Exponenciální rozdělení - Exponential distribution

Exponenciální

Funkce hustoty pravděpodobnosti
Funkce kumulativní distribuce
Parametry	${ displaystyle lambda> 0,}$ rychlost nebo inverzní měřítko
Podpěra, podpora	${ displaystyle x v [0, infty)}$
PDF	${ displaystyle lambda e ^ {- lambda x}}$
CDF	${ displaystyle 1-e ^ {- lambda x}}$
Kvantilní	${ displaystyle - { frac { ln (1-p)} { lambda}}}$
Znamenat	${ displaystyle { frac {1} { lambda}}}$
Medián	${ displaystyle { frac { ln 2} { lambda}}}$
Režim	${ displaystyle 0}$
Rozptyl	${ displaystyle { frac {1} { lambda ^ {2}}}}$
Šikmost	${ displaystyle 2}$
Př. špičatost	${ displaystyle 6}$
Entropie	${ displaystyle 1- ln lambda}$
MGF	${ displaystyle { frac { lambda} { lambda -t}}, { text {pro}} t < lambda}$
CF	${ displaystyle { frac { lambda} { lambda -it}}}$
Fisher informace	${ displaystyle { frac {1} { lambda ^ {2}}}}$
Kullback-Leiblerova divergence	${ displaystyle ln { frac { lambda _ {0}} { lambda}} + { frac { lambda} { lambda _ {0}}} - 1}$

v teorie pravděpodobnosti a statistika, exponenciální rozdělení je rozdělení pravděpodobnosti času mezi událostmi v a Proces Poissonova bodu, tj. proces, ve kterém k událostem dochází nepřetržitě a nezávisle na konstantní průměrné rychlosti. Jedná se o konkrétní případ gama distribuce. Je to spojitý analog geometrické rozdělení, a má klíčovou vlastnost bytí bez paměti. Kromě toho, že se používá k analýze procesů Poissonových bodů, nachází se v různých jiných kontextech.

Exponenciální distribuce není stejná jako třída exponenciální rodiny distribucí, což je velká třída distribucí pravděpodobnosti, která zahrnuje exponenciální rozdělení jako jeden ze svých členů, ale zahrnuje také normální distribuce, binomická distribuce, gama distribuce, jed, a mnoho dalších.

Definice

Funkce hustoty pravděpodobnosti

The funkce hustoty pravděpodobnosti (pdf) exponenciálního rozdělení je

${ displaystyle f (x; lambda) = { začátek {případů} lambda e ^ {- lambda x} & x geq 0, 0 & x <0. end {případů}}}$

Tady λ > 0 je parametr distribuce, často nazývaný parametr rychlosti. Distribuce je podporována v intervalu [0, ∞). Pokud náhodná proměnná X má tuto distribuci, píšemeX ~ Exp (λ).

Exponenciální rozdělení vykazuje nekonečná dělitelnost.

Funkce kumulativní distribuce

The kumulativní distribuční funkce je dána

${ displaystyle F (x; lambda) = { začátek {případů} 1-e ^ {- lambda x} & x geq 0, 0 & x <0. end {případů}}}$

Alternativní parametrizace

Exponenciální rozdělení je někdy parametrizováno z hlediska parametr měřítka β = 1/λ:

${ displaystyle f (x; beta) = { begin {cases} { frac {1} { beta}} e ^ {- x / beta} & x geq 0, 0 & x <0. end {případy}}}$

Vlastnosti

Průměr, rozptyl, momenty a medián

Střední hodnota je pravděpodobnostní hmotnostní centrum, to je první okamžik.

Medián je preimage F⁻¹(1/2).

Průměr nebo očekávaná hodnota exponenciálně distribuované náhodné proměnné X s parametrem rychlosti λ je dán vztahem

${ displaystyle operatorname {E} [X] = { frac {1} { lambda}}.}$

Ve světle uvedených příkladů níže, to dává smysl: pokud přijímáte telefonní hovory průměrnou rychlostí 2 za hodinu, můžete očekávat, že na každý hovor počkáte půl hodiny.

The rozptyl z X je dána

${ displaystyle operatorname {Var} [X] = { frac {1} { lambda ^ {2}}},}$

takže standardní odchylka se rovná střední hodnotě.

The momenty z X, pro ${ displaystyle n in mathbb {N}}$ jsou dány

${ displaystyle operatorname {E} left [X ^ {n} right] = { frac {n!} { lambda ^ {n}}}.}$

The ústřední momenty z X, pro ${ displaystyle n in mathbb {N}}$ jsou dány

${ displaystyle mu _ {n} = { frac {! n} { lambda ^ {n}}} = { frac {n!} { lambda ^ {n}}} součet _ {k = 0 } ^ {n} { frac {(-1) ^ {k}} {k!}}.}$

kde!n je dílčí faktor z n

The medián z X je dána

${ displaystyle operatorname {m} [X] = { frac { ln (2)} { lambda}} < operatorname {E} [X],}$

kde ln odkazuje na přirozený logaritmus. Tak absolutní rozdíl mezi průměrem a mediánem je

${ displaystyle left | operatorname {E} left [X right] - operatorname {m} left [X right] right | = { frac {1- ln (2)} { lambda }} <{ frac {1} { lambda}} = operatorname { sigma} [X],}$

v souladu s medián-střední nerovnost.

Paměť

Exponenciálně distribuovaná náhodná proměnná T poslouchá vztah

${ Displaystyle Pr left (T> s + t mid T> s right) = Pr (T> t), qquad forall s, t geq 0.}$

To lze vidět zvážením doplňková kumulativní distribuční funkce:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} Pr doleva (T> s + t mid T> s doprava) & = { frac { Pr doleva (T> s + t cap T> s doprava )} { Pr left (T> s right)}} [4pt] & = { frac { Pr left (T> s + t right)} { Pr left (T> s right)}} [4pt] & = { frac {e ^ {- lambda (s + t)}} {e ^ {- lambda s}}} [4pt] & = e ^ { - lambda t} [4pt] & = Pr (T> t). end {zarovnáno}}}$

Když T je interpretován jako čekací doba na událost, která nastane ve vztahu k určitému počátečnímu času, z tohoto vztahu vyplývá, že pokud T je podmíněno nedodržením události po určitou počáteční dobu s, rozdělení zbývající doby čekání je stejné jako původní bezpodmínečné rozdělení. Například pokud k události nedošlo po 30 sekundách, ikona podmíněná pravděpodobnost tento výskyt bude trvat nejméně 10 dalších sekund, se rovná bezpodmínečné pravděpodobnosti pozorování události více než 10 sekund po počátečním čase.

Exponenciální rozdělení a geometrické rozdělení jsou jediné distribuce pravděpodobnosti bez paměti.

Exponenciální rozdělení je tedy nutně jediné spojité rozdělení pravděpodobnosti, které má konstantu Poruchovost.

Kvantily

Tukeyova kritéria pro anomálie.^{[Citace je zapotřebí ]}

The kvantilová funkce (funkce inverzní kumulativní distribuce) pro Exp (λ) je

${ displaystyle F ^ {- 1} (p; lambda) = { frac {- ln (1-p)} { lambda}}, qquad 0 leq p <1}$

The kvartily jsou tedy:

• první kvartil: ln (4/3) /λ
• medián: ln (2) /λ
• třetí kvartil: ln (4) /λ

A v důsledku toho Rozsah interkvartilní je ln (3) /λ.

Kullback – Leiblerova divergence

Režie Kullback – Leiblerova divergence v nats z ${ displaystyle e ^ { lambda}}$ ("přibližné" rozdělení) z ${ displaystyle e ^ { lambda _ {0}}}$ ('true' distribution) je dáno vztahem

${ displaystyle { begin {zarovnaný} Delta ( lambda _ {0} paralelní lambda) & = mathbb {E} _ { lambda _ {0}} left ( log { frac {p_ { lambda _ {0}} (x)} {p _ { lambda} (x)}} right) & = mathbb {E} _ { lambda _ {0}} left ( log { frac { lambda _ {0} e ^ {- lambda _ {0} x}} { lambda e ^ {- lambda x}}} vpravo) & = log ( lambda _ {0} ) - log ( lambda) - ( lambda _ {0} - lambda) E _ { lambda _ {0}} (x) & = log ( lambda _ {0}) - log ( lambda) + { frac { lambda} { lambda _ {0}}} - 1. end {zarovnáno}}}$

Maximální distribuce entropie

Mezi všemi spojitými rozděleními pravděpodobnosti s Podpěra, podpora [0, ∞) a střední μ, exponenciální rozdělení s λ = 1 / μ má největší diferenciální entropie. Jinými slovy, je to maximální rozdělení pravděpodobnosti entropie pro náhodné variace X který je větší nebo roven nule a pro který E [X] je opraveno.^[1]

Rozdělení minima exponenciálních náhodných proměnných

Nechat X₁, ..., X_n být nezávislý exponenciálně distribuované náhodné proměnné s parametry rychlosti λ₁, ..., λ_n. Pak

${ displaystyle min left {X_ {1}, dotsc, X_ {n} right }}$

je také exponenciálně distribuován s parametrem

${ displaystyle lambda = lambda _ {1} + dotsb + lambda _ {n}.}$

To lze vidět zvážením doplňková kumulativní distribuční funkce:

${ displaystyle { begin {aligned} & Pr left ( min {X_ {1}, dotsc, X_ {n} }> x right) = {} & Pr left (X_ {1}> x, dotsc, X_ {n}> x right) = {} & prod _ {i = 1} ^ {n} Pr left (X_ {i}> x right) = {} & prod _ {i = 1} ^ {n} exp left (-x lambda _ {i} right) = exp left (-x sum _ {i = 1} ^ {n} lambda _ {i} right). end {zarovnáno}}}$

Index proměnné, která dosahuje minima, se rozdělí podle kategoriálního rozdělení

${ displaystyle Pr left (k mid X_ {k} = min {X_ {1}, dotsc, X_ {n} } right) = { frac { lambda _ {k}} { lambda _ {1} + dotsb + lambda _ {n}}}.}$

Důkaz je následující:

${ displaystyle { text {Let}} I = operatorname {argmin} _ {i in {1, dotsb, n }} {X_ {1}, dotsc, X_ {n} }}$

${ displaystyle { begin {aligned} { text {then}} Pr (I = k) & = int _ {0} ^ { infty} Pr (X_ {k} = x) Pr (X_ {i neq k}> x) dx & = int _ {0} ^ { infty} lambda _ {k} e ^ {- lambda _ {k} x} left ( prod _ { i = 1, i neq k} ^ {n} e ^ {- lambda _ {i} x} right) dx & = lambda _ {k} int _ {0} ^ { infty} e ^ {- left ( lambda _ {1} + dotsb + lambda _ {n} right) x} dx & = { frac { lambda _ {k}} { lambda _ {1 } + dotsb + lambda _ {n}}}. end {zarovnáno}}}$

Všimněte si, že

${ displaystyle max {X_ {1}, dotsc, X_ {n} }}$

není exponenciálně distribuován.^[2]

Společné okamžiky i.i.d. statistika exponenciálního pořadí

Nechat ${ displaystyle X_ {1}, dotsc, X_ {n}}$ být ${ displaystyle n}$ nezávislé a identicky distribuované exponenciální náhodné proměnné s parametrem rychlosti λ. Nechat ${ displaystyle X _ {(1)}, dotsc, X _ {(n)}}$ označte odpovídající statistika objednávek. Pro ${ displaystyle i$ společný okamžik ${ displaystyle operatorname {E} doleva [X _ {(i)} X _ {(j)} doprava]}$ statistik objednávek ${ displaystyle X _ {(i)}}$ a ${ displaystyle X _ {(j)}}$ je dána

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {E} left [X _ {(i)} X _ {(j)} right] & = sum _ {k = 0} ^ {j-1} { frac {1} {(nk) lambda}} operatorname {E} left [X _ {(i)} right] + operatorname {E} left [X _ {(i)} ^ {2} right ] & = sum _ {k = 0} ^ {j-1} { frac {1} {(nk) lambda}} sum _ {k = 0} ^ {i-1} { frac {1} {(nk) lambda}} + sum _ {k = 0} ^ {i-1} { frac {1} {((nk) lambda) ^ {2}}} + left ( sum _ {k = 0} ^ {i-1} { frac {1} {(nk) lambda}} right) ^ {2}. end {zarovnáno}}}$

To lze vidět vyvoláním zákon úplného očekávání a vlastnost bez paměti:

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {E} left [X _ {(i)} X _ {(j)} right] & = int _ {0} ^ { infty} operatorname {E} left [X _ {(i)} X _ {(j)} mid X _ {(i)} = x right] f_ {X _ {(i)}} (x) , dx & = int _ {x = 0} ^ { infty} x operatorname {E} left [X _ {(j)} mid X _ {(j)} geq x right] f_ {X _ {(i)}} (x ) , dx && left ({ textrm {since}} ~ X _ {(i)} = x implikuje X _ {(j)} geq x right) & = int _ {x = 0} ^ { infty} x left [ operatorname {E} left [X _ {(j)} right] + x right] f_ {X _ {(i)}} (x) , dx && left ({ text {pomocí vlastnosti bez paměti}} vpravo) & = sum _ {k = 0} ^ {j-1} { frac {1} {(nk) lambda}} operatorname {E} vlevo [X _ {(i)} right] + operatorname {E} left [X _ {(i)} ^ {2} right]. End {aligned}}}$

První rovnice vyplývá z zákon úplného očekávání Druhá rovnice využívá skutečnosti, že jakmile ji podmíníme ${ displaystyle X _ {(i)} = x}$, to musí následovat ${ displaystyle X _ {(j)} geq x}$Třetí rovnice se spoléhá na vlastnost bez paměti, kterou je třeba nahradit ${ displaystyle operatorname {E} vlevo [X _ {(j)} uprostřed X _ {(j)} geq x vpravo]}$ s ${ displaystyle operatorname {E} doleva [X _ {(j)} doprava] + x}$.

Součet dvou nezávislých exponenciálních náhodných proměnných

Funkce rozdělení pravděpodobnosti (PDF) součtu dvou nezávislých náhodných proměnných je konvoluce jejich jednotlivých PDF. Li ${ displaystyle X_ {1}}$ a ${ displaystyle X_ {2}}$ jsou nezávislé exponenciální náhodné proměnné s příslušnými parametry rychlosti ${ displaystyle lambda _ {1}}$ a ${ displaystyle lambda _ {2},}$ pak hustota pravděpodobnosti ${ displaystyle Z = X_ {1} + X_ {2}}$ je dána

${ displaystyle { begin {aligned} f_ {Z} (z) & = int _ {- infty} ^ { infty} f_ {X_ {1}} (x_ {1}) f_ {X_ {2} } (z-x_ {1}) , dx_ {1} & = int _ {0} ^ {z} lambda _ {1} e ^ {- lambda _ {1} x_ {1}} lambda _ {2} e ^ {- lambda _ {2} (z-x_ {1})} , dx_ {1} & = lambda _ {1} lambda _ {2} e ^ { - lambda _ {2} z} int _ {0} ^ {z} e ^ {( lambda _ {2} - lambda _ {1}) x_ {1}} , dx_ {1} & = { begin {cases} { dfrac { lambda _ {1} lambda _ {2}} { lambda _ {2} - lambda _ {1}}} left (e ^ {- lambda _ {1} z} -e ^ {- lambda _ {2} z} right) & { text {if}} lambda _ {1} neq lambda _ {2} [4pt] lambda ^ {2} ze ^ {- lambda z} & { text {if}} lambda _ {1} = lambda _ {2} = lambda. end {případy}} end {zarovnáno}} }$

Entropie této distribuce je k dispozici v uzavřené formě: za předpokladu ${ displaystyle lambda _ {1}> lambda _ {2}}$ (bez ztráty obecnosti)

${ displaystyle { begin {aligned} H (Z) & = 1+ gamma + ln left ({ frac { lambda _ {1} - lambda _ {2}} { lambda _ {1} lambda _ {2}}} right) + psi left ({ frac { lambda _ {1}} { lambda _ {1} - lambda _ {2}}} right), end {zarovnaný}}}$

kde ${ displaystyle gamma}$ je Euler-Mascheroniho konstanta, a ${ displaystyle psi ( cdot)}$ je funkce digamma.^[3]

V případě parametrů stejné rychlosti je výsledkem Erlang distribuce s tvarem 2 a parametrem ${ displaystyle lambda,}$ což je zvláštní případ gama distribuce.

Související distribuce

Tato část obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tuto část představuji přesnější citace. (Březen 2011) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

• Li ${ displaystyle X sim operatorname {Laplace} left ( mu, beta ^ {- 1} right)}$ pak |X - μ | ~ Exp (β).
• Li X ~ Pareto (1, λ), poté se přihlaste (X) ~ Exp (λ).
• Li X ~ SkewLogistic (θ), pak ${ displaystyle log left (1 + e ^ {- X} right) sim operatorname {Exp} ( theta)}$.
• Li X_i ~ U(0, 1) pak

  ${ displaystyle lim _ {n to infty} n min left (X_ {1}, ldots, X_ {n} right) sim operatorname {Exp} (1)}$

• Exponenciální distribuce je limitem měřítka beta distribuce:

  ${ displaystyle lim _ {n to infty} n operatorname {Beta} (1, n) = operatorname {Exp} (1).}$

• Exponenciální distribuce je speciální případ typu 3 Pearsonova distribuce.
• Li X ~ Exp (λ) a X_i ~ Exp (λ_i) pak:
  • ${ displaystyle kX sim operatorname {Exp} left ({ frac { lambda} {k}} right)}$, uzavření při změně měřítka pozitivním faktorem.
  • 1 + X ~ BenktanderWeibull (λ, 1), která se redukuje na zkrácené exponenciální rozdělení.
  • ke^X ~ Pareto (k, λ).
  • E^-X ~ Beta (λ, 1).
  • 1/kE^X ~ PowerLaw (k, λ)
  • ${ displaystyle { sqrt {X}} sim operatorname {Rayleigh} left ({ frac {1} { sqrt {2 lambda}}} right)}$, Rayleighova distribuce
  • ${ displaystyle X sim operatorname {Weibull} vlevo ({ frac {1} { lambda}}, 1 vpravo)}$, Weibullova distribuce
  • ${ displaystyle X ^ {2} sim operatorname {Weibull} left ({ frac {1} { lambda ^ {2}}}, { frac {1} {2}} right)}$
  • μ - β log (λX) ∼ Gumbel (μ, β).
  • Pokud také Y ~ Erlang (n, λ) nebo${ displaystyle Y sim Gamma left (n, { frac {1} { lambda}} right)}$ pak ${ displaystyle { frac {X} {Y}} + 1 sim operatorname {Pareto} (1, n)}$
  • Pokud také λ ~ Gama (k, θ) (tvar, parametrizace měřítka), potom okrajové rozdělení X je Lomax (k, 1 / θ), gama směs
  • λ₁X₁ - λ₂Y₂ ~ Laplace (0, 1).
  • min {X₁, ..., X_n} ~ Exp (λ₁ + ... + λ_n).
  • Pokud také λ_i = λ pak:
    • ${ displaystyle X_ {1} + cdots + X_ {k} = součet _ {i} X_ {i} sim}$ Erlang (k, λ) = Gama (k, λ⁻¹) = Gama (k, λ) (v (k, θ) a (α, β) parametrizace) s parametrem k celočíselnému tvaru.
    • X_i − X_j ~ Laplace (0, λ⁻¹).
  • Pokud také X_i jsou nezávislé, pak:
    • ${ displaystyle { frac {X_ {i}} {X_ {i} + X_ {j}}}}$ ~ U (0, 1)
    • ${ displaystyle Z = { frac { lambda _ {i} X_ {i}} { lambda _ {j} X_ {j}}}}$ má funkci hustoty pravděpodobnosti ${ displaystyle f_ {Z} (z) = { frac {1} {(z + 1) ^ {2}}}}$. To lze použít k získání a interval spolehlivosti pro ${ displaystyle { frac { lambda _ {i}} { lambda _ {j}}}}$.
  • Pokud také λ = 1:
    • ${ displaystyle mu - beta log left ({ frac {e ^ {- X}} {1-e ^ {- X}}} right) sim operatorname {Logistic} ( mu, beta)}$, logistická distribuce
    • ${ displaystyle mu - beta log left ({ frac {X_ {i}} {X_ {j}}} right) sim operatorname {Logistic} ( mu, beta)}$
    • μ - σ log (X) ~ GEV (μ, σ, 0).
    • Dále pokud ${ displaystyle Y sim Gamma left ( alpha, { frac { beta} { alpha}} right)}$ pak ${ displaystyle { sqrt {XY}} sim operatorname {K} ( alpha, beta)}$ (K-distribuce )
  • Pokud také λ = 1/2, pak X ∼ χ²
    ₂; tj., X má distribuce chí-kvadrát s 2 stupně svobody. Proto:

    ${ displaystyle operatorname {Exp} ( lambda) = { frac {1} {2 lambda}} operatorname {exp} doleva ({ frac {1} {2}} doprava) sim { frac {1} {2 lambda}} chi _ {2} ^ {2} Rightarrow sum _ {i = 1} ^ {n} operatorname {Exp} ( lambda) sim { frac {1 } {2 lambda}} chi _ {2n} ^ {2}}$

• Li ${ displaystyle X sim operatorname {Exp} left ({ frac {1} { lambda}} right)}$ a ${ displaystyle Y mid X}$ ~ Jed(X) pak ${ displaystyle Y sim operatorname {Geometric} left ({ frac {1} {1+ lambda}} right)}$ (geometrické rozdělení )
• The Hoytova distribuce lze získat z exponenciálního rozdělení a arcsine distribuce

Další související distribuce:

• Hyperexponenciální distribuce - rozdělení, jehož hustota je váženým součtem exponenciálních hustot.
• Hypoexponenciální rozdělení - rozdělení obecného součtu exponenciálních náhodných proměnných.
• exGaussian distribuce - součet exponenciálního rozdělení a a normální distribuce.

Statistická inference

Níže předpokládejme náhodnou proměnnou X je exponenciálně distribuováno s parametrem rychlosti λ a ${ displaystyle x_ {1}, dotsc, x_ {n}}$ jsou n nezávislé vzorky z X, s průměrem vzorku ${ displaystyle { bar {x}}}$.

Odhad parametrů

The maximální pravděpodobnost odhad pro λ je konstruován následovně:

The funkce pravděpodobnosti pro λ, vzhledem k nezávislé a identicky distribuované vzorek X = (X₁, ..., X_n) čerpané z proměnné, je:

${ displaystyle L ( lambda) = prod _ {i = 1} ^ {n} lambda exp (- lambda x_ {i}) = lambda ^ {n} exp left (- lambda součet _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} right) = lambda ^ {n} exp left (- lambda n { overline {x}} right),}$

kde:

${ displaystyle { overline {x}} = { frac {1} {n}} součet _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}}$

je průměr vzorku.

Derivát logaritmu funkce pravděpodobnosti je:

${ displaystyle { frac {d} {d lambda}} ln L ( lambda) = { frac {d} {d lambda}} left (n ln lambda - lambda n { overline {x}} right) = { frac {n} { lambda}} - n { overline {x}} { begin {cases}> 0, & 0 < lambda <{ frac {1} { overline {x}}}, [8pt] = 0, & lambda = { frac {1} { overline {x}}}, [8pt] <0, & lambda> { frac {1} { overline {x}}}. End {cases}}}$

V důsledku toho maximální pravděpodobnost odhad parametru sazby je:

${ displaystyle { widehat { lambda}} = { frac {1} { overline {x}}} = { frac {n} { sum _ {i} x_ {i}}}}$

Tohle je ne an nezaujatý odhad z ${ displaystyle lambda,}$ Ačkoli ${ displaystyle { overline {x}}}$ je nezaujatý^[4] MLE^[5] odhadce ${ displaystyle 1 / lambda}$ a distribuční průměr.

Předpojatost ${ displaystyle { widehat { lambda}} _ { text {mle}}}$ je rovný

${ displaystyle b equiv operatorname {E} left [ left ({ widehat { lambda}} _ { text {mle}} - lambda right) right] = { frac { lambda} {n-1}}}$

který dává zkreslený odhad maximální pravděpodobnosti

${ displaystyle { widehat { lambda}} _ { text {mle}} ^ {*} = { widehat { lambda}} _ { text {mle}} - { widehat {b}}.}$

Přibližný minimalizátor očekávané čtvercové chyby

Předpokládejme, že máte alespoň tři vzorky. Pokud hledáme minimalizátor očekávaného střední čtvercová chyba (viz také: Bias – varianční kompromis ), který je podobný odhadu maximální pravděpodobnosti (tj. multiplikativní oprava odhadu pravděpodobnosti), kterou máme:

${ displaystyle { widehat { lambda}} = left ({ frac {n-2} {n}} right) left ({ frac {1} { bar {x}}} right) = { frac {n-2} { sum _ {i} x_ {i}}}}$

To je odvozeno od průměru a rozptylu inverzní gama distribuce: ${ textstyle { mbox {Inv-gama}} (n, lambda)}$.^[6]

Fisher informace

The Fisher informace, označeno ${ displaystyle { mathcal {I}} ( lambda)}$, pro odhad parametru rychlosti ${ displaystyle lambda}$ je uveden jako:

${ displaystyle { mathcal {I}} ( lambda) = operatorname {E} left [ left. left ({ frac { částečné} { částečné lambda}} log f (x; lambda) right) ^ {2} right | lambda right] = int left ({ frac { částečné} { částečné lambda}} log f (x; lambda) right) ^ {2} f (x; lambda) , dx}$

Zapojení do distribuce a řešení dává:

${ displaystyle { mathcal {I}} ( lambda) = int _ {0} ^ { infty} vlevo ({ frac { částečné} { částečné lambda}} log lambda e ^ { - lambda x} vpravo) ^ {2} lambda e ^ {- lambda x} , dx = int _ {0} ^ { infty} vlevo ({ frac {1} { lambda} } -x vpravo) ^ {2} lambda e ^ {- lambda x} , dx = lambda ^ {- 2}.}$

To určuje množství informací, které každý nezávislý vzorek exponenciálního rozdělení nese o neznámém parametru rychlosti ${ displaystyle lambda}$.

Intervaly spolehlivosti

Interval spolehlivosti 100 (1 - α)% pro parametr rychlosti exponenciálního rozdělení je dán vztahem:^[7]

${ displaystyle { frac {2n} {{ widehat { lambda}} chi _ {1 - { frac { alpha} {2}}, 2n} ^ {2}}} <{ frac {1 } { lambda}} <{ frac {2n} {{ widehat { lambda}} chi _ {{ frac { alpha} {2}}, 2n} ^ {2}}}}$

což se také rovná:

${ displaystyle { frac {2n { overline {x}}} { chi _ {1 - { frac { alpha} {2}}, 2n} ^ {2}}} <{ frac {1} { lambda}} <{ frac {2n { overline {x}}} { chi _ {{ frac { alpha} {2}}, 2n} ^ {2}}}}$

kde χ²
_str,proti je 100(str) percentil z chi čtvercová distribuce s proti stupně svobody, n je počet pozorování časů mezi příchody ve vzorku a x-bar je průměr vzorku. Jednoduchou aproximaci přesných koncových bodů intervalu lze odvodit pomocí normální aproximace k χ²
_str,proti rozdělení. Tato aproximace poskytuje následující hodnoty pro 95% interval spolehlivosti:

${ displaystyle { begin {aligned} lambda _ { text {lower}} & = { widehat { lambda}} left (1 - { frac {1,96} { sqrt {n}}} right ) lambda _ { text {upper}} & = { widehat { lambda}} left (1 + { frac {1,96} { sqrt {n}}} right) end {zarovnáno} }}$

Tato aproximace může být přijatelná pro vzorky obsahující alespoň 15 až 20 prvků.^[8]

Bayesovský závěr

The před konjugátem pro exponenciální rozdělení je gama distribuce (z toho je exponenciální rozdělení zvláštním případem). Je užitečná následující parametrizace funkce hustoty pravděpodobnosti gama:

${ displaystyle operatorname {Gamma} ( lambda; alpha, beta) = { frac { beta ^ { alpha}} { Gamma ( alpha)}} lambda ^ { alpha -1} exp (- lambda beta).}$

The zadní distribuce str pak lze vyjádřit pomocí funkce pravděpodobnosti definované výše a gama před:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} p ( lambda) & propto L ( lambda) gama ( lambda; alfa, beta) & = lambda ^ {n} exp left (- lambda n { overline {x}} right) { frac { beta ^ { alpha}} { Gamma ( alpha)}} lambda ^ { alpha -1} exp (- lambda beta) & propto lambda ^ {( alpha + n) -1} exp (- lambda left ( beta + n { overline {x}} right)). end {zarovnáno} }}$

Nyní zadní hustota str byl zadán až po chybějící normalizační konstantu. Vzhledem k tomu, že má formu souboru gama pdf, lze jej snadno vyplnit a jeden získá:

${ displaystyle p ( lambda) = Gamma ( lambda; alpha + n, beta + n { overline {x}}).}$

Tady hyperparametr α lze interpretovat jako počet předchozích pozorování a β jako součet předchozích pozorování. Zadní průměr zde je:

${ displaystyle { frac { alpha + n} { beta + n { overline {x}}}}.}$

Výskyt a aplikace

Výskyt událostí

K exponenciálnímu rozdělení dochází přirozeně při popisu délek časů příchodu v homogenním stavu Poissonův proces.

Na exponenciální rozdělení lze pohlížet jako na souvislý protějšek geometrické rozdělení, který popisuje počet Bernoulliho zkoušky nezbytné pro a oddělený proces změny stavu. Naproti tomu exponenciální distribuce popisuje čas, po který může kontinuální proces změnit stav.

V reálných scénářích je předpoklad konstantní rychlosti (nebo pravděpodobnosti za jednotku času) zřídka splněn. Například míra příchozích telefonních hovorů se liší podle denní doby. Pokud se ale zaměříme na časový interval, během kterého je rychlost zhruba konstantní, například od 14 do 16 hodin. během pracovních dnů lze exponenciální rozdělení použít jako dobrý přibližný model pro dobu do příchodu dalšího telefonního hovoru. Podobné upozornění platí pro následující příklady, které přinášejí přibližně exponenciálně distribuované proměnné:

• Čas do radioaktivity rozpad částic, nebo čas mezi kliknutími a Geigerův počítač
• Čas potřebný do dalšího telefonního hovoru
• Doba do selhání (při platbě držitelům dluhů společnosti) ve snížené formě modelování úvěrového rizika

Exponenciální proměnné lze také použít k modelování situací, kdy k určitým událostem dochází s konstantní pravděpodobností na jednotku délky, jako je vzdálenost mezi mutace na DNA vlákno, nebo mezi roadkills na dané silnici.

v teorie front „Servisní časy agentů v systému (např. jak dlouho trvá, než bankovní pokladník obslouží zákazníka) jsou často modelovány jako exponenciálně distribuované proměnné. (Například příchod zákazníků je také modelován Poissonovo rozdělení pokud jsou příchozí nezávislí a distribuovaní shodně.) Délka procesu, který lze považovat za posloupnost několika nezávislých úkolů, sleduje Erlang distribuce (což je rozdělení součtu několika nezávislých exponenciálně distribuovaných proměnných).Teorie spolehlivosti a spolehlivostní inženýrství také hojně využívejte exponenciální rozdělení. Kvůli bez paměti Vlastnost této distribuce je vhodná pro modelování konstanty míra rizika část křivka vany používá se v teorii spolehlivosti. Je to také velmi výhodné, protože se snadno přidává poruchovost v modelu spolehlivosti. Exponenciální distribuce však není vhodná k modelování celkové životnosti organismů nebo technických zařízení, protože „míra selhání“ zde není konstantní: k selhání dochází u velmi mladých a velmi starých systémů.

Přizpůsobeno kumulativní exponenciální distribuci na roční maximálně 1denní srážky CumFreq^[9]

v fyzika, pokud pozorujete a plyn pevně teplota a tlak v uniformě gravitační pole, výšky různých molekul také sledují přibližné exponenciální rozdělení, známé jako Barometrický vzorec. To je důsledek entropické vlastnosti zmíněné níže.

v hydrologie, exponenciální rozdělení se používá k analýze extrémních hodnot takových proměnných, jako jsou měsíční a roční maximální hodnoty denních srážek a průtoků řek.^[10]

Modrý obrázek ilustruje příklad přizpůsobení exponenciálního rozdělení ročně maximálním jednodenním srážkám, přičemž ukazuje také 90% pás spolehlivosti založeno na binomická distribuce. Údaje o srážkách jsou reprezentovány vykreslování pozic jako součást kumulativní frekvenční analýza.

Předpověď

Po pozorování vzorku n datové body z neznámého exponenciálního rozdělení je běžným úkolem použít tyto vzorky k vytváření předpovědí o budoucích datech ze stejného zdroje. Běžnou prediktivní distribucí přes budoucí vzorky je takzvaná distribuce zásuvných modulů, vytvořená připojením vhodného odhadu pro parametr rychlosti λ do funkce exponenciální hustoty. Běžnou volbou odhadu je ten, který poskytuje zásada maximální pravděpodobnosti, a jeho použitím se získá prediktivní hustota v budoucím vzorku. X_n+1podmíněné pozorovanými vzorky X = (X₁, ..., X_n) dána

${ displaystyle p _ { rm {ML}} (x_ {n + 1} mid x_ {1}, ldots, x_ {n}) = left ({ frac {1} { overline {x}} } right) exp left (- { frac {x_ {n + 1}} { overline {x}}} right)}$

Bayesovský přístup poskytuje prediktivní rozdělení, které bere v úvahu nejistotu odhadovaného parametru, i když to může zásadně záviset na volbě předchozího.

Prediktivní distribuce bez problémů s výběrem priorit, které vznikají na základě subjektivního bayesovského přístupu, je

${ displaystyle p _ { rm {CNML}} (x_ {n + 1} mid x_ {1}, ldots, x_ {n}) = { frac {n ^ {n + 1} left ({ overline {x}} right) ^ {n}} { left (n { overline {x}} + x_ {n + 1} right) ^ {n + 1}}},}$

které lze považovat za

1. frekventant rozdělení důvěry, získané z distribuce stěžejní veličiny ${ displaystyle {x_ {n + 1}} / { overline {x}}}$;^[11]
2. profilová prediktivní pravděpodobnost, získaná eliminací parametru λ ze společné pravděpodobnosti X_n+1 a λ maximalizací;^[12]
3. objektivní Bayesian prediktivní zadní distribuce, získané pomocí non-informativní Jeffreys před 1/λ;
4. podmíněné normalizované maximální pravděpodobnosti (CNML) prediktivní distribuce z informací teoretických úvah.^[13]

Přesnost prediktivního rozdělení lze měřit pomocí vzdálenosti nebo divergence mezi skutečným exponenciálním rozdělením s parametrem rychlosti, λ₀a prediktivní distribuce na základě vzorku X. The Kullback – Leiblerova divergence je běžně používaná míra rozdílu mezi dvěma distribucemi bez parametrizace. Nechat Δ (λ₀||str) označují Kullback – Leiblerovu divergenci mezi exponenciálem s parametrem rate λ₀ a prediktivní distribuce str lze to ukázat

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {E} _ { lambda _ {0}} left [ Delta ( lambda _ {0} parallel p _ { rm {ML}}) right] & = psi (n) + { frac {1} {n-1}} - log (n) operatorname {E} _ { lambda _ {0}} left [ Delta ( lambda _ {0} parallel p _ { rm {CNML}}) right] & = psi (n) + { frac {1} {n}} - log (n) end {zarovnáno}}}$

kde se bere očekávání s ohledem na exponenciální rozdělení s parametrem rychlosti λ₀ ∈ (0, ∞), a · (·) je funkce digamma. Je jasné, že prediktivní distribuce CNML je striktně lepší než distribuce plug-inů s maximální pravděpodobností, pokud jde o průměrnou Kullback – Leiblerovu divergenci pro všechny velikosti vzorků n > 0.

Výpočtové metody

Generování exponenciálních variací

Koncepčně velmi jednoduchá metoda pro generování exponenciálu se liší je založeno na vzorkování inverzní transformace: Vzhledem k náhodnému variaci U čerpáno z rovnoměrné rozdělení v jednotkovém intervalu (0, 1), variát

${ displaystyle T = F ^ {- 1} (U)}$

má exponenciální rozdělení, kde F ⁻¹ je kvantilová funkce, definován

${ displaystyle F ^ {- 1} (p) = { frac {- ln (1-p)} { lambda}}.}$

Navíc pokud U je jednotné na (0, 1), pak je také 1 - U. To znamená, že lze generovat exponenciální variace takto:

${ displaystyle T = { frac {- ln (U)} { lambda}}.}$

O dalších metodách generování exponenciálních variací pojednává Knuth^[14] a Devroye.^[15]

K dispozici je také rychlá metoda pro generování množiny připravených exponenciálních variací bez použití rutiny třídění.^[15]

Viz také

• Mrtvý čas - aplikace exponenciálního rozdělení na analýzu detektoru částic.
• Laplaceova distribuce, nebo „dvojité exponenciální rozdělení“.
• Vztahy mezi distribucemi pravděpodobnosti
• Marshall – Olkinova exponenciální distribuce

Reference

externí odkazy

• „Exponenciální distribuce“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Online kalkulačka exponenciální distribuce