Q-exponenciální rozdělení - Q-exponential distribution

q-exponenciální distribuce

Funkce hustoty pravděpodobnosti
Parametry	${ displaystyle q <2}$ tvar (nemovitý ) ${ displaystyle lambda> 0}$ hodnotit (nemovitý )
Podpěra, podpora	${ displaystyle x in [0, infty) { text {for}} q geq 1}$ ${ displaystyle x in left [0, { frac {1} { lambda (1-q)}} right) { text {for}} q <1}$
PDF	${ displaystyle (2-q) lambda e_ {q} ^ {- lambda x}}$
CDF	${ displaystyle 1-e_ {q '} ^ {- lambda x / q'} { text {kde}} q '= { frac {1} {2-q}}}$
Znamenat	${ displaystyle { frac {1} { lambda (3-2q)}} { text {pro}} q <{ frac {3} {2}}}$ Jinak nedefinováno
Medián	${ displaystyle { frac {-q ' ln _ {q'} (1/2)} { lambda}} { text {kde}} q '= { frac {1} {2-q}} }$
Režim	0
Rozptyl	${ displaystyle { frac {q-2} {(2q-3) ^ {2} (3q-4) lambda ^ {2}}} { text {pro}} q <{ frac {4} { 3}}}$
Šikmost	${ displaystyle { frac {2} {5-4q}} { sqrt { frac {3q-4} {q-2}}} { text {for}} q <{ frac {5} {4 }}}$
Př. špičatost	${ displaystyle 6 { frac {-4q ^ {3} + 17q ^ {2} -20q + 6} {(q-2) (4q-5) (5q-6)}} { text {pro}} q <{ frac {6} {5}}}$

The q-exponenciální distribuce je rozdělení pravděpodobnosti vyplývající z maximalizace Tsallisova entropie za vhodných omezení, včetně omezení domény na pozitivní. Je to jeden příklad a Distribuce Tsallis. The q-exponenciální je zobecnění exponenciální rozdělení stejným způsobem, jakým je Tsallisova entropie zobecněním standardu Boltzmann – Gibbsova entropie nebo Shannonova entropie.^[1] Exponenciální rozdělení je obnoveno jako ${ displaystyle q rightarrow 1.}$

Původně navrhli statistici George Box a David Cox v roce 1964,^[2] a známý jako reverzní Box – Coxova transformace pro ${ displaystyle q = 1- lambda,}$ konkrétní případ výkonová transformace ve statistikách.

Charakterizace

Funkce hustoty pravděpodobnosti

The q-exponenciální rozdělení má funkci hustoty pravděpodobnosti

${ displaystyle (2-q) lambda e_ {q} (- lambda x)}$

kde

${ displaystyle e_ {q} (x) = [1+ (1-q) x] ^ {1 / (1-q)}}$

je q-exponenciální -li q ≠ 1. Když q = 1, E_q(x) je jen exp (X).

Derivace

V podobném postupu jako exponenciální rozdělení lze odvodit (pomocí standardní Boltzmann – Gibbsovy entropie nebo Shannonovy entropie a omezení domény proměnné jako kladné), q-exponenciální distribuci lze odvodit z maximalizace Tsallis Entropy s příslušnými omezeními.

Vztah k jiným distribucím

The q-exponenciální je speciální případ zobecněná Paretova distribuce kde

${ displaystyle mu = 0, quad xi = { frac {q-1} {2-q}}, quad sigma = { frac {1} { lambda (2-q)}}. }$

The q-exponenciální je zobecnění Distribuce Lomax (Pareto Type II), protože rozšiřuje tuto distribuci na případy konečné podpory. Parametry Lomax jsou:

${ displaystyle alpha = { frac {2-q} {q-1}}, quad lambda _ { mathrm {Lomax}} = { frac {1} { lambda (q-1)}} .}$

Protože distribuce Lomax je posunutou verzí Paretova distribuce, q-exponenciální je posunutá reparametrizovaná generalizace Pareto. Když q > 1, q-exponenciální je ekvivalentní s Paretovým posunem, který má podporu začínající na nule. Konkrétně pokud

${ displaystyle X sim operatorname {{{ mathit {q}} - Exp} (q, lambda) { text {a}} Y sim left [ operatorname {Pareto} left (x_ {m} = { frac {1} { lambda (q-1)}}, alpha = { frac {2-q} {q-1}} right) -x_ {m} right],}$

pak ${ displaystyle X sim Y.}$

Generování náhodných odchylek

Náhodné odchylky lze nakreslit pomocí vzorkování inverzní transformace. Vzhledem k proměnné U který je potom rovnoměrně rozložen na interval (0,1)

${ displaystyle X = { frac {-q ' ln _ {q'} (U)} { lambda}} sim operatorname {{ mathit {q}} - Exp} (q, lambda)}$

kde ${ displaystyle ln _ {q '}}$ je q-logaritmus a ${ displaystyle q '= { frac {1} {2-q}}.}$

Aplikace

Být a výkonová transformace, je to obvyklá technika ve statistice pro stabilizaci rozptylu, čímž se data stávají běžnějšími distribučními a zlepšují platnost asociačních měr, jako je Pearsonova korelace mezi proměnnými. Bylo zjištěno, že jde o přesný model zpoždění vlaků.^[3]To je také nalezené v atomové fyzice a kvantové optice, například procesy tvorby molekulárního kondenzátu přechodem přes Feshbachovu rezonanci.^[4]

Viz také

• Constantino Tsallis
• Statistiky Tsallis
• Tsallisova entropie
• Distribuce Tsallis
• q-spona
• q-Gaussian

Poznámky

Další čtení

• Juniper, J. (2007) „Distribuce Tsallis a zobecněná entropie: vyhlídky na budoucí výzkum rozhodování za nejistoty“, Centrum plné zaměstnanosti a spravedlnosti, The University of Newcastle, Australia

externí odkazy

• Statistika Tsallis, statistická mechanika pro nerozsáhlé systémy a interakce na velké vzdálenosti