Wigner půlkruh Funkce hustoty pravděpodobnosti
Funkce kumulativní distribuce
Parametry R > 0 { displaystyle R> 0 !} poloměr (nemovitý )Podpěra, podpora X ∈ [ − R ; + R ] { displaystyle x v [-R; + R] !} PDF 2 π R 2 R 2 − X 2 { displaystyle { frac {2} { pi R ^ {2}}} , { sqrt {R ^ {2} -x ^ {2}}} !} CDF 1 2 + X R 2 − X 2 π R 2 + arcsin ( X R ) π { displaystyle { frac {1} {2}} + { frac {x { sqrt {R ^ {2} -x ^ {2}}}} { pi R ^ {2}}} + { frac { arcsin ! left ({ frac {x} {R}} right)} { pi}} !} pro − R ≤ X ≤ R { displaystyle -R leq x leq R} Znamenat 0 { displaystyle 0 ,} Medián 0 { displaystyle 0 ,} Režim 0 { displaystyle 0 ,} Rozptyl R 2 4 { displaystyle { frac {R ^ {2}} {4}} !} Šikmost 0 { displaystyle 0 ,} Př. špičatost − 1 { displaystyle -1 ,} Entropie ln ( π R ) − 1 2 { displaystyle ln ( pi R) - { frac {1} {2}} ,} MGF 2 Já 1 ( R t ) R t { displaystyle 2 , { frac {I_ {1} (R , t)} {R , t}}} CF 2 J 1 ( R t ) R t { displaystyle 2 , { frac {J_ {1} (R , t)} {R , t}}}
The Distribuce půlkruhu Wigner , pojmenovaný po fyzikovi Eugene Wigner , je rozdělení pravděpodobnosti podporováno v intervalu [-R , R ] jehož graf funkce hustoty pravděpodobnosti F je půlkruh o poloměru R se středem na (0, 0) a poté vhodně normalizováno (tak, že je to opravdu semi-elipsa):
F ( X ) = 2 π R 2 R 2 − X 2 { displaystyle f (x) = {2 over pi R ^ {2}} { sqrt {R ^ {2} -x ^ {2} ,}} ,} pro -R ≤ X ≤ R , a F (X ) = 0 pokud | x | > R .
Tato distribuce vzniká jako omezující distribuce vlastní čísla z mnoha náhodné symetrické matice jak se velikost matice blíží nekonečnu.
Je to měřítko beta distribuce , přesněji, pokud Y je tedy distribuována beta s parametry α = β = 3/2 X = 2RY – R má výše uvedenou distribuci Wigner v půlkruhu.
Vyšší dimenzionální generalizace je parabolická distribuce v trojrozměrném prostoru, jmenovitě funkce okrajové distribuce sférické (parametrické) distribuce[1] [2] [3] [4] F X , Y , Z ( X , y , z ) = 3 4 π , X 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 , { displaystyle f_ {X, Y, Z} (x, y, z) = { frac {3} {4 pi}}, qquad qquad x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} leq 1,}
F X ( X ) = ∫ − 1 − y 2 − X 2 + 1 − y 2 − X 2 ∫ − 1 − X 2 + 1 − X 2 3 d y 4 π = 3 ( 1 − X 2 ) / 4. { displaystyle f_ {X} (x) = int _ {- { sqrt {1-y ^ {2} -x ^ {2}}}} ^ {+ { sqrt {1-y ^ {2} -x ^ {2}}}} int _ {- { sqrt {1-x ^ {2}}}} ^ {+ { sqrt {1-x ^ {2}}}} { frac {3 mathrm {d} y} {4 pi}} = 3 (1-x ^ {2}) / 4.}
Všimněte si, že R = 1.
Zatímco Wignerova půlkruhová distribuce se týká distribuce vlastních čísel, Wigner domněnka se zabývá hustotou pravděpodobnosti rozdílů mezi po sobě jdoucími vlastními hodnotami.
Obecné vlastnosti The Čebyševovy polynomy druhého druhu jsou ortogonální polynomy s ohledem na rozdělení Wignerova půlkruhu.
Pro kladná celá čísla n , 2n -th okamžik této distribuce je
E ( X 2 n ) = ( R 2 ) 2 n C n { displaystyle E (X ^ {2n}) = vlevo ({R nad 2} vpravo) ^ {2n} C_ {n} ,} kde X je libovolná náhodná proměnná s tímto rozdělením a C n je n th Katalánské číslo
C n = 1 n + 1 ( 2 n n ) , { displaystyle C_ {n} = {1 nad n + 1} {2n vyberte n}, ,} takže momenty jsou katalánská čísla, pokud R = 2. (Kvůli symetrii jsou všechny momenty lichého řádu nulové.)
Střídání X = R cos ( θ ) { displaystyle x = R cos ( theta)} do určující rovnice pro funkce generování momentů je vidět, že:
M ( t ) = 2 π ∫ 0 π E R t cos ( θ ) hřích 2 ( θ ) d θ { displaystyle M (t) = { frac {2} { pi}} int _ {0} ^ { pi} e ^ {Rt cos ( theta)} sin ^ {2} ( theta ) , d theta} které lze vyřešit (viz Abramowitz a Stegun §9.6.18) výtěžek:
M ( t ) = 2 Já 1 ( R t ) R t { displaystyle M (t) = 2 , { frac {I_ {1} (Rt)} {Rt}}} kde Já 1 ( z ) { displaystyle I_ {1} (z)} je upravený Besselova funkce . Podobně je charakteristická funkce dána:[5] [6]
[7]
φ ( t ) = 2 J 1 ( R t ) R t { displaystyle varphi (t) = 2 , { frac {J_ {1} (Rt)} {Rt}}} kde J 1 ( z ) { displaystyle J_ {1} (z)} je Besselova funkce. (Viz Abramowitz a Stegun §9.1.20) s tím, že odpovídající integrál zahrnuje hřích ( R t cos ( θ ) ) { displaystyle sin (Rt cos ( theta))} je nula.)
V limitu R { displaystyle R} blížící se nule, distribuce Wignerova půlkruhu se stává a Diracova delta funkce .
Vztah k volné pravděpodobnosti v bezplatná pravděpodobnost Teorie, role Wignerova rozdělení v půlkruhu je analogická s rolí normální distribuce v klasické teorii pravděpodobnosti. Konkrétně v teorii volné pravděpodobnosti role kumulanty je obsazeno „bezplatnými kumulanty“, jejichž vztah k běžným kumulantům je prostě to, že role množiny všech oddíly konečné množiny v teorii obyčejných kumulantů je nahrazen množinou všech nepřekračující oddíly konečné množiny. Stejně jako kumulanty stupně více než 2 a rozdělení pravděpodobnosti jsou všechny nulové kdyby a jen kdyby distribuce je normální, takže také volný, uvolnit kumulanty stupně více než 2 pravděpodobnostního rozdělení jsou nulové právě tehdy, pokud je toto rozdělení Wignerovo polokruhové rozdělení.
Sférická distribuce PDF, (X, Y, Z)
Charakteristická funkce sférické rozdělení
Režimy sférických harmonických charakteristik
Související distribuce
Wignerova (sférická) parabolická distribuce Parabolický signatář Parametry R > 0 { displaystyle R> 0 !} poloměr (nemovitý )Podpěra, podpora X ∈ [ − R ; + R ] { displaystyle x v [-R; + R] !} PDF 3 4 R 3 ( R 2 − X 2 ) { displaystyle { frac {3} {4R ^ {3}}} , (R ^ {2} -x ^ {2})} CDF 1 4 R 3 ( 2 R − X ) ( R + X ) 2 { displaystyle { frac {1} {4R ^ {3}}} , (2R-x) , (R + x) ^ {2}} MGF 3 i 1 ( R t ) R t { displaystyle 3 , { frac {i_ {1} (R , t)} {R , t}}} CF 3 j 1 ( R t ) R t { displaystyle 3 , { frac {j_ {1} (R , t)} {R , t}}}
Parabolický rozdělení pravděpodobnosti [Citace je zapotřebí ] podporováno v intervalu [-R , R ] poloměru R se středem na (0, 0):
F ( X ) = 3 4 R 3 ( R 2 − X 2 ) { displaystyle f (x) = {3 nad 4R ^ {3}} {(R ^ {2} -x ^ {2})} ,}
pro -R ≤ X ≤ R , a F (X ) = 0 pokud | x | > R .
Příklad. Společná distribuce je
∫ 0 π ∫ 0 + 2 π ∫ 0 R F X , Y , Z ( X , y , z ) R 2 d r hřích ( θ ) d θ d ϕ = 1 ; { displaystyle int _ {0} ^ { pi} int _ {0} ^ {+ 2 pi} int _ {0} ^ {R} f_ {X, Y, Z} (x, y, z) R ^ {2} , dr sin ( theta) , d theta , d phi = 1;}
F X , Y , Z ( X , y , z ) = 3 4 π { displaystyle f_ {X, Y, Z} (x, y, z) = { frac {3} {4 pi}}}
Proto je okrajové PDF sférické (parametrické) distribuce [1]
F X ( X ) = ∫ − 1 − y 2 − X 2 + 1 − y 2 − X 2 ∫ − 1 − X 2 + 1 − X 2 F X , Y , Z ( X , y , z ) d y d z ; { displaystyle f_ {X} (x) = int _ {- { sqrt {1-y ^ {2} -x ^ {2}}}} ^ {+ { sqrt {1-y ^ {2} -x ^ {2}}}} int _ {- { sqrt {1-x ^ {2}}}} ^ {+ { sqrt {1-x ^ {2}}}} f_ {X, Y , Z} (x, y, z) , dy , dz;}
F X ( X ) = ∫ − 1 − X 2 + 1 − X 2 2 1 − y 2 − X 2 d y ; { displaystyle f_ {X} (x) = int _ {- { sqrt {1-x ^ {2}}}} ^ {+ { sqrt {1-x ^ {2}}}} 2 { sqrt {1-y ^ {2} -x ^ {2}}} , dy ,;}
F X ( X ) = 3 4 ( 1 − X 2 ) ; { displaystyle f_ {X} (x) = {3 nad 4} {(1-x ^ {2})} ,;} tak, že R = 1
Charakteristická funkce sférického rozdělení se stává vynásobením vzoru očekávaných hodnot rozdělení v X, Y a Z.
Parabolická Wignerova distribuce je také považována za monopolní moment vodíku jako atomové orbitaly.
Wignerova distribuce v n-sféře Normalizovaný N-koule funkce hustoty pravděpodobnosti podporovaná na intervalu [−1, 1] poloměru 1 se středem na (0, 0):
F n ( X ; n ) = ( 1 − X 2 ) ( n − 1 ) / 2 Γ ( 1 + n / 2 ) π Γ ( ( n + 1 ) / 2 ) ( n >= − 1 ) { displaystyle f_ {n} (x; n) = {(1-x ^ {2}) ^ {(n-1) / 2} gama (1 + n / 2) nad { sqrt { pi }} Gamma ((n + 1) / 2)} , (n> = - 1)} ,
pro −1 ≤ X ≤ 1 a F (X ) = 0 pokud | x | > 1.
Příklad. Společná distribuce je
∫ − 1 − y 2 − X 2 + 1 − y 2 − X 2 ∫ − 1 − X 2 + 1 − X 2 ∫ 0 1 F X , Y , Z ( X , y , z ) 1 − X 2 − y 2 − z 2 ( n ) d X d y d z = 1 ; { displaystyle int _ {- { sqrt {1-y ^ {2} -x ^ {2}}}} ^ {+ { sqrt {1-y ^ {2} -x ^ {2}}} } int _ {- { sqrt {1-x ^ {2}}}} ^ {+ { sqrt {1-x ^ {2}}}} int _ {0} ^ {1} f_ {X , Y, Z} (x, y, z) {{ sqrt {1-x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2}}} ^ {(n)}} dxdydz = 1;}
F X , Y , Z ( X , y , z ) = 3 4 π { displaystyle f_ {X, Y, Z} (x, y, z) = { frac {3} {4 pi}}}
Proto je okrajová distribuce PDF [1]
F X ( X ; n ) = ( 1 − X 2 ) ( n − 1 ) / 2 ) Γ ( 1 + n / 2 ) π Γ ( ( n + 1 ) / 2 ) ; { displaystyle f_ {X} (x; n) = {(1-x ^ {2}) ^ {(n-1) / 2)} gama (1 + n / 2) nad { sqrt { pi}} Gamma ((n + 1) / 2)} ,;} tak, že R = 1
Funkce kumulativní distribuce (CDF) je
F X ( X ) = 2 X Γ ( 1 + n / 2 ) 2 F 1 ( 1 / 2 , ( 1 − n ) / 2 ; 3 / 2 ; X 2 ) π Γ ( ( n + 1 ) / 2 ) ; { displaystyle F_ {X} (x) = {2x Gamma (1 + n / 2) _ {2} F_ {1} (1/2, (1-n) / 2; 3/2; x ^ { 2}) nad { sqrt { pi}} Gamma ((n + 1) / 2)} ,;} takové, že R = 1 a n> = -1
Charakteristická funkce (CF) PDF souvisí s beta distribuce Jak je ukázáno níže
C F ( t ; n ) = 1 F 1 ( n / 2 , ; n ; j t / 2 ) ⌝ ( α = β = n / 2 ) ; { displaystyle CF (t; n) = {_ {1} F_ {1} (n / 2,; n; jt / 2)} , urcorner ( alpha = beta = n / 2);}
Z hlediska Besselových funkcí to je
C F ( t ; n ) = Γ ( n / 2 + 1 ) J n / 2 ( t ) / ( t / 2 ) ( n / 2 ) ⌝ ( n >= − 1 ) ; { displaystyle CF (t; n) = { gama (n / 2 + 1) J_ {n / 2} (t) / (t / 2) ^ {(n / 2)}} , urcorner (n > = - 1);}
Surové momenty PDF jsou
μ N ′ ( n ) = ∫ − 1 + 1 X N F X ( X ; n ) d X = ( 1 + ( − 1 ) N ) Γ ( 1 + n / 2 ) 2 π Γ ( ( 2 + n + N ) / 2 ) ; { displaystyle mu '_ {N} (n) = int _ {- 1} ^ {+ 1} x ^ {N} f_ {X} (x; n) dx = {(1 + (- 1) ^ {N}) Gamma (1 + n / 2) nad {2 { sqrt { pi}}} Gamma ((2 + n + N) / 2)};}
Ústřední momenty jsou
μ 0 ( X ) = 1 { displaystyle mu _ {0} (x) = 1}
μ 1 ( n ) = μ 1 ′ ( n ) { displaystyle mu _ {1} (n) = mu _ {1} '(n)}
μ 2 ( n ) = μ 2 ′ ( n ) − μ 1 ′ 2 ( n ) { displaystyle mu _ {2} (n) = mu _ {2} '(n) - mu _ {1}' ^ {2} (n)}
μ 3 ( n ) = 2 μ 1 ′ 3 ( n ) − 3 μ 1 ′ ( n ) μ 2 ′ ( n ) + μ 3 ′ ( n ) { displaystyle mu _ {3} (n) = 2 mu _ {1} '^ {3} (n) -3 mu _ {1}' (n) mu _ {2} '(n) + mu _ {3} '(n)}
μ 4 ( n ) = − 3 μ 1 ′ 4 ( n ) + 6 μ 1 ′ 2 ( n ) μ 2 ′ ( n ) − 4 μ 1 ′ ( n ) μ 3 ′ ( n ) + μ 4 ′ ( n ) { displaystyle mu _ {4} (n) = - 3 mu _ {1} '^ {4} (n) +6 mu _ {1}' ^ {2} (n) mu _ {2 } '(n) -4 mu' _ {1} (n) mu '_ {3} (n) + mu' _ {4} (n)}
Odpovídající pravděpodobnostní momenty (průměr, rozptyl, zkosení, špičatost a nadměrná špičatost) jsou:
μ ( X ) = μ 1 ′ ( X ) = 0 { displaystyle mu (x) = mu _ {1} '(x) = 0}
σ 2 ( n ) = μ 2 ′ ( n ) − μ 2 ( n ) = 1 / ( 2 + n ) { displaystyle sigma ^ {2} (n) = mu _ {2} '(n) - mu ^ {2} (n) = 1 / (2 + n)}
y 1 ( n ) = μ 3 / μ 2 3 / 2 = 0 { displaystyle gamma _ {1} (n) = mu _ {3} / mu _ {2} ^ {3/2} = 0}
β 2 ( n ) = μ 4 / μ 2 2 = 3 ( 2 + n ) / ( 4 + n ) { displaystyle beta _ {2} (n) = mu _ {4} / mu _ {2} ^ {2} = 3 (2 + n) / (4 + n)}
y 2 ( n ) = μ 4 / μ 2 2 − 3 = − 6 / ( 4 + n ) { displaystyle gamma _ {2} (n) = mu _ {4} / mu _ {2} ^ {2} -3 = -6 / (4 + n)}
Surové momenty charakteristické funkce jsou:
μ N ′ ( n ) = μ N ; E ′ ( n ) + μ N ; Ó ′ ( n ) = ∫ − 1 + 1 C Ó s N ( X t ) F X ( X ; n ) d X + ∫ − 1 + 1 s i n N ( X t ) F X ( X ; n ) d X ; { displaystyle mu '_ {N} (n) = mu' _ {N; E} (n) + mu '_ {N; O} (n) = int _ {- 1} ^ {+ 1} cos ^ {N} (xt) f_ {X} (x; n) dx + int _ {- 1} ^ {+ 1} sin ^ {N} (xt) f_ {X} (x; n) dx ;}
Pro rovnoměrné rozdělení jsou momenty
μ 1 ′ ( t ; n : E ) = C F ( t ; n ) { displaystyle mu _ {1} '(t; n: E) = CF (t; n)}
μ 1 ′ ( t ; n : Ó ) = 0 { displaystyle mu _ {1} '(t; n: O) = 0}
μ 1 ′ ( t ; n ) = C F ( t ; n ) { displaystyle mu _ {1} '(t; n) = CF (t; n)}
μ 2 ′ ( t ; n : E ) = 1 / 2 ( 1 + C F ( 2 t ; n ) ) { displaystyle mu _ {2} '(t; n: E) = 1/2 (1 + CF (2t; n))}
μ 2 ′ ( t ; n : Ó ) = 1 / 2 ( 1 − C F ( 2 t ; n ) ) { displaystyle mu _ {2} '(t; n: O) = 1/2 (1-CF (2t; n))}
μ 2 ′ ( t ; n ) = 1 { displaystyle mu '_ {2} (t; n) = 1}
μ 3 ′ ( t ; n : E ) = ( C F ( 3 t ) + 3 C F ( t ; n ) ) / 4 { displaystyle mu _ {3} '(t; n: E) = (CF (3t) + 3CF (t; n)) / 4}
μ 3 ′ ( t ; n : Ó ) = 0 { displaystyle mu _ {3} '(t; n: O) = 0}
μ 3 ′ ( t ; n ) = ( C F ( 3 t ; n ) + 3 C F ( t ; n ) ) / 4 { displaystyle mu _ {3} '(t; n) = (CF (3t; n) + 3CF (t; n)) / 4}
μ 4 ′ ( t ; n : E ) = ( 3 + 4 C F ( 2 t ; n ) + C F ( 4 t ; n ) ) / 8 { displaystyle mu _ {4} '(t; n: E) = (3 + 4CF (2t; n) + CF (4t; n)) / 8}
μ 4 ′ ( t ; n : Ó ) = ( 3 − 4 C F ( 2 t ; n ) + C F ( 4 t ; n ) ) / 8 { displaystyle mu _ {4} '(t; n: O) = (3-4CF (2t; n) + CF (4t; n)) / 8}
μ 4 ′ ( t ; n ) = ( 3 + C F ( 4 t ; n ) ) / 4 { displaystyle mu _ {4} '(t; n) = (3 + CF (4t; n)) / 4}
Proto jsou momenty CF (za předpokladu N = 1)
μ ( t ; n ) = μ 1 ′ ( t ) = C F ( t ; n ) = 0 F 1 ( 2 + n 2 , − t 2 4 ) { displaystyle mu (t; n) = mu _ {1} '(t) = CF (t; n) = _ {0} F_ {1} ({2 + n nad 2}, - {t ^ {2} přes 4})}
σ 2 ( t ; n ) = 1 − | C F ( t ; n ) | 2 = 1 − | 0 F 1 ( 2 + n 2 , − t 2 / 4 ) | 2 { displaystyle sigma ^ {2} (t; n) = 1- | CF (t; n) | ^ {2} = 1- | _ {0} F_ {1} ({2 + n nad 2} , -t ^ {2} / 4) | ^ {2}}
y 1 ( n ) = μ 3 μ 2 3 / 2 = 0 F 1 ( 2 + n 2 , − 9 t 2 4 ) − 0 F 1 ( 2 + n 2 , − t 2 4 ) + 8 | 0 F 1 ( 2 + n 2 , − t 2 4 ) | 3 4 ( 1 − | 0 F 1 ( 2 + n 2 , − t 2 4 ) ) 2 | ( 3 / 2 ) { displaystyle gamma _ {1} (n) = { mu _ {3} přes mu _ {2} ^ {3/2}} = {_ {0} F_ {1} ({2 + n nad 2}, - 9 {t ^ {2} nad 4}) -_ {0} F_ {1} ({2 + n nad 2}, - {t ^ {2} nad 4}) + 8 | _ {0} F_ {1} ({2 + n nad 2}, - {t ^ {2} nad 4}) | ^ {3} nad 4 (1- | _ {0} F_ { 1} ({2 + n nad 2}, - {t ^ {2} nad 4})) ^ {2} | ^ {(3/2)}}}
β 2 ( n ) = μ 4 μ 2 2 = 3 + 0 F 1 ( 2 + n 2 , − 4 t 2 ) − ( 4 0 F 1 ( 2 + n 2 , − t 2 4 ) ( 0 F 1 ( 2 + n 2 , − 9 t 2 4 ) ) + 3 0 F 1 ( 2 + n 2 , − t 2 4 ) ( − 1 + | 0 F 1 ( 2 + n 2 , − t 2 4 | 2 ) ) 4 ( − 1 + | 0 F 1 ( 2 + n 2 , − t 2 4 ) ) 2 | 2 { displaystyle beta _ {2} (n) = { mu _ {4} přes mu _ {2} ^ {2}} = {3 + _ {0} F_ {1} ({2 + n nad 2}, - 4 t ^ {2}) - (4_ {0} F_ {1} ({2 + n nad 2}, - {t ^ {2} nad 4}) (_ {0} F_ {1} ({2 + n nad 2}, - 9 {t ^ {2} nad 4})) + 3_ {0} F_ {1} ({2 + n nad 2}, - {t ^ {2} nad 4}) (- 1+ | _ {0} F_ {1} ({2 + n nad 2}, - {t ^ {2} nad 4} | ^ {2})) nad 4 (-1+ | _ {0} F_ {1} ({2 + n nad 2}, - {t ^ {2} nad 4})) ^ {2} | ^ {2}}}
y 2 ( n ) = μ 4 / μ 2 2 − 3 = − 9 + 0 F 1 ( 2 + n 2 , − 4 t 2 ) − ( 4 0 F 1 ( 2 + n 2 , − t 2 / 4 ) ( 0 F 1 ( 2 + n 2 , − 9 t 2 4 ) ) − 9 0 F 1 ( 2 + n 2 , − t 2 4 ) + 6 | 0 F 1 ( 2 + n 2 , − t 2 4 | 3 ) 4 ( − 1 + | 0 F 1 ( 2 + n 2 , − t 2 4 ) ) 2 | 2 { displaystyle gamma _ {2} (n) = mu _ {4} / mu _ {2} ^ {2} -3 = {- 9 + _ {0} F_ {1} ({2 + n nad 2}, - 4 t ^ {2}) - (4_ {0} F_ {1} ({2 + n nad 2}, - t ^ {2} / 4) (_ {0} F_ {1} ({2 + n nad 2}, - 9 {t ^ {2} nad 4})) - 9_ {0} F_ {1} ({2 + n nad 2}, - {t ^ {2} nad 4}) + 6 | _ {0} F_ {1} ({2 + n nad 2}, - {t ^ {2} nad 4} | ^ {3}) nad 4 (-1+ | _ {0} F_ {1} ({2 + n nad 2}, - {t ^ {2} nad 4})) ^ {2} | ^ {2}}}
Skew a Kurtosis lze také zjednodušit, pokud jde o Besselovy funkce.
Entropie se počítá jako
H N ( n ) = ∫ − 1 + 1 F X ( X ; n ) ln ( F X ( X ; n ) ) d X { displaystyle H_ {N} (n) = int _ {- 1} ^ {+ 1} f_ {X} (x; n) ln (f_ {X} (x; n)) dx}
Prvních 5 momentů (n = -1 až 3), takže R = 1 jsou
− ln ( 2 / π ) ; n = − 1 { displaystyle - ln (2 / pi); n = -1}
− ln ( 2 ) ; n = 0 { displaystyle - ln (2); n = 0}
− 1 / 2 + ln ( π ) ; n = 1 { displaystyle -1 / 2 + ln ( pi); n = 1}
5 / 3 − ln ( 3 ) ; n = 2 { displaystyle 5 / 3- ln (3); n = 2}
− 7 / 4 − ln ( 1 / 3 π ) ; n = 3 { displaystyle -7 / 4- ln (1/3 pi); n = 3}
N-koule Wignerova distribuce s lichou symetrií Okrajová distribuce PDF s lichou symetrií je [1]
F X ( X ; n ) = ( 1 − X 2 ) ( n − 1 ) / 2 ) Γ ( 1 + n / 2 ) π Γ ( ( n + 1 ) / 2 ) sgn ( X ) ; { displaystyle f {_ {X}} (x; n) = {(1-x ^ {2}) ^ {(n-1) / 2)} Gamma (1 + n / 2) nad { sqrt { pi}} Gamma ((n + 1) / 2)} operatorname {sgn} (x) ,;} tak, že R = 1
Proto je CF vyjádřeno jako funkce Struve
C F ( t ; n ) = Γ ( n / 2 + 1 ) H n / 2 ( t ) / ( t / 2 ) ( n / 2 ) ⌝ ( n >= − 1 ) ; { displaystyle CF (t; n) = { gama (n / 2 + 1) H_ {n / 2} (t) / (t / 2) ^ {(n / 2)}} , urcorner (n > = - 1);}
„Funkce Struve vzniká v problému radiátoru s tuhými písty namontovaného v nekonečné přepážce, který má radiační impedanci danou“ [8]
Z = ρ C π A 2 [ R 1 ( 2 k A ) − i X 1 ( 2 k A ) ] , { displaystyle Z = { rho c pi a ^ {2} [R_ {1} (2ka) -iX_ {1} (2ka)],}}
R 1 = 1 − 2 J 1 ( X ) 2 X , { displaystyle R_ {1} = {1- {2J_ {1} (x) přes 2x},}}
X 1 = 2 H 1 ( X ) X , { displaystyle X_ {1} = {{2H_ {1} (x) nad x},}}
Příklad (normalizovaná síla přijatého signálu): kvadraturní výrazy Normalizovaná síla přijímaného signálu je definována jako
| R | = 1 N | ∑ k = 1 N exp [ i X n t ] | { displaystyle | R | = {{1 nad N} |} součet _ {k = 1} ^ {N} exp [ix_ {n} t] |}
a pomocí standardních kvadraturních výrazů
X = 1 N ∑ k = 1 N cos ( X n t ) { displaystyle x = {1 nad N} součet _ {k = 1} ^ {N} cos (x_ {n} t)}
y = 1 N ∑ k = 1 N hřích ( X n t ) { displaystyle y = {1 nad N} součet _ {k = 1} ^ {N} sin (x_ {n} t)}
Proto pro rovnoměrné rozdělení rozšiřujeme NRSS tak, že x = 1 a y = 0, získání
X 2 + y 2 = X + 3 2 y 2 − 3 2 X y 2 + 1 2 X 2 y 2 + Ó ( y 3 ) + Ó ( y 3 ) ( X − 1 ) + Ó ( y 3 ) ( X − 1 ) 2 + Ó ( X − 1 ) 3 { displaystyle { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} = x + {3 nad 2} y ^ {2} - {3 nad 2} xy ^ {2} + {1 nad 2} x ^ {2} y ^ {2} + O (y ^ {3}) + O (y ^ {3}) (x-1) + O (y ^ {3}) (x-1) ^ {2} + O (x-1) ^ {3}}
Stává se rozšířená forma Charakteristické funkce síly přijímaného signálu [9]
E [ X ] = 1 N C F ( t ; n ) { displaystyle E [x] = {1 nad N} CF (t; n)}
E [ y 2 ] = 1 2 N ( 1 − C F ( 2 t ; n ) ) { displaystyle E [y ^ {2}] = {1 nad 2N} (1-CF (2t; n))}
E [ X 2 ] = 1 2 N ( 1 + C F ( 2 t ; n ) ) { displaystyle E [x ^ {2}] = {1 nad 2N} (1 + CF (2t; n))}
E [ X y 2 ] = t 2 3 N 2 C F ( t ; n ) 3 + ( N − 1 2 N 2 ) ( 1 − t C F ( 2 t ; n ) ) C F ( t ; n ) { displaystyle E [xy ^ {2}] = {t ^ {2} nad 3N ^ {2}} CF (t; n) ^ {3} + ({N-1 nad 2N ^ {2}} ) (1-tCF (2t; n)) CF (t; n)}
E [ X 2 y 2 ] = 1 8 N 3 ( 1 − C F ( 4 t ; n ) ) + ( N − 1 4 N 3 ) ( 1 − C F ( 2 t ; n ) 2 ) + ( N − 1 3 N 3 ) t 2 C F ( t ; n ) 4 + ( ( N − 1 ) ( N − 2 ) N 3 ) C F ( t ; n ) 2 ( 1 − C F ( 2 t ; n ) ) { displaystyle E [x ^ {2} y ^ {2}] = {1 nad 8N ^ {3}} (1-CF (4t; n)) + ({N-1 nad 4N ^ {3} }) (1-CF (2t; n) ^ {2}) + ({N-1 nad 3N ^ {3}}) t ^ {2} CF (t; n) ^ {4} + ({( N-1) (N-2) přes N ^ {3}}) CF (t; n) ^ {2} (1-CF (2t; n))}
Viz také Reference ^ A b C d Buchanan, K .; Huff, G. H. (červenec 2011). Msgstr "Porovnání geometricky vázaných náhodných polí v euklidovském prostoru". 2011 IEEE International Symposium on Antennas and Propagation (APSURSI) : 2008–2011. doi :10.1109 / APS.2011.5996900 . ISBN 978-1-4244-9563-4 . ^ Buchanan, K .; Flores, C .; Wheeland, S .; Jensen, J .; Grayson, D .; Huff, G. (květen 2017). "Přenášet tvar paprsku pro radarové aplikace pomocí kruhově zúžených náhodných polí". Radarová konference IEEE 2017 (RadarConf) : 0112–0117. doi :10.1109 / RADAR.2017.7944181 . ISBN 978-1-4673-8823-8 . ^ Buchanan, K .; Flores, C .; Wheeland, S .; Jensen, J .; Grayson, D .; Huff, G. (květen 2017). "Experimentální přenos svazku paprsků pomocí kruhové kanonické rodiny vázané na místo kvadrických kořenů". Radarová konference IEEE 2017 (RadarConf) : 0083–0088. doi :10.1109 / RADAR.2017.7944176 . ISBN 978-1-4673-8823-8 . ^ https://ieeexplore.ieee.org/document/9034474 ^ Buchanan, Kristopher; Flores, Carlos; Wheeland, Sara; Jensen, Jeffrey; Grayson, David; Huff, Gregory (2017). "Přenášet tvar paprsku pro radarové aplikace pomocí kruhově zúžených náhodných polí". Radarová konference IEEE 2017 (Radar Konf) . str. 0112–0117. doi :10.1109 / RADAR.2017.7944181 . ISBN 978-1-4673-8823-8 . ^ https://oaktrust.library.tamu.edu/handle/1969.1/157918 ^ Overturf, Drew; Buchanan, Kristopher; Jensen, Jeffrey; Wheeland, Sara; Huff, Gregory (2017). "Vyšetřování tvarů paprsků z objemově distribuovaných fázovaných polí". Konference MILCOM 2017 - 2017 IEEE Military Communications Conference (MILCOM) . 817–822. doi :10.1109 / MILCOM.2017.8170756 . ISBN 978-1-5386-0595-0 . https://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/8170756/ ^ W., Weisstein, Eric. "Struve Function" . mathworld.wolfram.com . Citováno 2017-07-28 . ^ „Advanced Beamforming pro distribuované a multi-paprskové sítě“ (PDF) .externí odkazy Diskrétní univariate s konečnou podporou Diskrétní univariate s nekonečnou podporou Kontinuální univariate podporováno v omezeném intervalu Kontinuální univariate podporováno v poloneomezeném intervalu Kontinuální univariate podporováno na celé reálné linii Kontinuální univariate s podporou, jejíž typ se liší Smíšený spojitý-diskrétní univariate Vícerozměrný (společný) Směrový Degenerovat a jednotné číslo Rodiny