Diracova míra - Dirac measure

v matematika, a Diracova míra přiřadí velikost sadě pouze na základě toho, zda obsahuje pevný prvek X nebo ne. Jedná se o jeden ze způsobů formalizace myšlenky Diracova delta funkce, důležitý nástroj ve fyzice a dalších technických oborech.
Definice
A Diracova míra je opatření δX na setu X (s jakýmkoli σ-algebra z podmnožiny z X) definované pro daný X ∈ X a jakékoli (měřitelná) množina A ⊆ X podle
kde 1A je funkce indikátoru z A.
Diracovo opatření je a míra pravděpodobnosti, a z hlediska pravděpodobnosti představuje téměř jistě výsledek X v ukázkový prostor X. Můžeme také říci, že toto opatření je jediné atom na X; zacházení s Diracovou mírou jako s atomovou mírou však není správné, když vezmeme v úvahu postupnou definici Diracovy delty jako limitu delta sekvence. Diracova opatření jsou extrémní body konvexní sady pravděpodobnostních opatření na X.
Jméno je zadní formací z Diracova delta funkce, považováno za a Schwartzova distribuce, například na skutečná linie; opatření lze přijmout jako zvláštní druh distribuce. Identita
který ve formě
je často považován za součást definice „funkce delta“, platí jako věta o Lebesgueova integrace.
Vlastnosti Diracova opatření
Nechat δX označte Diracovu míru soustředěnou na nějaký pevný bod X v některých měřitelný prostor (X, Σ).
- δX je míra pravděpodobnosti, a proto a konečná míra.
Předpokládejme to (X, T) je topologický prostor a to Σ je přinejmenším stejně dobrý jako Borel σ-algebra σ(T) na X.
- δX je přísně pozitivní míra kdyby a jen kdyby topologie T je takový X leží v každé neprázdné otevřené sadě, např. v případě triviální topologie {∅, X}.
- Od té doby δX je míra pravděpodobnosti, je to také a lokálně konečné opatření.
- Li X je Hausdorff topologický prostor s Borelem σ-algebra, tedy δX splňuje podmínku být vnitřní pravidelná míra, od té doby jedináček sady jako {X} jsou vždy kompaktní. Proto, δX je také a Radonová míra.
- Za předpokladu, že topologie T je v pořádku {X} je uzavřen, což je případ většiny aplikací, Podpěra, podpora z δX je {X}. (V opačném případě, supp (δX) je uzavření {X} v (X, T).) Dále δX je jediným měřítkem pravděpodobnosti, jehož podpora je {X}.
- Li X je n-dimenzionální Euklidovský prostor ℝn se svým obvyklým σ-algebra a n-dimenzionální Lebesgueovo opatření λn, pak δX je singulární míra s ohledem na λn: jednoduše rozložit ℝn tak jako A = ℝn \ {X} a B = {X} a pozorujte to δX(A) = λn(B) = 0.
- Diracovo opatření je a sigma-konečná míra
Zobecnění
A diskrétní míra je podobné jako Diracova míra, až na to, že je soustředěna na spočítatelně mnoho bodů namísto jediného bodu. Více formálně, a opatření na skutečná linie se nazývá a diskrétní míra (ve vztahu k Lebesgueovo opatření ) Pokud je to Podpěra, podpora je nanejvýš a spočetná sada.
Viz také
Reference
- Dieudonné, Jean (1976). "Příklady opatření". Pojednání o analýze, část 2. Akademický tisk. p. 100. ISBN 0-12-215502-5.
- Benedetto, John (1997). „§2.1.3 Definice, δ". Harmonická analýza a aplikace. CRC Press. p. 72. ISBN 0-8493-7879-6.