Beta obdélníkové rozdělení - Beta rectangular distribution - Wikipedia

Beta obdélníková

Funkce hustoty pravděpodobnosti
Funkce kumulativní distribuce
Parametry	${ displaystyle alpha> 0}$ tvar (nemovitý ) ${ displaystyle beta> 0}$ tvar (nemovitý ) ${ displaystyle 0 < theta <1}$ parametr směsi
Podpěra, podpora	${ displaystyle x in (a, b) !}$
PDF	${ displaystyle { begin {cases} { frac { theta Gamma ( alpha + beta)} { Gamma ( alpha) Gamma ( beta)}} { frac {(xa) ^ { alpha -1} (bx) ^ { beta -1}} {(ba) ^ { alpha + beta +1}}} + { frac {1- theta} {ba}} & { text { for}} x in [a, b] 0 a { text {jinak}} end {případy}}}$
CDF	${ displaystyle { begin {cases} 0 & { text {for}} x leq a theta I_ {z} ( alpha, beta) + { frac {(1- theta) (xa) } {ba}} & { text {for}} x in [a, b] 1 & { text {for}} x geq b end {cases}}}$ kde ${ displaystyle z = (x-a) / (b-a)}$
Znamenat	${ displaystyle a + (b-a) left ({ frac { theta alpha} { alpha + beta}} + { frac {1- theta} {2}} right)}$
Rozptyl	${ displaystyle (ba) ^ {2} left ({ frac { theta , alpha ( alpha +1)} {k (k + 1)}} + { frac {1- theta} { 3}} - { frac {{ bigl (} k + theta ( alpha - beta) { bigr)} ^ {2}} {4k ^ {2}}} vpravo)}$ kde ${ displaystyle k = alpha + beta}$

v teorie pravděpodobnosti a statistika, beta obdélníkové rozdělení je rozdělení pravděpodobnosti to je konečný distribuce směsi z beta distribuce a kontinuální rovnoměrné rozdělení. Podpora distribuce je indikována parametry A a b, což jsou minimální a maximální hodnoty. Distribuce poskytuje alternativu k beta distribuci tak, že umožňuje umístit větší hustotu v extrémech ohraničeného intervalu podpory.^[1] Jedná se tedy o omezenou distribuci, která umožňuje odlehlé hodnoty mít větší šanci na výskyt než distribuce beta.

Definice

Funkce hustoty pravděpodobnosti

Pokud jsou parametry distribuce beta α a β, a pokud je parametr směsi θ, pak má obdélníkové rozdělení beta funkce hustoty pravděpodobnosti^{[Citace je zapotřebí ]}

${ displaystyle p (x | alfa, beta, theta) = { začátek {případy} { frac { theta gama ( alpha + beta)} { gama ( alfa) gama ( beta)}} { frac {(xa) ^ { alpha -1} (bx) ^ { beta -1}} {(ba) ^ { alpha + beta +1}}} + { frac { 1- theta} {ba}} & mathrm {for} a leq x leq b, [8pt] 0 & mathrm {for} x b konec {případů}}}$

kde ${ displaystyle gama ( cdot)}$ je funkce gama.

Funkce kumulativní distribuce

The kumulativní distribuční funkce je^{[Citace je zapotřebí ]}

${ displaystyle F (x | alpha, beta, theta) = theta I_ {z} ( alpha, beta) + { frac {(1- theta) (xa)} {ba}} quad quad mathrm {for} a leq x leq b,}$

kde ${ displaystyle z = { dfrac {x-a} {b-a}}}$ a ${ displaystyle I_ {z} ( alfa, beta)}$ je legalizovaná neúplná beta funkce.

Aplikace

Projektový management

The Distribuce PERT variace beta distribuce se často používá v PERT, metoda kritické cesty (CPM) a další projektový management metodiky charakterizující distribuci času aktivity do dokončení.^[2]

V PERT vedou omezení parametrů distribuce PERT ke zkratkovým výpočtům střední a standardní odchylky distribuce beta:

${ displaystyle { begin {aligned} E (x) & {} = { frac {a + 4m + b} {6}} operatorname {Var} (x) & {} = { frac {( ba) ^ {2}} {36}} end {zarovnáno}}}$

kde A je minimum, b je maximum a m je režim nebo nejpravděpodobnější hodnota. Rozptyl se však považuje za konstantní podmínku rozsahu. Ve výsledku neexistuje prostor pro vyjádření různých úrovní nejistoty, které může mít projektový manažer ohledně doby aktivity.

Vyvolání parametru jistoty beta obdélníku θ umožňuje manažerovi projektu začlenit obdélníkové rozdělení a zvýšit nejistotu zadáním θ je menší než 1. Poté se stane výše uvedený vzorec očekávání

${ displaystyle E (x) = { frac { theta (a + 4m + b) +3 (1- theta) (a + b)} {6}}.}$

Pokud projektový manažer předpokládá, že distribuce beta je za standardních podmínek PERT symetrická, pak je rozptyl

${ displaystyle operatorname {Var} (x) = { frac {(b-a) ^ {2} (3-2 theta)} {36}},}$

zatímco pro asymetrický případ je

${ displaystyle operatorname {Var} (x) = { frac {(b-a) ^ {2} (3-2 theta ^ {2})} {36}}.}$

Rozptyl lze nyní zvýšit, když je nejistota větší. Distribuce beta však může i nadále platit v závislosti na úsudku projektového manažera.

Beta obdélníková byla porovnána s rovnoměrnou oboustrannou distribucí energie a rovnoměrně generalizovanou biparabolickou distribucí v kontextu řízení projektu. Beta obdélníkový ve srovnání vykazoval větší rozptyl a menší špičatost.^[3]

Rozdělení příjmů

Obdélníková distribuce beta byla porovnána se zvýšenou oboustrannou distribucí energie při přizpůsobování údajů o příjmech v USA.^[4] Bylo zjištěno, že 5parametrový zvýšený oboustranný rozvod energie má lepší přizpůsobení pro některé subpopulace, zatímco 3parametrový beta obdélníkový tvar má lepší přizpůsobení pro jiné subpopulace.

Reference