Zásadní řešení - Fundamental solution
v matematika, a zásadní řešení pro lineární operátor částečného diferenciálu L je formulace v jazyce teorie distribuce starší myšlenky a Greenova funkce (ačkoli na rozdíl od funkcí Greena základní řešení neřeší okrajové podmínky).
Z hlediska Dirac delta "funkce" δ(X), zásadní řešení F je řešením nehomogenní rovnice
- LF = δ(X) .
Tady F je a priori pouze se předpokládá, že je rozdělení.
Tento koncept je již dlouho využíván pro Laplacian ve dvou a třech rozměrech. Bylo zkoumáno pro všechny dimenze Laplacian Marcel Riesz.
Existence zásadního řešení pro každého operátora s konstantní koeficienty - nejdůležitější případ přímo související s možností použití konvoluce vyřešit libovolný pravá strana - ukázal se Bernard Malgrange a Leon Ehrenpreis. V kontextu funkční analýza, základní řešení jsou obvykle vyvíjena prostřednictvím Fredholmova alternativa a prozkoumány v Fredholmova teorie.
Příklad
Zvažte následující diferenciální rovnici Lf = hřích (X) s
- .
Základní řešení lze získat řešením LF = δ(X), výslovně,
Protože pro Funkce Heaviside H my máme
existuje řešení
Tady C je libovolná konstanta zavedená integrací. Pro pohodlí nastavte C = − 1/2.
Po integraci a volba nové integrační konstanty jako nula, jedna má
Motivace
Jakmile je nalezeno základní řešení, je jednoduché najít řešení původní rovnice, skrz konvoluce základního řešení a požadované pravé strany.
Základní řešení také hrají důležitou roli v numerickém řešení parciálních diferenciálních rovnic metodou metoda hraničních prvků.
Aplikace na příklad
Zvažte operátora L a diferenciální rovnice uvedená v příkladu,
Můžeme najít řešení původní rovnice konvoluce (označeno hvězdičkou) na pravé straně se základním řešením :
To ukazuje, že při práci s funkcemi, které nemají dostatečnou pravidelnost (např. Kompaktní podpora, L1 integrability), protože víme, že požadované řešení je f (x) = −sinX, zatímco výše uvedený integrál se pro všechny liší X. Dva výrazy pro F jsou však stejné jako distribuce.
Příklad, který jasněji funguje
kde Já je charakteristická (indikátorová) funkce jednotkového intervalu [0,1]. V takovém případě lze snadno ověřit, že konvoluce I ∗ F s F (x)=|X| / 2 je řešení, tj. Má druhou derivaci rovnou Já.
Důkaz, že konvoluce je řešením
Označte konvoluce funkcí F a G tak jako F ∗ g. Řekněme, že se snažíme najít řešení Lf = g (x). Chceme to dokázat F ∗ g je řešením předchozí rovnice, tj. chceme to dokázat L (F ∗ g) = G. Při použití diferenciálního operátoru L, ke konvoluci, je známo, že
pokud L má konstantní koeficienty.
Li F je základní řešení, pravá strana rovnice se redukuje na
Ale protože funkce delta je prvek identity pro konvoluci je to jednoduše G(X). Shrnutí,
Proto pokud F je základní řešení, konvoluce F∗G je jedním z řešení Lf = G(X). To neznamená, že je to jediné řešení. Lze najít několik řešení pro různé počáteční podmínky.
Základní řešení některých parciálních diferenciálních rovnic
Pomocí Fourierovy transformace lze získat následující:
Laplaceova rovnice
Pro Laplaceova rovnice,
základní řešení ve dvou, respektive třech rozměrech, jsou
Skrínovaná Poissonova rovnice
Pro stíněné Poissonovy rovnice,
základní řešení jsou
kde je upravená Besselova funkce druhého druhu.
Ve vyšších dimenzích je základní řešení stíněné Poissonovy rovnice dáno vztahem Besselův potenciál.
Biharmonická rovnice
Pro Biharmonická rovnice,
biharmonická rovnice má základní řešení
Zpracování signálu
v zpracování signálu, analoga základního řešení diferenciální rovnice se nazývá impulsní odezva filtru.
Viz také
Reference
- „Základní řešení“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
- Nastavení funkce Green na hranici viz Poznámky Shijue Wu.