Laplacian indikátoru - Laplacian of the indicator

tento článek může být pro většinu čtenářů příliš technická na to, aby je pochopili. Prosím pomozte to vylepšit na aby to bylo srozumitelné pro neodborníky, aniž by byly odstraněny technické podrobnosti. (Leden 2013) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

V matematice je Laplacian indikátoru domény D je zobecněním derivátu Diracova delta funkce do vyšších dimenzí a je nenulová pouze na povrch z D. Lze jej zobrazit jako povrchová delta primární funkce. Je analogický s druhou derivací Funkce Heaviside step v jedné dimenzi. Lze jej získat pronajmutím Operátor Laplace práce na funkce indikátoru nějaké domény D.

Laplacian indikátoru lze považovat za nekonečně pozitivní a negativní hodnoty, když se hodnotí velmi blízko hranice domény D. Z matematického hlediska to není striktně funkce, ale a zobecněná funkce nebo opatření. Podobně jako derivace Diracova delta funkce v jedné dimenzi má laplaciánský indikátor smysl pouze jako matematický objekt, když se objeví pod integrálním znaménkem; tj. je to distribuční funkce. Stejně jako ve formulaci teorie distribuce je v praxi považován za limit posloupnosti hladkých funkcí; jeden může smysluplně vzít Laplacian a bump funkce, což je podle definice plynulé, a nechte funkci bump přiblížit se k indikátoru v limitu.

Dějiny

Aproximace záporné indikační funkce elipsy v rovině (vlevo), derivace ve směru kolmém k hranici (uprostřed) a její laplacián (vpravo). V limitu jde graf úplně doprava k (zápornému) laplaciaci indikátoru. Čistě intuitivně řečeno, graf zcela vpravo připomíná eliptický hrad s hradební zdí uvnitř a příkopem před ním; v limitu se zeď a příkop stávají nekonečně vysokými a hlubokými (a úzkými).

Paul Dirac představil Dirac δ-funkce, jak je známo, již v roce 1930.^[1] Jednorozměrný Dirac δ-funkce je nenulová pouze v jednom bodě. Stejně tak je vícerozměrné zobecnění, jak se obvykle provádí, nenulové pouze v jednom bodě. V kartézských souřadnicích je d-dimenzionální Dirac δ-funkce je produktem d jednorozměrný δ-funkce; jeden pro každou kartézskou souřadnici (viz např. zobecnění delta funkce Dirac ).

Je však možné jiné zobecnění. Bod nula, v jedné dimenzi, lze považovat za hranici kladné poloviční čáry. Funkce 1_X>0 rovná se 1 na kladné půlce a jinak nula a je také známá jako Funkce Heaviside step. Formálně Dirac δ-funkce a její derivace může být považována za první a druhou derivaci Heavisideovy krokové funkce, tj. ∂_X1_X>0 a ${ displaystyle částečné _ {x} ^ {2} mathbf {1} _ {x> 0}}$.

Analogem funkce kroku ve vyšších dimenzích je funkce indikátoru, kterou lze zapsat jako 1_X∈D, kde D je nějaká doména. Indikační funkce je také známá jako charakteristická funkce. Analogicky s jednorozměrným případem, následující vyšší dimenzionální zobecnění Dirac δ-funkce a její derivát byly navrženy:^[2]

${ displaystyle { begin {aligned} delta (x) & to -n_ {x} cdot nabla _ {x} mathbf {1} _ {x v D}, delta '(x ) & to nabla _ {x} ^ {2} mathbf {1} _ {x in D}. end {aligned}}}$

Tady n je navenek normální vektor. Tady Dirac δ-funkce je zobecněna na a funkce povrchové delty na hranici nějaké domény D v d ≥ 1 rozměry. Tato definice zahrnuje obvyklý jednorozměrný případ, kdy je doména považována za kladnou poloviční čáru. Je nulová, s výjimkou hranice domény D (kde je nekonečný) a integruje se do celku plocha povrchu přiložení D, jak je znázorněno níže.

Dirac δ '-funkce je zobecněna na a povrchová delta primární funkce na hranici nějaké domény D v d ≥ 1 rozměry. V jedné dimenzi a tím, že D rovná se kladné půlčísli, obvyklé jednorozměrné δ '-funkce může být obnovena.

Normální derivace indikátoru i lalaciánský indikátor jsou podporovány pomocí povrchy spíše než bodů. Zobecnění je užitečné např. kvantová mechanika, protože povrchové interakce mohou vést k okrajovým podmínkám v d>1, zatímco bodové interakce nemohou. Bodové a povrchové interakce se přirozeně shodují d= 1. Interakce povrchů i bodů mají v kvantové mechanice dlouhou historii a existuje rozsáhlá literatura o takzvaných povrchových delta potenciálech nebo interakcích delta-koule.^[3] Funkce povrchové delty používají jednorozměrný Dirac δ-funkce, ale jako funkce radiální souřadnice r, např. δ (r−R) kde R je poloměr koule.

Ačkoli se zdají být špatně definované, lze deriváty funkce indikátoru formálně definovat pomocí teorie distribucí nebo zobecněné funkce: lze získat přesně definovaný předpis postulováním, že například Laplacian indikátoru je definován dvěma integrace po částech když se objeví pod integrálním znaménkem. Alternativně lze indikátor (a jeho deriváty) aproximovat pomocí a bump funkce (a jeho deriváty). Mez, kde se funkce (hladkého) nárazu blíží funkci indikátoru, musí být poté uvedena mimo integrál.

Diracova povrchová delta primární funkce

Tato část prokáže, že laplaciánský indikátor je a povrchová delta primární funkce. The funkce povrchové delty bude zváženo níže.

Nejprve pro funkci F v intervalu (A,b), připomenout základní věta o počtu

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} { frac { parciální f (x)} { parciální x}} , dx = { underset {x nearrow b} { lim}} f ( x) - { podmnožina {x searrow a} { lim}} f (x),}$

za předpokladu, že F je místně integrovatelný. Nyní pro A < b z toho vyplývá, že postupováním heuristicky to

${ displaystyle { begin {aligned} int _ {- infty} ^ {+ infty} { frac { částečné ^ {2} mathbf {1} _ {a$

Tady 1_A<X<b je funkce indikátoru domény A < X < b. Indikátor se rovná jedné, když je splněna podmínka v dolním indexu, a jinak nula. V tomto výpočtu dva integrace po částech ukázat, že platí první rovnost; hraniční podmínky jsou nulové, když A a b jsou konečné, nebo kdy F zmizí v nekonečnu. Poslední rovnost ukazuje a součet vnějších normálních derivátů, kde je součet přes hraniční body A a b, a kde značky následují směrem ven (tj. pozitivní pro b a negativní pro A). Ačkoli deriváty ukazatele formálně neexistují, dodržování obvyklých pravidel částečné integrace poskytuje „správný“ výsledek. Když uvažujeme o konečné d-dimenzionální doména DOčekává se, že se součet nad vnějšími běžnými deriváty stane integrální, což lze potvrdit následovně:

${ displaystyle { begin {aligned} int _ { mathbf {R} ^ {d}} nabla _ {x} ^ {2} mathbf {1} _ {x v D} , f (x ) ; dx & = int _ { mathbf {R} ^ {d}} mathbf {1} _ {x v D} , nabla _ {x} ^ {2} f (x) ; dx , & = int _ {D} , nabla _ {x} ^ {2} f (x) ; dx, & = mast _ { částečné D} , { podmnožina { alpha to beta} { lim}} n _ { beta} cdot nabla _ { alpha} f ( alpha) ; d beta. end {zarovnáno}}}$

První rovnost opět následuje dvěma integracemi po částech (ve vyšších dimenzích to pokračuje Greenova druhá identita ) kde okrajové podmínky zmizí, pokud je doména D je konečný nebo pokud F mizí v nekonečnu; např. oba 1_X∈D a ∇_X1_X∈D jsou nulové při hodnocení na „hranici“ R^d když doména D je konečný. Třetí rovnost následuje věta o divergenci a opět ukazuje součet (nebo v tomto případě integrál) vnějších normálních derivací přes všechna okrajová místa. Věta o divergenci je platná pro po částech hladké domény D, a tedy D musí být po částech hladké.

Tak Dirac δ '-funkce může být zobecněna tak, aby existovala na kousek hladkém povrchu, tím, že vezme Laplacian indikátoru domény D což dalo vzniknout tomuto povrchu. Rozdíl mezi bodem a povrchem přirozeně zmizí v jedné dimenzi.

V elektrostatice je to povrchový dipól (nebo Potenciál dvou vrstev ) lze modelovat omezujícím rozložením laplacianského indikátoru.

Výše uvedený výpočet pochází z výzkumu integrálů cest v kvantové fyzice.^[2]

Diracova povrchová delta funkce

Tato část prokáže, že (vnitřní) normální derivace indikátoru je a funkce povrchové delty.

Pro konečnou doménu D nebo kdy F zmizí v nekonečnu, následuje věta o divergenci že

${ displaystyle int _ { mathbf {R} ^ {d}} nabla _ {x} ^ {2} left ( mathbf {1} _ {x in D} , f (x) right ) ; dx = 0.}$

Podle produktové pravidlo, z toho vyplývá, že

${ displaystyle int _ { mathbf {R} ^ {d}} , nabla _ {x} ^ {2} mathbf {1} _ {x v D} , f (x) ; dx + int _ { mathbf {R} ^ {d}} mathbf {1} _ {x v D} , nabla _ {x} ^ {2} f (x) ; dx = -2 int _ { mathbf {R} ^ {d}} nabla _ {x} mathbf {1} _ {x v D} cdot nabla _ {x} f (x) ; dx.}$

Vyplývá to z analýzy sekce výše, dva pojmy na levé straně jsou stejné, a tedy

${ displaystyle mast _ { částečné D} , { podmnožina { alpha to beta} { lim}} n _ { beta} cdot nabla _ { alpha} f ( alpha) ; d beta = - displaystyle int _ { mathbf {R} ^ {d}} nabla _ {x} mathbf {1} _ {x v D} cdot nabla _ {x} f (x ) ; dx.}$

Gradient indikátoru zmizí všude, s výjimkou blízkosti hranice D, kde ukazuje v normálním směru. Proto pouze složka ∇_XF(X) v normálním směru je relevantní. Předpokládejme, že blízko hranice ∇_XF(X) je rovný n_XG(X), kde G je nějaká další funkce. Potom z toho vyplývá

${ displaystyle mast _ { částečné D} , g ( beta) ; d beta = - int _ { mathbf {R} ^ {d}} , nabla _ {x} mathbf { 1} _ {x v D} , cdot , n_ {x} , g (x) ; dx.}$

Navenek normální n_X byl původně definován pouze pro X v povrchu, ale lze definovat, že existuje pro všechny X; například tak, že vezmeme vnější normálu hraničního bodu nejblíže k X.

Výše uvedená analýza ukazuje, že -n_X ⋅ ∇_X1_X∈D lze považovat za plošné zobecnění jednorozměrného Diracova delta funkce. Nastavením funkce G rovná jedné, vyplývá z toho, že dovnitř normální derivace indikátoru se integruje do plocha povrchu z D.

V elektrostatice jsou hustoty povrchového náboje (nebo jednotlivé mezní vrstvy) lze modelovat pomocí funkce delta povrchu, jak je uvedeno výše. Obvyklý Diracova delta funkce v některých případech použít, např. když je povrch sférický. Obecně lze zde popsanou funkci delta povrchu použít k vyjádření hustoty povrchového náboje na povrchu jakéhokoli tvaru.

Výpočet výše pochází z výzkumu integrálů dráhy v kvantové fyzice.^[2]

Aproximace pomocí funkcí bump

Tato část ukazuje, jak lze deriváty indikátoru zpracovat numericky pod integrálním znaménkem.

V zásadě nelze indikátor odlišit numericky, protože jeho derivace je buď nulová, nebo nekonečná. Z praktických důvodů lze ale indikátor přiblížit pomocí a bump funkce, značeno pomocí Já_ε(X) a přiblížení k indikátoru pro ε → 0. Je možné několik možností, ale je vhodné nechat funkci bump nezápornou a přiblížit se k indikátoru zespodu, tj.

${ displaystyle { begin {aligned} 0 leq I _ { varepsilon} (x) & leq mathbf {1} _ {{x} in D} quad forall varepsilon> 0 { podmnožina { varepsilon searrow 0} { lim}} ; I _ { varepsilon} (x) & = mathbf {1} _ {x in D} end {zarovnáno}}}$

Tím je zajištěno, že rodina funkcí bump je identicky mimo D. To je výhodné, protože je možné, že funkce F je definován pouze v interiér z D. Pro F definováno v D, tak získáme následující:

${ displaystyle { begin {aligned} - { underset { varepsilon searrow 0} { lim}} int _ { mathbf {R} ^ {d}} , f (x) , n_ {x } cdot nabla _ {x} I _ { varepsilon} (x) ; dx & = masti _ { částečné D} , { podmnožina { alpha na beta} { lim}} f ( alpha) ; d beta, { podmnožina { varepsilon searrow 0} { lim}} , int _ { mathbf {R} ^ {d}} nabla _ {x} ^ {2 } I _ { varepsilon} (x) , f (x) ; dx & = mast _ { částečné D} , { podmnožina { alpha to beta} { lim}} n _ { beta} cdot nabla _ { alpha} f ( alpha) ; d beta, end {zarovnáno}}}$

kde se vnitřní souřadnice α blíží hraniční souřadnici β z vnitřku D, a kde není požadavek na F existovat mimo D.

Když F je definován na obou stranách hranice a je dále diferencovatelný přes hranici D, pak je méně důležité, jak se funkce nárazu přiblíží k indikátoru.

Diskontinuální testovací funkce

Pokud je testovací funkce F je možná diskontinuální přes hranici, pak lze použít teorii distribuce pro diskontinuální funkce k pochopení povrchových distribucí, viz např. sekce V v.^[4] V praxi to pro funkci povrchové delty obvykle znamená průměrování hodnoty F na obou stranách hranice D před integrací přes hranici. Stejně tak pro primární povrchovou delta funkci to obvykle znamená zprůměrování vnější normální derivace F na obou stranách hranice domény D před integrací přes hranici.

Aplikace

Kvantová mechanika

v kvantová mechanika, bodové interakce jsou dobře známy a na toto téma existuje velké množství literatury. Známým příkladem jednorozměrného singulárního potenciálu je Schrödingerova rovnice s Diracovým delta potenciálem.^[5][6] Jednorozměrná Diracova delta primární potenciál na druhé straně vyvolal polemiku.^[7][8][9] Spor byl zdánlivě urovnán nezávislým dokumentem,^[10] i když i tento dokument přilákal pozdější kritiku.^[2][11]

V poslední době byla mnohem větší pozornost věnována jednorozměrnému potenciálu Dirac delta.^{[12][13][14][15][16][17][18][19][20][21][22][23][24][25][26][27][28]}

Bod na jednorozměrné přímce lze považovat jak za bod, tak za povrch; jako bod označuje hranici mezi dvěma oblastmi. Byly tedy provedeny dvě zobecnění delta funkce Dirac do vyšších dimenzí: zobecnění do vícerozměrného bodu,^[29][30] stejně jako zobecnění na vícerozměrný povrch.^{[2][31][32][33][34]}

První generalizace jsou známé jako bodové interakce, zatímco druhé jsou známy pod různými názvy, např. „interakce delta-koule“ a „interakce povrchové delty“. Druhá zevšeobecnění mohou využívat deriváty indikátoru, jak je vysvětleno zde, nebo jednorozměrný Dirac δ-funkce jako funkce radiální souřadnice r.

Dynamika tekutin

Laplacian indikátoru byl použit v dynamice tekutin, např. modelovat rozhraní mezi různými médii.^{[35][36][37][38][39][40]}

Rekonstrukce povrchu

Divergence indikátoru a lalaciánského indikátoru (nebo charakteristická funkce, protože indikátor je také známý) byly použity jako ukázkové informace, ze kterých lze povrchy rekonstruovat.^[41][42]

Viz také

• Distribuce (matematika)
• Zobecněná funkce
• Diracova delta funkce
• Funkce indikátoru
• Delta potenciál
• Teorie potenciálu
• Elektrostatika
• Potenciál dvou vrstev

Reference