, impulzní odezva, uspokojuje

${ displaystyle | h [n] | _ {1} { stackrel { text {def}} {=}} součet _ {n = - infty} ^ { infty} | h [n ] | < infty.}$

Ve frekvenční doméně oblast konvergence musí obsahovat jednotkový kruh (tj místo uspokojující ${ displaystyle | z | = 1}$ pro komplex z).

Poznámky

Viz také

• Oběžná matice
• Frekvenční odezva
• Impulzní reakce
• Analýza systému
• Zelená funkce
• Graf toku signálu

Reference

• Phillips, C.l., Parr, J.M., & Riskin, E.A (2007). Signály, systémy a transformace. Prentice Hall. ISBN  978-0-13-041207-2.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
• Hespanha, J.P. (2009). Teorie lineárního systému. Princetonský univerzitní tisk. ISBN  978-0-691-14021-6.
• Crutchfield, Steve (12. října 2010), „Radost z konvoluce“, Univerzita Johna Hopkinse, vyvoláno 21. listopadu 2010
• Vaidyanathan, P. P .; Chen, T. (květen 1995). „Role anticauzálních inverzí v bankách s více filtry - Část I: základy teorie systému“ (PDF). IEEE Trans. Proces signálu. 43 (6): 1090. Bibcode:1995ITSP ... 43.1090V. doi:10.1109/78.382395.

Další čtení

externí odkazy

• ECE 209: Recenze obvodů jako systémů LTI - Krátký základ pro matematickou analýzu (elektrických) systémů LTI.
• ECE 209: Zdroje fázového posuvu - Poskytuje intuitivní vysvětlení zdroje fázového posunu ve dvou běžných elektrických systémech LTI.
• JHU 520.214 Signály a systémy - poznámky k kurzu. Zapouzdřený kurz teorie systémů LTI. Adekvátní pro samoučení.
• Příklad systému LTI: RC dolní propust. Amplituda a fázová odezva.