Prvek identity - Identity element - Wikipedia
v matematika, an prvek identitynebo neutrální prvek, je speciální typ prvku a soubor s ohledem na a binární operace na této sadě, což při kombinaci s ní ponechá jakýkoli prvek sady beze změny.[1][2][3] Tento koncept se používá v algebraické struktury jako skupiny a prsteny. Termín prvek identity se často zkracuje na identita (jako v případě aditivní identity a multiplikativní identity),[4] když neexistuje možnost záměny, ale identita implicitně závisí na binární operaci, se kterou je spojena.
Definice
Nechat (S, ∗) být sadouS vybaven binární operací ∗. Pak prvekE zS se nazývá a vlevo, odjet identita -li E ∗ A = A pro všechnyA vSa že jo identita -li A ∗ E = A pro všechnyA vS.[5] Li E je jak levá identita, tak pravá identita, pak se nazývá a oboustranná identita, nebo jednoduše identita.[6][7][8][9][10]
Identita s ohledem na přidání se nazývá aditivní identita (často označované jako 0) a identita s ohledem na násobení se nazývá a multiplikativní identita (často označované jako 1).[4] Nemusí to být obyčejné sčítání a násobení - protože základní operace může být docela libovolná. V případě a skupina například prvek identity je někdy jednoduše označen symbolem .[11] Rozdíl mezi aditivní a multiplikativní identitou se nejčastěji používá u sad, které podporují obě binární operace, například prsteny, integrální domény, a pole. Multiplikativní identita se často nazývá jednota v druhém kontextu (prsten s jednotou).[12][13][14] To by nemělo být zaměňováno s jednotka v teorii prstenů, což je jakýkoli prvek mající a multiplikativní inverzní. Podle své vlastní definice je jednota sama nutně jednotkou.[15][16]
Příklady
Vlastnosti
Jako poslední příklad (a poloskupina ) ukazuje, že je možné pro (S, ∗) mít několik levých identit. Ve skutečnosti může být každý prvek levou identitou. Podobným způsobem může existovat několik správných identit. Ale pokud existuje jak pravá identita, tak levá identita, musí být stejné, což má za následek jedinou oboustrannou identitu.
Chcete-li to vidět, nezapomeňte, že pokud l je levá identita a r je tedy správná identita l = l ∗ r = r. Zejména nikdy nemůže existovat více než jedna oboustranná identita: kdyby existovaly dvě, řekněme E a F, pak E ∗ F by se muselo rovnat oběma E a F.
Je také docela možné (S, ∗) mít Ne prvek identity,[17] jako je případ sudých celých čísel v rámci operace násobení.[4] Dalším běžným příkladem je křížový produkt z vektory, kde absence prvku identity souvisí se skutečností, že směr jakéhokoli nenulového křížového produktu je vždy ortogonální na libovolný prvek vynásobený. To znamená, že není možné získat nenulový vektor ve stejném směru jako originál. Ještě další příklad skupiny bez prvku identity zahrnuje přísadu poloskupina z pozitivní přirozená čísla.
Viz také
- Absorpční prvek
- Aditivní inverzní
- Zobecněná inverze
- Totožnost (rovnice)
- Funkce identity
- Inverzní prvek
- Monoidní
- Pseudokroužek
- Kvazigroup
- Unital (disambiguation)
Poznámky a odkazy
- ^ „Definitivní glosář vyššího matematického žargonu - identita“. Matematický trezor. 2019-08-01. Citováno 2019-12-01.
- ^ Weisstein, Eric W. „Prvek identity“. mathworld.wolfram.com. Citováno 2019-12-01.
- ^ „Definice PRVKU IDENTITY“. www.merriam-webster.com. Citováno 2019-12-01.
- ^ A b C „Prvek identity“. www.encyclopedia.com. Citováno 2019-12-01.
- ^ Fraleigh (1976, str. 21)
- ^ Beauregard & Fraleigh (1973, str. 96)
- ^ Fraleigh (1976, str. 18)
- ^ Herstein (1964, str. 26)
- ^ McCoy (1973, str. 17)
- ^ „Identity Element | Brilliant Math & Science Wiki“. brilliant.org. Citováno 2019-12-01.
- ^ „Úplný seznam symbolů algebry“. Matematický trezor. 2020-03-25. Citováno 2020-08-13.
- ^ Beauregard & Fraleigh (1973, str. 135)
- ^ Fraleigh (1976, str. 198)
- ^ McCoy (1973, str. 22)
- ^ Fraleigh (1976 198, 266)
- ^ Herstein (1964, str. 106)
- ^ McCoy (1973, str. 22)
Bibliografie
- Beauregard, Raymond A .; Fraleigh, John B. (1973), První kurz v lineární algebře: s volitelným úvodem do skupin, prstenů a polí, Boston: Společnost Houghton Mifflin, ISBN 0-395-14017-X
- Fraleigh, John B. (1976), První kurz v abstraktní algebře (2. vyd.), Čtení: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
- Herstein, I.N. (1964), Témata v algebřeWaltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
- McCoy, Neal H. (1973), Úvod do moderní algebry, revidované vydání, Boston: Allyn a Bacon, LCCN 68015225
Další čtení
- M. Kilp, U. Knauer, A.V. Michalev, Monoidy, akty a kategorie s aplikacemi na věnování produktů a grafů, De Gruyter Expositions in Mathematics sv. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7, str. 14–15