Beta negativní binomická distribuce - Beta negative binomial distribution - Wikipedia

Beta negativní binomický

Parametry	${ displaystyle alpha> 0}$ tvar (nemovitý ) ${ displaystyle beta> 0}$ tvar (nemovitý ) ${ displaystyle r> 0}$ - počet poruch, dokud není experiment zastaven (celé číslo ale lze jej rozšířit na nemovitý )
Podpěra, podpora	k ∈ { 0, 1, 2, 3, ... }
PMF	${ displaystyle { frac { Gamma (r + k)} {k! ; Gamma (r)}} { frac { mathrm {B} ( alpha + r, beta + k)} { mathrm {B} ( alpha, beta)}}}$
Znamenat	${ displaystyle { begin {cases} { frac {r beta} { alpha -1}} & { text {if}} alpha> 1 infty & { text {jinak}} end {případy}}}$
Rozptyl	${ displaystyle { begin {cases} { frac {r ( alpha + r-1) beta ( alpha + beta -1)} {( alpha -2) {( alpha -1)} ^ {2}}} & { text {if}} alpha> 2 infty & { text {jinak}} end {případy}}}$
Šikmost	${ displaystyle { begin {cases} { frac {( alpha + 2r-1) ( alpha +2 beta -1)} {( alpha -3) { sqrt { frac {r ( alpha + r-1) beta ( alpha + beta -1)} { alpha -2}}}}} & { text {if}} alpha> 3 infty & { text {jinak }} end {případy}}}$
MGF	nedefinováno
CF	${ displaystyle { frac { Gamma ( alpha + r) Gamma ( alpha + beta)} { Gamma ( alpha + beta + r) Gamma ( alpha)}} {} _ {2 } F_ {1} (r, beta; alpha + beta + r; e ^ {it}) !}$ kde ${ displaystyle Gamma}$ je funkce gama a ${ displaystyle {} _ {2} F_ {1}}$ je hypergeometrická funkce.

v teorie pravděpodobnosti, a beta negativní binomická distribuce je rozdělení pravděpodobnosti a oddělený náhodná proměnná  X se rovná počtu poruch potřebných k získání r úspěchy v pořadí nezávislý Bernoulliho zkoušky kde je pravděpodobnost p úspěchu v každé studii, i když je konstantní v rámci daného experimentu, je sama o sobě náhodnou proměnnou následující po a beta distribuce, lišící se mezi různými experimenty. Distribuce je tedy a složené rozdělení pravděpodobnosti.

Tato distribuce byla také nazývána jak inverzní rozdělení Markov-Pólya a zobecněná Waringova distribuce.^[1] Posunuté formě distribuce se říká distribuce beta-Pascal.^[1]

Pokud jsou parametry distribuce beta α a β, a pokud

${ displaystyle X mid p sim mathrm {NB} (r, p),}$

kde

${ displaystyle p sim { textrm {B}} ( alfa, beta),}$

pak okrajové rozdělení X je beta negativní binomická distribuce:

${ displaystyle X sim mathrm {BNB} (r, alfa, beta).}$

Ve výše uvedeném, NB (r, p) je negativní binomické rozdělení a B (α, β) je beta distribuce.

Definice

Li ${ displaystyle r}$ je celé číslo, pak lze PMF zapsat pomocí funkce beta,:

${ displaystyle f (k | alpha, beta, r) ​​= { binom {r + k-1} {k}} { frac { mathrm {B} ( alpha + r, beta + k) } { mathrm {B} ( alfa, beta)}}}$.

Obecněji lze napsat PMF

${ displaystyle f (k | alfa, beta, r) ​​= { frac { gama (r + k)} {k! ; gama (r)}} { frac { mathrm {B} ( alpha + r, beta + k)} { mathrm {B} ( alpha, beta)}}}$

nebo

${ displaystyle f (k | alfa, beta, r) ​​= { frac { mathrm {B} (r + k, alpha + beta)} { mathrm {B} (r, alfa)} } { frac { Gamma (k + beta)} {k! ; Gamma ( beta)}}}$.

PMF vyjádřeno pomocí gama

Pomocí vlastností Funkce Beta, PMF s celým číslem ${ displaystyle r}$ lze přepsat jako:

${ displaystyle f (k | alfa, beta, r) ​​= { binom {r + k-1} {k}} { frac { gama ( alfa + r) gama ( beta + k) Gamma ( alpha + beta)} { Gamma ( alpha + r + beta + k) Gamma ( alpha) Gamma ( beta)}}}$.

Obecněji lze PMF psát jako

${ displaystyle f (k | alfa, beta, r) ​​= { frac { gama (r + k)} {k! ; gama (r)}} { frac { gama ( alfa + r) Gamma ( beta + k) Gamma ( alpha + beta)} { Gamma ( alpha + r + beta + k) Gamma ( alpha) Gamma ( beta)}}}$.

PMF vyjádřený rostoucím symbolem Pochammer

PMF je často prezentován také ve smyslu Pochammerův symbol pro celé číslo ${ displaystyle r}$

${ displaystyle f (k | alfa, beta, r) ​​= { frac {r ^ {(k)} alfa ^ {(r)} beta ^ {(k)}} {k! ( alfa + beta) ^ {(r)} (r + alpha + beta) ^ {(k)}}}}$

Vlastnosti

Neidentifikovatelné

Bina negativní binomická hodnota je neidentifikovatelný které lze snadno vidět prostým prohozením ${ displaystyle r}$ a ${ displaystyle beta}$ ve výše uvedené hustotě nebo charakteristická funkce a konstatuje, že se nemění.

Vztah k jiným distribucím

Binární binomické rozdělení beta obsahuje jako zvláštní případ geometrické rozdělení beta ${ displaystyle r = 1}$. Může se tedy přiblížit geometrické rozdělení libovolně dobře. Rovněž aproximuje záporné binomické rozdělení libovolně pro velké ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle beta}$. Může se tedy přiblížit Poissonovo rozdělení libovolně dobře pro velké ${ displaystyle alpha}$, ${ displaystyle beta}$ a ${ displaystyle r}$.

Těžký ocas

Podle Stirlingova aproximace k funkci beta lze snadno ukázat, že

${ displaystyle f (k | alfa, beta, r) ​​ sim { frac { gama ( alfa + r)} { gama (r) mathrm {B} ( alfa, beta)}} { frac {k ^ {r-1}} {( beta + k) ^ {r + alpha}}}}$

což znamená, že beta negativní binomické rozdělení je těžký ocas a to momenty menší nebo rovno ${ displaystyle alpha}$ neexistuje.

Viz také

• Negativní binomické rozdělení
• Dirichletova negativní multinomiální distribuce

Poznámky

Reference

• Jonhnson, N.L .; Kotz, S .; Kemp, A.W. (1993) Jednorozměrné diskrétní distribuce, 2. vydání, Wiley ISBN  0-471-54897-9 (Část 6.2.3)
• Kemp, C.D .; Kemp, A.W. (1956) „Zobecněné hypergeometrické distribuce, Journal of the Royal Statistical Society, Série B, 18, 202–211
• Wang, Zhaoliang (2011) „Jedna smíšená negativní binomická distribuce s aplikací“, Journal of Statistical Planning and Inference, 141 (3), 1153-1160 doi:10.1016 / j.jspi.2010.09.020

externí odkazy

• Interaktivní grafika: Jednorozměrné distribuční vztahy