Asymetrická Laplaceova distribuce - Asymmetric Laplace distribution

Asymetrický Laplace

Funkce hustoty pravděpodobnosti Asymetrické Laplace PDF s m = 0 červeně. Všimněte si, že κ = 2 a 1/2 křivky jsou zrcadlové obrazy. The κ = 1 modrá křivka je symetrická Laplaceova distribuce.
Funkce kumulativní distribuce Asymetrický Laplace CDF s m = 0 červeně.
Parametry	${ displaystyle m}$ umístění (nemovitý ) ${ displaystyle lambda> 0}$ měřítko (nemovitý) ${ displaystyle kappa> 0}$ asymetrie (nemovitý)
Podpěra, podpora	${ displaystyle x in (- infty; + infty) ,}$
PDF	(viz článek)
CDF	(viz článek)
Znamenat	${ displaystyle m + { frac {1- kappa ^ {2}} { lambda kappa}}}$
Medián	${ displaystyle m + { frac { kappa} { lambda}} log vlevo ({ frac {1+ kappa ^ {2}} {2 kappa ^ {2}}} vpravo)}$ -li ${ displaystyle kappa> 1}$ ${ displaystyle m - { frac {1} { lambda kappa}} log left ({ frac {1+ kappa ^ {2}} {2}} right)}$ -li ${ displaystyle kappa <1}$
Rozptyl	${ displaystyle { frac {1+ kappa ^ {4}} { lambda ^ {2} kappa ^ {2}}}}$
Šikmost	${ displaystyle { frac {2 left (1- kappa ^ {6} right)} { left ( kappa ^ {4} +1 right) ^ {3/2}}}}$
Př. špičatost	${ displaystyle { frac {6 (1+ kappa ^ {8})} {(1+ kappa ^ {4}) ^ {2}}}}$
Entropie	${ displaystyle log left (e , { frac {1+ kappa ^ {2}} { kappa lambda}} right)}$
CF	${ displaystyle { frac {e ^ {imt}} {(1 + { frac {it kappa} { lambda}}) (1 - { frac {it} { kappa lambda}})}} }$

v teorie pravděpodobnosti a statistika, asymetrická Laplaceova distribuce (ALD) je spojitý rozdělení pravděpodobnosti což je zobecnění Laplaceova distribuce. Stejně jako Laplaceova distribuce se skládá ze dvou exponenciální distribuce stejného rozsahu back-to-back o X = m, asymetrické Laplace se skládá ze dvou exponenciálních distribucí nerovného měřítka zády k sobě X = m, upraveno tak, aby byla zajištěna kontinuita a normalizace. Rozdíl dvou se liší exponenciálně distribuováno s různými prostředky a parametry rychlosti budou rozděleny podle ALD. Když jsou dva parametry rychlosti stejné, rozdíl se rozdělí podle Laplaceova rozdělení.

Charakterizace

Funkce hustoty pravděpodobnosti

A náhodná proměnná má asymetrický Laplace (m, λ, κ) distribuce, pokud je funkce hustoty pravděpodobnosti je^[1][2]

${ displaystyle f (x; m, lambda, kappa) = left ({ frac { lambda} { kappa + 1 / kappa}} right) , e ^ {- (xm) lambda , s kappa ^ {s}}}$

kde s=sgn(x-m), nebo alternativně:

${ displaystyle f (x; m, lambda, kappa) = { frac { lambda} { kappa + 1 / kappa}} { začít {případy} exp vlevo (( lambda / kappa ) (xm) right) & { text {if}} x$

Tady, m je parametr umístění, λ > 0 je a parametr měřítka, a κ je asymetrie parametr. Když κ = 1, (x-m) s κ^s zjednodušuje na | x-m | a distribuce se zjednodušuje na Laplaceova distribuce.

Funkce kumulativní distribuce

The kumulativní distribuční funkce je dána:

${ displaystyle F (x; m, lambda, kappa) = { begin {případy} { frac { kappa ^ {2}} {1+ kappa ^ {2}}} exp (( lambda / kappa) (xm)) & { text {if}} x leq m [4pt] 1 - { frac {1} {1+ kappa ^ {2}}} exp (- lambda kappa (xm)) & { text {if}} x> m end {případy}}}$

Charakteristická funkce

Charakteristická funkce ALD je dána vztahem:

${ displaystyle varphi (t; m, lambda, kappa) = { frac {e ^ {imt}} {(1 + { frac {it kappa} { lambda}}) (1 - { frac {it} { kappa lambda}})}}}$

Pro m = 0, ALD je členem rodiny geometrická stabilní rozdělení s α = 2. Z toho vyplývá, že pokud ${ displaystyle varphi _ {1}}$ a ${ displaystyle varphi _ {2}}$ jsou dvě odlišné ALD charakteristické funkce s m = 0, tedy

${ displaystyle varphi = { frac {1} {1 / varphi _ {1} + 1 / varphi _ {2} -1}}}$

je také charakteristická funkce ALD s parametrem umístění ${ displaystyle m = 0}$. Nový parametr měřítka λ poslouchá

${ displaystyle { frac {1} { lambda ^ {2}}} = { frac {1} { lambda _ {1} ^ {2}}} + { frac {1} { lambda _ { 2} ^ {2}}}}$

a nový parametr šikmosti κ poslouchá:

${ displaystyle { frac { kappa ^ {2} -1} { kappa lambda}} = { frac { kappa _ {1} ^ {2} -1} { kappa _ {1} lambda _ {1}}} + { frac { kappa _ {2} ^ {2} -1} { kappa _ {2} lambda _ {2}}}}$

Okamžiky, průměr, rozptyl, šikmost

The n-th moment ALD asi m je dána

${ displaystyle E [(xm) ^ {n}] = { frac {n!} { lambda ^ {n} ( kappa + 1 / kappa)}} , ( kappa ^ {- (n + 1)} - (- kappa) ^ {n + 1})}$

Z binomická věta, n-tý okamžik o nule (pro m ne nula) je pak:

${ displaystyle E [x ^ {n}] = { frac { lambda , m ^ {n + 1}} { kappa + 1 / kappa}} , left ( sum _ {i = 0 } ^ {n} { frac {n!} {(ni)!}} , { frac {1} {(m lambda kappa) ^ {i + 1}}} - sum _ {i = 0} ^ {n} { frac {n!} {(Ni)!}} , { Frac {1} {(- m lambda / kappa) ^ {i + 1}}} vpravo)}$

${ displaystyle = { frac { lambda , m ^ {n + 1}} { kappa + 1 / kappa}} vlevo (e ^ {m lambda kappa} E _ {- n} (m lambda kappa) -e ^ {- m lambda / kappa} E _ {- n} (- m lambda / kappa) vpravo)}$

kde ${ displaystyle E_ {n} ()}$ je zobecněný exponenciální integrál funkce ${ displaystyle E_ {n} (x) = x ^ {n-1} gama (1-n, x)}$

První okamžik kolem nuly je průměr:

${ displaystyle mu = E [x] = m - { frac { kappa -1 / kappa} { lambda}}}$

Rozptyl je:

${ displaystyle sigma ^ {2} = E [x ^ {2}] - mu ^ {2} = { frac {1+ kappa ^ {4}} { kappa ^ {2} lambda ^ { 2}}}}$

a šikmost je:

${ displaystyle { frac {E [x ^ {3}] - 3 mu sigma ^ {2} - mu ^ {3}} { sigma ^ {3}}} = { frac {2 vlevo (1- kappa ^ {6} vpravo)} { vlevo ( kappa ^ {4} +1 vpravo) ^ {3/2}}}}$

Generování asymetrického Laplace se liší

Asymetrický Laplace se liší (X) mohou být generovány z náhodného variátu U čerpáno z rovnoměrného rozdělení v intervalu (-κ, 1 / κ):

${ displaystyle X = m - { frac {1} { lambda , s kappa ^ {s}}} log (1-U , s kappa ^ {S})}$

kde s = sgn (U).

Mohou být také generovány jako rozdíl dvou exponenciální distribuce. Li X₁ je čerpáno z exponenciálního rozdělení s průměrem a rychlostí (m₁, λ / κ) a X₂ je čerpáno z exponenciálního rozdělení s průměrem a rychlostí (m₂, λκ) X₁ - X₂ je distribuován podle asymetrického Laplaceova rozdělení s parametry (m1-m2, λ, κ)

Entropie

Diferenciál entropie ALD je

${ displaystyle H = - int _ {- infty} ^ { infty} f_ {AL} (x) log (f_ {AL} (x)) dx = 1- log left ({ frac { lambda} { kappa + 1 / kappa}} vpravo)}$

ALD má maximální entropii všech distribucí s pevnou hodnotou (1 / λ) ${ displaystyle (x-m) , s kappa ^ {s}}$ kde ${ displaystyle s = operatorname {sgn} (x-m)}$.

Alternativní parametrizace

Charakteristická funkce umožňuje alternativní parametrizaci:

${ displaystyle varphi (t; mu, sigma, beta) = { frac {e ^ {i mu t}} {1-i beta sigma t + sigma ^ {2} t ^ {2 }}}}$

kde ${ displaystyle mu}$ je parametr umístění, ${ displaystyle sigma}$ je parametr měřítka, ${ displaystyle beta}$ je asymetrie parametr. To je specifikováno v oddílech 2.6.1 a 3.1 v Lihn (2015).^[3] Své funkce hustoty pravděpodobnosti je

${ displaystyle f (x; mu, sigma, beta) = { frac {1} {2 sigma B_ {0}}} { begin {cases} exp left ({ frac {x- mu} { sigma B ^ {-}}} right) & { text {if}} x < mu [4pt] exp (- { frac {x- mu} { sigma B ^ {+}}}) & { text {if}} x geq mu end {případy}}}$

kde ${ displaystyle B_ {0} = { sqrt {1+ beta ^ {2} / 4}}}$ a ${ displaystyle B ^ { pm} = B_ {0} pm beta / 2}$. Z toho vyplývá, že ${ displaystyle B ^ {+} B ^ {-} = 1, P B ^ {+} - B ^ {-} = beta}$.

The n-tý okamžik o ${ displaystyle mu}$ je dána

${ displaystyle E [(x- mu) ^ {n}] = { frac { sigma ^ {n} n!} {2B_ {0}}} ((B ^ {+}) ^ {n + 1 } + (- 1) ^ {n} (B ^ {-}) ^ {n + 1})}$

Průměr kolem nuly je:

${ displaystyle E [x] = mu + sigma beta}$

Rozptyl je:

${ displaystyle E [x ^ {2}] - E [x] ^ {2} = sigma ^ {2} (2+ beta ^ {2})}$

Špinavost je:

${ displaystyle { frac {2 beta (3+ beta ^ {2})} {(2+ beta ^ {2}) ^ {3/2}}}}$

Nadměrná špičatost je:

${ displaystyle { frac {6 (2 + 4 beta ^ {2} + beta ^ {4})}} ((2+ beta ^ {2}) ^ {2}}}}$

Pro malé ${ displaystyle beta}$, šikmost je asi ${ displaystyle 3 beta / { sqrt {2}}}$ . Tím pádem ${ displaystyle beta}$ představuje šikmost téměř přímým způsobem.

Reference