Distribuce Cantor - Cantor distribution - Wikipedia

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Distribuce Cantor“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Ledna 2017) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Cantor

Funkce kumulativní distribuce
Parametry	žádný
Podpěra, podpora	Cantor set
PMF	žádný
CDF	Funkce Cantor
Znamenat	1/2
Medián	kdekoli v [1/3, 2/3]
Režim	n / a
Rozptyl	1/8
Šikmost	0
Př. špičatost	−8/5
MGF	${ displaystyle e ^ {t / 2} prod _ {k = 1} ^ { infty} cosh left ({ frac {t} {3 ^ {k}}} right)}$
CF	${ displaystyle e ^ {it / 2} prod _ {k = 1} ^ { infty} cos left ({ frac {t} {3 ^ {k}}} right)}$

The Distribuce Cantor je rozdělení pravděpodobnosti jehož kumulativní distribuční funkce je Funkce Cantor.

Tato distribuce nemá ani funkce hustoty pravděpodobnosti ani a funkce pravděpodobnostní hmotnosti, protože i když jeho kumulativní distribuční funkce je a spojitá funkce, distribuce není absolutně kontinuální s ohledem na Lebesgueovo opatření, ani nemá žádné bodové masy. Nejde tedy o diskrétní ani absolutně spojité rozdělení pravděpodobnosti, ani o jejich směs. Spíše je to příklad a singulární distribuce.

Jeho kumulativní distribuční funkce je spojitá všude, ale vodorovná téměř všude, takže se někdy označuje jako Ďáblovo schodiště, ačkoli tento výraz má obecnější význam.

Charakterizace

The Podpěra, podpora distribuce Cantor je Cantor set, sám průsečík (počítatelně nekonečně mnoho) množin:

${ displaystyle { begin {aligned} C_ {0} = {} & [0,1] [8pt] C_ {1} = {} & [0,1 / 3] pohár [2 / 3,1 ] [8pt] C_ {2} = {} & [0,1 / 9] pohár [2 / 9,1 / 3] pohár [2 / 3,7 / 9] pohár [8/9, 1] [8pt] C_ {3} = {} & [0,1 / 27] pohár [2 / 27,1 / 9] pohár [2 / 9,7 / 27] pohár [8/27 , 1/3] pohár [4 body] {} a [2 / 3,19 / 27] pohár [20 / 27,7 / 9] pohár [8 / 9,25 / 27] pohár [26 / 27,1] [8 bodů] C_ {4} = {} & [0,1 / 81] pohár [2 / 81,1 / 27] pohár [2 / 27,7 / 81] pohár [ 8 / 81,1 / 9] pohár [2 / 9,19 / 81] pohár [20 / 81,7 / 27] pohár [4 body] & [8 / 27,25 / 81] pohár [ 26 / 81,1 / 3] pohár [2 / 3,55 / 81] pohár [56 / 81,19 / 27] pohár [20 / 27,61 / 81] pohár [4 body] & [ 62 / 81,21 / 27] pohár [8 / 9,73 / 81] pohár [74 / 81,25 / 27] pohár [26 / 27,79 / 81] pohár [80 / 81,1] [8pt] C_ {5} = {} & cdots end {aligned}}}$

Distribuce Cantor je jedinečné rozdělení pravděpodobnosti pro kteroukoli C_t (t ∈ {0, 1, 2, 3, ...}), pravděpodobnost konkrétního intervalu v C_t obsahující náhodnou proměnnou distribuovanou Cantorem je shodně 2^−t na každém z 2^t intervaly.

Okamžiky

Podle symetrie je snadné vidět, že pro a náhodná proměnná X mít tuto distribuci, její očekávaná hodnota E(X) = 1/2, a to všechny liché centrální momenty X jsou 0.

The zákon totální odchylky lze použít k vyhledání rozptyl var (X), jak následuje. Pro výše uvedenou sadu C₁, nechť Y = 0 pokud X ∈ [0,1 / 3] a 1, pokud X ∈ [2 / 3,1]. Pak:

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {var} (X) & = operatorname {E} ( operatorname {var} (X mid Y)) + operatorname {var} ( operatorname {E} ( X mid Y)) & = { frac {1} {9}} operatorname {var} (X) + operatorname {var} left {{ begin {matrix} 1/6 & { mbox {s pravděpodobností}} 1/2 5/6 & { mbox {s pravděpodobností}} 1/2 end {matrix}} right } & = { frac {1} {9}} operatorname {var} (X) + { frac {1} {9}} end {zarovnáno}}}$

Z toho dostaneme:

${ displaystyle operatorname {var} (X) = { frac {1} {8}}.}$

Uzavřený výraz pro jakoukoli sudou centrální moment lze najít nejprve získáním sudého kumulanty^[1]

${ displaystyle kappa _ {2n} = { frac {2 ^ {2n-1} (2 ^ {2n} -1) B_ {2n}} {n , (3 ^ {2n} -1)}} , , !}$

kde B_2n je 2nth Bernoulliho číslo, a pak vyjadřující momenty jako funkce kumulantů.

Reference

Další čtení

• Hewitt, E .; Stromberg, K. (1965). Reálná a abstraktní analýza. Berlín-Heidelberg-New York: Springer-Verlag. To, stejně jako u jiných standardních textů, má funkci Cantor a její jednostranné deriváty.
• Hu, Tian-You; Lau, Ka Sing (2002). "Fourierova asymptotika Cantorova typu měří v nekonečnu". Proc. A.M.S.. 130 (9). 2711–2717. Toto je modernější než ostatní texty v tomto referenčním seznamu.
• Knill, O. (2006). Teorie pravděpodobnosti a stochastické procesy. Indie: Overseas Press.
• Mattilla, P. (1995). Geometrie množin v euklidovských prostorech. San Francisco: Cambridge University Press. To má pokročilejší materiál na fraktály.