Diskrétní fázové rozdělení - Discrete phase-type distribution

The diskrétní fázová distribuce je rozdělení pravděpodobnosti, které je výsledkem systému jednoho nebo více vzájemně propojených geometrické rozdělení vyskytující se v pořadí nebo fázích. Pořadí, ve kterém se jednotlivé fáze vyskytují, může být samo o sobě a stochastický proces. Distribuci lze reprezentovat náhodnou proměnnou popisující dobu do absorpce absorbující Markovův řetězec s jedním absorbujícím stavem. Každý ze států Markovova řetězce představuje jednu z fází.

Má to nepřetržitý čas ekvivalent v distribuce fázového typu.

Definice

A ukončuje Markovův řetězec je Markovův řetězec kde všechny stavy jsou přechodné, kromě jednoho, který pohlcuje. Uspořádání stavů, matice pravděpodobnosti přechodu ukončovacího Markovova řetězce s ${displaystyle m}$ přechodné stavy jsou

${displaystyle {P} = left [{egin {matrix} {T} & mathbf {T} ^ {0} mathbf {0} & 1end {matrix}} ight],}$

kde ${displaystyle {T}}$ je ${displaystyle m imes m}$ matice a ${displaystyle mathbf {T} ^ {0} + {T} mathbf {1} = mathbf {1}}$. Přechodová matice je zcela charakterizována jejím levým horním blokem ${displaystyle {T}}$.

Definice. Distribuce zapnuta ${displaystyle {0,1,2, ...}}$ je diskrétní fázová distribuce, pokud se jedná o distribuci čas první pasáže do absorbujícího stavu ukončujícího Markovova řetězce s konečně mnoha stavy.

Charakterizace

Opravte ukončovací Markovův řetězec. Označit ${displaystyle {T}}$ levý horní blok jeho přechodové matice a ${displaystyle au}$ počáteční distribuce. Rozdělení prvního času do absorpčního stavu je označeno ${displaystyle mathrm {PH} _ {d} ({oldsymbol {au}}, {T})}$ nebo ${displaystyle mathrm {DPH} ({oldsymbol {au}}, {T})}$.

Jeho kumulativní distribuční funkce je

${displaystyle F (k) = 1- {oldsymbol {au}} {T} ^ {k} mathbf {1},}$

pro ${displaystyle k = 1,2, ...}$a jeho hustotní funkce je

${displaystyle f (k) = {oldsymbol {au}} {T} ^ {k-1} mathbf {T ^ {0}},}$

pro ${displaystyle k = 1,2, ...}$. Předpokládá se, že pravděpodobnost spuštění procesu v absorpčním stavu je nulová. The faktoriální momenty distribuční funkce jsou dány,

${displaystyle E [K (K-1) ... (K-n + 1)] = n! {oldsymbol {au}} (I- {T}) ^ {- n} {T} ^ {n-1 } mathbf {1},}$

kde ${displaystyle I}$ je vhodná dimenze matice identity.

Speciální případy

Stejně jako je spojité rozdělení času zobecněním exponenciálního rozdělení, je diskrétní rozdělení času zobecněním geometrického rozdělení, například:

• Degenerovaná distribuce, bodová hmotnost při nule nebo prázdná fázová distribuce - 0 fází.
• Geometrické rozdělení - 1 fáze.
• Negativní binomické rozdělení - 2 nebo více identických fází v pořadí.
• Smíšené geometrické rozdělení - 2 nebo více neidentických fází, z nichž každá má pravděpodobnost, že se vyskytnou vzájemně se vylučujícím nebo paralelním způsobem. Toto je diskrétní analog Hyperexponenciální distribuce, ale nenazývá se to Hypergeometrická distribuce, protože se tento název používá pro zcela odlišný typ diskrétní distribuce.

Viz také

• Fázová distribuce
• Model řazení do fronty
• Teorie řazení

Reference

• M. F. Neuts. Maticově-geometrická řešení ve stochastických modelech: Algoritmický přístup, Kapitola 2: Distribuce pravděpodobnosti fázového typu; Dover Publications Inc., 1981.
• G. Latouche, V. Ramaswami. Úvod do maticových analytických metod ve stochastickém modelování, 1. vydání. Kapitola 2: Distribuce PH; ASA SIAM, 1999.