Reflexe (matematika) - Reflection (mathematics)

Odraz osou (od červeného objektu k zelenému) následovaný odrazem (zeleným k modrému) přes druhou osu rovnoběžně s první má za následek celkový pohyb, který je překlad - o částku rovnající se dvojnásobku vzdálenosti mezi dvěma osami.

v matematika, a odraz (také hláskováno reflexe)^[1] je mapování od a Euklidovský prostor pro sebe to je izometrie s nadrovina jako soubor pevné body; tato sada se nazývá osa (v dimenzi 2) nebo letadlo (v dimenzi 3) odrazu. Obraz postavy odrazem je jeho zrcadlový obraz v ose nebo rovině odrazu. Například zrcadlový obraz malého latinského písmene p protože by odraz vzhledem k vertikální ose vypadal q. Jeho obraz odrazem ve vodorovné ose by vypadal jako b. Odraz je involuce: při použití dvakrát za sebou se každý bod vrátí do původního umístění a každý geometrický objekt se obnoví do původního stavu.

Termín odraz se někdy používá pro větší třídu mapování z euklidovského prostoru k sobě samému, jmenovitě izometrie neidentity, které jsou involutions. Takové izometrie mají sadu pevných bodů („zrcadlo“), což je afinní podprostor, ale je možná menší než nadrovina. Například a odraz skrz bod je involutivní izometrie pouze s jedním pevným bodem; obrázek písmene p pod ním by vypadalo jako d. Tato operace je také známá jako a centrální inverze (Coxeter 1969, §7.2) a vystavuje euklidovský prostor jako a symetrický prostor. V Euklidovský vektorový prostor, odraz v bodě umístěném v počátku je stejný jako vektorová negace. Mezi další příklady patří odrazy v linii v trojrozměrném prostoru. Typicky však nekvalifikované použití termínu „reflexe“ znamená reflexi v a nadrovina.

Postava, která se po absolvování reflexe nezmění, se říká, že má reflexní symetrie.

Někteří matematici používají „převrátit"jako synonymum pro" reflexi ".^[2]^[3]^[4]

Konstrukce

Směřovat

Q

je odrazem bodu

P

skrz linku

AB

.

V rovině (resp. Trojrozměrné) geometrii k nalezení odrazu bodového poklesu a kolmý od bodu k přímce (rovině) použité pro odraz a prodlužte ji o stejnou vzdálenost na druhé straně. Chcete-li najít odraz postavy, odrážejte každý bod na obrázku.

Odrážet bod $P$ skrz linku $AB$ použitím kompas a pravítko, postupujte následovně (viz obrázek):

Krok 1 (červený): Sestavte a kruh se středem v $P$ a nějaký pevný poloměr $r$ vytvářet body $A'$ a $B '$ na lince $AB$ , který bude stejně vzdálený z $P$ .
Krok 2 (zelený): vytvořte kruhy se středem na $A'$ a $B '$ s poloměrem $r$ . $P$ a $Q$ budou průsečíky těchto dvou kruhů.

Směřovat $Q$ je pak odrazem bodu $P$ přes linku $AB$ .

Vlastnosti

Odraz přes osu následovaný odrazem ve druhé ose, který není rovnoběžný s první, má za následek celkový pohyb, který je a otáčení kolem průsečíku os, o úhel dvojnásobek úhlu mezi osami.

The matice protože reflexe je ortogonální s určující -1 a vlastní čísla −1, 1, 1, ..., 1. Produktem dvou takových matic je speciální ortogonální matice, která představuje rotaci. Každý otáčení je výsledkem odrazu v sudém počtu odrazů v hyperplanech přes počátek a všechny nesprávná rotace je výsledkem odrazu v lichém čísle. Odrazy tedy generují ortogonální skupina a tento výsledek je znám jako Cartan – Dieudonné věta.

Podobně Euklidovská skupina, který se skládá ze všech izometrií euklidovského prostoru, je generován odrazy v afinních hyperplanech. Obecně platí, že skupina generované odrazy v afinních hyperplanech je známé jako a reflexní skupina. The konečné skupiny generované tímto způsobem jsou příklady Skupiny coxeterů.

Odraz přes čáru v rovině

Odraz přes čáru přes počátek v dva rozměry lze popsat následujícím vzorcem

{ displaystyle operatorname {Ref} _ {l} (v) = 2 { frac {v cdot l} {l cdot l}} l-v,}

kde ${ displaystyle v}$ označuje vektor, který se odráží, ${ displaystyle l}$ označuje libovolný vektor v linii, přes kterou se provádí odraz, a ${ displaystyle v cdot l}$ označuje Tečkovaný produkt z ${ displaystyle v}$ s ${ displaystyle l}$ . Vzorec výše lze také zapsat jako

{ displaystyle operatorname {Ref} _ {l} (v) = 2 operatorname {Proj} _ {l} (v) -v,}

říkat, že odrazem ${ displaystyle v}$ přes ${ displaystyle l}$ se rovná 2násobku projekce z ${ displaystyle v}$ na ${ displaystyle l}$ , mínus vektor ${ displaystyle v}$ . Odrazy v řádku mají vlastní hodnoty 1 a -1.

Odraz přes hyperplán v n rozměry

Vzhledem k vektoru ${ displaystyle v}$ v Euklidovský prostor ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ , vzorec pro odraz v nadrovina přes původ, ortogonální na ${ displaystyle a}$ , darováno

{ displaystyle operatorname {Ref} _ {a} (v) = v-2 { frac {v cdot a} {a cdot a}} a,}

kde ${ displaystyle v cdot a}$ označuje Tečkovaný produkt z ${ displaystyle v}$ s ${ displaystyle a}$ . Všimněte si, že druhý člen ve výše uvedené rovnici je jen dvakrát vektorová projekce z ${ displaystyle v}$ na ${ displaystyle a}$ . Lze to snadno zkontrolovat

$Čj A (proti) = - proti$ , pokud ${ displaystyle v}$ je paralelní s ${ displaystyle a}$ , a
$Čj A (proti) = proti$ , pokud ${ displaystyle v}$ je kolmá na $A$ .

Za použití geometrický součin, vzorec je

{ displaystyle operatorname {Ref} _ {a} (v) = - { frac {ava} {a ^ {2}}}.}

Vzhledem k tomu, že tyto odrazy jsou izometrií euklidovského prostoru fixující počátek, mohou být reprezentovány ortogonální matice. Ortogonální matice odpovídající výše uvedenému odrazu je matice jejichž záznamy jsou