Trojúhelníkové rozdělení - Triangular distribution

Trojúhelníkový

Funkce hustoty pravděpodobnosti
Funkce kumulativní distribuce
Parametry	${ displaystyle a: ~ a in (- infty, infty)}$ ${ displaystyle b: ~ a$ ${ displaystyle c: ~ a leq c leq b ,}$
Podpěra, podpora	${ displaystyle a leq x leq b !}$
PDF	${ displaystyle { begin {cases} 0 & { text {for}} x$
CDF	${ displaystyle { begin {cases} 0 & { text {for}} x leq a, [2pt] { frac {(xa) ^ {2}} {(ba) (ca)}} & { text {for}} a$
Znamenat	${ displaystyle { frac {a + b + c} {3}}}$
Medián	${ displaystyle { begin {cases} a + { sqrt { frac {(ba) (ca)} {2}}} & { text {for}} c geq { frac {a + b} {2 }}, [6pt] b - { sqrt { frac {(ba) (bc)} {2}}} & { text {for}} c leq { frac {a + b} {2 }}. end {případy}}}$
Režim	${ displaystyle c ,}$
Rozptyl	${ displaystyle { frac {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} -ab-ac-bc} {18}}}$
Šikmost	${ displaystyle { frac {{ sqrt {2}} (a ! + ! b ! - ! 2c) (2a ! - ! b ! - ! c) (a ! - ! 2b ! + ! C)} {5 (a ^ {2} ! + ! B ^ {2} ! + ! C ^ {2} ! - ! Ab ! - ! Ac ! - ! bc) ^ { frac {3} {2}}}}}$
Př. špičatost	${ displaystyle - { frac {3} {5}}}$
Entropie	${ displaystyle { frac {1} {2}} + ln left ({ frac {b-a} {2}} right)}$
MGF	${ displaystyle 2 { frac {(b ! - ! c) e ^ {at} ! - ! (b ! - ! a) e ^ {ct} ! + ! (c ! - ! a) e ^ {bt}} {(ba) (ca) (bc) t ^ {2}}}}$
CF	${ displaystyle -2 { frac {(b ! - ! c) e ^ {iat} ! - ! (b ! - ! a) e ^ {ict} ! + ! (c ! - ! a) e ^ {ibt}} {(ba) (ca) (bc) t ^ {2}}}}$

v teorie pravděpodobnosti a statistika, trojúhelníkové rozdělení je spojitý rozdělení pravděpodobnosti se spodní hranicí A, horní limit b a režim C, kde A < b a A ≤ C ≤ b.

Speciální případy

Režim vázaný

Distribuce se zjednoduší, když C = A nebo C = b. Například pokud A = 0, b = 1 a C = 1, pak PDF a CDF stát se:

${ displaystyle left. { begin {array} {rl} f (x) & = 2x [8pt] F (x) & = x ^ {2} end {array}} right } { text {for}} 0 leq x leq 1}$

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {E} (X) & = { frac {2} {3}} [8pt] operatorname {Var} (X) & = { frac {1} {18}} end {zarovnáno}}}$

Rozdělení absolutního rozdílu dvou standardních jednotných proměnných

Tato distribuce pro A = 0, b = 1 a C = 0 je distribuce X = |X₁ − X₂|, kde X₁, X₂ jsou dvě nezávislé náhodné proměnné se standardem rovnoměrné rozdělení.

${ displaystyle { begin {zarovnáno} f (x) & = 2-2x { text {pro}} 0 leq x <1 [6pt] F (x) & = 2x-x ^ {2} { text {for}} 0 leq x <1 [6pt] E (X) & = { frac {1} {3}} [6pt] operatorname {Var} (X) & = { frac {1} {18}} end {zarovnáno}}}$

Symetrické trojúhelníkové rozdělení

Symetrický případ nastane, když C = (A + b) / 2. V tomto případě je alternativní forma distribuční funkce:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} f (x) & = { frac {(b-c) - | c-x |} {(b-c) ^ {2}}} [6pt] end {zarovnáno}}}$

Rozdělení průměru dvou standardních jednotných proměnných

Tato distribuce pro A = 0, b = 1 a C = 0,5 - režim (tj. Vrchol) je přesně uprostřed intervalu - odpovídá distribuci průměru dvou standardních jednotných proměnných, tj. Distribuci X = (X₁ + X₂) / 2, kde X₁, X₂ jsou dvě nezávislé náhodné proměnné se standardem rovnoměrné rozdělení v [0, 1].^[1]

${ displaystyle f (x) = { begin {cases} 4x & { text {for}} 0 leq x <{ frac {1} {2}} 4 (1-x) & { text { for}} { frac {1} {2}} leq x leq 1 end {případy}}}$

${ displaystyle F (x) = { begin {cases} 2x ^ {2} & { text {for}} 0 leq x <{ frac {1} {2}} 2x ^ {2} - (2x-1) ^ {2} & { text {for}} { frac {1} {2}} leq x leq 1 end {cases}}}$

${ displaystyle { begin {aligned} E (X) & = { frac {1} {2}} [6pt] operatorname {Var} (X) & = { frac {1} {24}} end {zarovnáno}}}$

Generování náhodných variace trojúhelníkového rozložení

Vzhledem k náhodnému variaci U čerpáno z rovnoměrné rozdělení v intervalu (0, 1), pak variát

${ displaystyle X = { begin {cases} a + { sqrt {U (ba) (ca)}} & { text {for}} 0$^[2]

kde ${ displaystyle F (c) = (c-a) / (b-a)}$, má trojúhelníkové rozdělení s parametry ${ displaystyle a, b}$ a ${ displaystyle c}$. To lze získat z kumulativní distribuční funkce.

Použití distribuce

Trojúhelníkové rozdělení se obvykle používá jako subjektivní popis populace, pro kterou jsou k dispozici pouze omezené údaje o vzorku, zejména v případech, kdy je vztah mezi proměnnými znám, ale údajů je málo (pravděpodobně kvůli vysokým nákladům na sběr). na základě znalosti minima a maxima a „inspirovaného odhadu“^[3] pokud jde o modální hodnotu. Z těchto důvodů se rozdělení trojúhelníků nazývá distribuce „nedostatku znalostí“.

Obchodní simulace

Trojúhelníkové rozdělení se proto často používá v obchodní rozhodování, zejména v simulace. Obecně platí, že když se o něm příliš neví rozdělení výsledku (řekněme jen jeho nejmenší a největší hodnoty) je možné použít rovnoměrné rozdělení. Pokud je však také znám nejpravděpodobnější výsledek, lze výsledek simulovat trojúhelníkovým rozdělením. Viz například pod podnikové finance.

Projektový management

Trojúhelníkové rozdělení spolu s Distribuce PERT, je také široce používán v projektový management (jako vstup do PERT a tudíž metoda kritické cesty (CPM)) k modelování událostí, ke kterým dochází v intervalu definovaném minimální a maximální hodnotou.

Zvuk ditheringu

Symetrické trojúhelníkové rozdělení se běžně používá v audio dithering, kde se nazývá TPDF (trojúhelníková funkce hustoty pravděpodobnosti).

Viz také

• Trapézové rozdělení
• Thomas Simpson
• Tříbodový odhad
• Shrnutí pěti čísel
• Souhrn sedmi čísel
• Trojúhelníková funkce
• Teorém centrálního limitu - K rozdělení trojúhelníku často dochází v důsledku přidání dvou stejných náhodných proměnných dohromady. Jinými slovy, rozdělení trojúhelníku je často (ne vždy) výsledkem první iterace procesu sčítání centrální limitní věty (tj. ${ textstyle n = 2}$). V tomto smyslu může občas dojít k přirozenému rozdělení trojúhelníku. Pokud tento proces sčítání více náhodných proměnných pokračuje (tj. ${ textstyle n geq 3}$), pak bude distribuce stále více zvonovitého tvaru.
• Irwin – Hallova distribuce - Použití distribuce Irwin – Hall je snadný způsob, jak generovat trojúhelníkové rozdělení.
• Batesovo rozdělení - Podobně jako distribuce Irwin – Hall, ale s hodnotami převedenými zpět do rozsahu 0 až 1. Užitečné pro výpočet rozdělení trojúhelníku, které lze následně změnit měřítko a posunout, aby se vytvořila další rozdělení trojúhelníku mimo rozsah 0 až 1.

Reference

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. "Trojúhelníková distribuce". MathWorld.
• Distribuce trojúhelníku, decisionciences.org
• Trojúhelníková distribuce, brighton-webs.co.uk