Laplaceova distribuce - Laplace distribution

Laplace

Funkce hustoty pravděpodobnosti
Funkce kumulativní distribuce
Parametry	${ displaystyle mu}$ umístění (nemovitý ) ${ displaystyle b> 0}$ měřítko (nemovitý)
Podpěra, podpora	${ displaystyle mathbb {R}}$
PDF	${ displaystyle { frac {1} {2b}} exp left (- { frac {| x- mu |} {b}} right)}$
CDF	${ displaystyle { begin {cases} { frac {1} {2}} exp left ({ frac {x- mu} {b}} right) & { text {if}} x leq mu [8pt] 1 - { frac {1} {2}} exp left (- { frac {x- mu} {b}} right) & { text {if}} x geq mu end {cases}}}$
Kvantilní	${ displaystyle { begin {cases} mu + b ln left (2F right) & { text {if}} F leq { frac {1} {2}} [8pt] mu -b ln left (2-2F right) & { text {if}} F geq { frac {1} {2}} end {cases}}}$
Znamenat	${ displaystyle mu}$
Medián	${ displaystyle mu}$
Režim	${ displaystyle mu}$
Rozptyl	${ displaystyle 2b ^ {2}}$
ŠÍLENÝ	${ displaystyle b}$
Šikmost	${ displaystyle 0}$
Př. špičatost	${ displaystyle 3}$
Entropie	${ displaystyle log (2be)}$
MGF	${ displaystyle { frac { exp ( mu t)} {1-b ^ {2} t ^ {2}}} { text {pro}} | t | <1 / b}$
CF	${ displaystyle { frac { exp ( mu it)} {1 + b ^ {2} t ^ {2}}}}$

v teorie pravděpodobnosti a statistika, Laplaceova distribuce je spojitý rozdělení pravděpodobnosti pojmenoval podle Pierre-Simon Laplace. To je také někdy nazýváno dvojité exponenciální rozdělení, protože to lze považovat za dva exponenciální distribuce (s dalším parametrem umístění) spojeny zády k sobě, ačkoli termín je také někdy používán k označení Gumbelova distribuce. Rozdíl mezi dvěma nezávislé identicky distribuované exponenciální náhodné proměnné se řídí Laplaceovým rozdělením, stejně jako a Brownův pohyb vyhodnocen v exponenciálně distribuovaném náhodném čase. Přírůstky Laplaceův pohyb nebo a varianční gama proces hodnocené v časovém měřítku mají také Laplaceovo rozdělení.

Definice

Funkce hustoty pravděpodobnosti

A náhodná proměnná má ${ displaystyle { textrm {Laplace}} ( mu, b)}$ distribuce, pokud je funkce hustoty pravděpodobnosti je

${ displaystyle f (x mid mu, b) = { frac {1} {2b}} exp left (- { frac {| x- mu |} {b}} right) , !}$

${ displaystyle = { frac {1} {2b}} vlevo {{ begin {matrix} exp left (- { frac { mu -x} {b}} right) & { text {if}} x < mu [8pt] exp left (- { frac {x- mu} {b}} right) & { text {if}} x geq mu end {matrix}} vpravo.}$

Tady, ${ displaystyle mu}$ je parametr umístění a ${ displaystyle b> 0}$, který se někdy označuje jako rozmanitost, je a parametr měřítka. Li ${ displaystyle mu = 0}$ a ${ displaystyle b = 1}$, kladná poloviční čára je přesně exponenciální rozdělení zmenšen o 1/2.

Funkce hustoty pravděpodobnosti Laplaceova rozdělení také připomíná normální distribuce; zatímco zatímco normální rozdělení je vyjádřeno jako kvadratický rozdíl od průměru ${ displaystyle mu}$, Laplaceova hustota je vyjádřena jako absolutní rozdíl ze střední. V důsledku toho má Laplaceovo rozdělení tlustší ocasy než normální rozdělení.

Funkce kumulativní distribuce

Distribuce Laplace je snadná integrovat (pokud jeden rozlišuje dva symetrické případy) v důsledku použití absolutní hodnota funkce. Své kumulativní distribuční funkce je následující:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} F (x) & = int _ {- infty} ^ {x} ! ! f (u) , mathrm {d} u = { begin {cases} { frac {1} {2}} exp left ({ frac {x- mu} {b}} right) & { mbox {if}} x < mu 1 - { frac {1} {2}} exp left (- { frac {x- mu} {b}} right) & { mbox {if}} x geq mu end {cases}} & = { tfrac {1} {2}} + { tfrac {1} {2}} operatorname {sgn} (x- mu) left (1- exp left (- { frac {| x- mu |} {b}} vpravo) vpravo). end {zarovnáno}}}$

Funkce inverzní kumulativní distribuce je dána vztahem

${ displaystyle F ^ {- 1} (p) = mu -b , operatorname {sgn} (p-0,5) , ln (1-2 | p-0,5 |).}$

Vlastnosti

Okamžiky

${ displaystyle mu _ {r} '= { bigg (} { frac {1} {2}} { bigg)} sum _ {k = 0} ^ {r} { bigg [} { frac {r!} {(rk)!}} b ^ {k} mu ^ {(rk)} {1 + (- 1) ^ {k} } { bigg]} = { frac {m ^ {n + 1}} {2b}} vlevo (e ^ {m / b} E _ {- n} (m / b) -e ^ {- m / b} E _ {- n} (- m / b )že jo)}$

kde ${ displaystyle E_ {n} ()}$ je zobecněný exponenciální integrál funkce ${ displaystyle E_ {n} (x) = x ^ {n-1} gama (1-n, x)}$.

Související distribuce

• Li ${ displaystyle X sim { textrm {Laplace}} ( mu, b)}$ pak ${ displaystyle kX + c sim { textrm {Laplace}} (k mu + c, kb)}$.
• Li ${ displaystyle X sim { textrm {Laplace}} (0, b)}$ pak ${ displaystyle left | X right | sim { textrm {exponenciální}} left (b ^ {- 1} right)}$. (Exponenciální rozdělení )
• Li ${ displaystyle X, Y sim { textrm {exponenciální}} ( lambda)}$ pak ${ displaystyle X-Y sim { textrm {Laplace}} vlevo (0, lambda ^ {- 1} vpravo)}$．
• Li ${ displaystyle X sim { textrm {Laplace}} ( mu, b)}$ pak ${ displaystyle left | X- mu right | sim { textrm {exponenciální}} (b ^ {- 1})}$.
• Li ${ displaystyle X sim { textrm {Laplace}} ( mu, b)}$ pak ${ displaystyle X sim { textrm {EPD}} ( mu, b, 1)}$. (Exponenciální distribuce energie )
• Li ${ displaystyle X_ {1}, ..., X_ {4} sim { textrm {N}} (0,1)}$ (Normální distribuce ) pak ${ displaystyle X_ {1} X_ {2} -X_ {3} X_ {4} sim { textrm {Laplace}} (0,1)}$.
• Li ${ displaystyle X_ {i} sim { textrm {Laplace}} ( mu, b)}$ pak ${ displaystyle { frac { displaystyle 2} {b}} součet _ {i = 1} ^ {n} | X_ {i} - mu | sim chi ^ {2} (2n)}$. (Distribuce chí-kvadrát )
• Li ${ displaystyle X, Y sim { textrm {Laplace}} ( mu, b)}$ pak ${ displaystyle { tfrac {| X- mu |} {| Y- mu |}} sim operatorname {F} (2,2)}$. (F-distribuce )
• Li ${ displaystyle X, Y sim { textrm {U}} (0,1)}$ (Rovnoměrné rozdělení ) pak ${ displaystyle log (X / Y) sim { textrm {Laplace}} (0,1)}$.
• Li ${ displaystyle X sim { textrm {exponenciální}} ( lambda)}$ a ${ displaystyle Y sim { textrm {Bernoulli}} (0,5)}$ (Bernoulliho distribuce ) nezávislý na ${ displaystyle X}$, pak ${ displaystyle X (2Y-1) sim { textrm {Laplace}} vlevo (0, lambda ^ {- 1} vpravo)}$.
• Li ${ displaystyle X sim { textrm {exponenciální}} ( lambda)}$ a ${ displaystyle Y sim { textrm {exponenciální}} ( nu)}$ nezávislý na ${ displaystyle X}$, pak ${ displaystyle lambda X- nu Y sim { textrm {Laplace}} (0,1)}$．
• Li ${ displaystyle X}$ má Rademacherova distribuce a ${ displaystyle Y sim { textrm {exponenciální}} ( lambda)}$ pak ${ displaystyle XY sim { textrm {Laplace}} (0,1 / lambda)}$.
• Li ${ displaystyle V sim { textrm {exponenciální}} (1)}$ a ${ displaystyle Z sim N (0,1)}$ nezávislý na ${ displaystyle V}$, pak ${ displaystyle X = mu + b { sqrt {2V}} Z sim mathrm {Laplace} ( mu, b)}$.
• Li ${ displaystyle X sim { textrm {GeometricStable}} (2,0, lambda, 0)}$ (geometrické stabilní rozdělení ) pak ${ displaystyle X sim { textrm {Laplace}} (0, lambda)}$.
• Laplaceova distribuce je limitujícím případem hyperbolická distribuce.
• Li ${ displaystyle X | Y sim { textrm {N}} ( mu, Y ^ {2})}$ s ${ displaystyle Y sim { textrm {Rayleigh}} (b)}$ (Rayleighova distribuce ) pak ${ displaystyle X sim { textrm {Laplace}} ( mu, b)}$.
• Dáno celé číslo ${ displaystyle n geq 1}$, pokud ${ displaystyle X_ {1}, X_ {2} sim Gamma vlevo ({ frac {1} {n}}, b vpravo)}$ (gama distribuce, použitím ${ displaystyle k, theta}$ charakterizace) ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} vlevo ({ frac { mu} {n}} + X_ {1} -X_ {2} vpravo) sim { textrm {Laplace} } ( mu, b)}$ (nekonečná dělitelnost )^[1]

Vztah k exponenciálnímu rozdělení

Náhodnou proměnnou Laplace lze reprezentovat jako rozdíl dvou iid exponenciální náhodné proměnné.^[1] Jedním ze způsobů, jak to ukázat, je použití charakteristická funkce přístup. Pro libovolnou sadu nezávislých spojitých náhodných proměnných lze pro libovolnou lineární kombinaci těchto proměnných získat její charakteristickou funkci (která jednoznačně určuje rozdělení) vynásobením odpovídajících charakteristických funkcí.

Zvažte dvě i.i.d náhodné proměnné ${ displaystyle X, Y sim { textrm {exponenciální}} ( lambda)}$. Charakteristické funkce pro ${ displaystyle X, -Y}$ jsou

${ displaystyle { frac { lambda} {- it + lambda}}, quad { frac { lambda} {it + lambda}}}$

resp. Při vynásobení těchto charakteristických funkcí (ekvivalent k charakteristické funkci součtu náhodných proměnných ${ displaystyle X + (- Y)}$), výsledek je

${ displaystyle { frac { lambda ^ {2}} {(- it + lambda) (it + lambda)}} = { frac { lambda ^ {2}} {t ^ {2} + lambda ^ {2}}}.}$

To je stejné jako u charakteristické funkce pro ${ displaystyle Z sim { textrm {Laplace}} (0,1 / lambda)}$, který je

${ displaystyle { frac {1} {1 + { frac {t ^ {2}} { lambda ^ {2}}}}}.}$

Sarganovy distribuce

Sarganovy distribuce jsou soustavou distribucí, jejichž jádrem je Laplaceova distribuce. A ${ displaystyle p}$Distribuce Sarganova řádu má hustotu^[2][3]

${ displaystyle f_ {p} (x) = { tfrac {1} {2}} exp (- alpha | x |) { frac { displaystyle 1+ sum _ {j = 1} ^ {p } beta _ {j} alpha ^ {j} | x | ^ {j}} { displaystyle 1+ sum _ {j = 1} ^ {p} j! beta _ {j}}},}$

pro parametry ${ displaystyle alpha geq 0, beta _ {j} geq 0}$. Výsledky distribuce Laplaceova pro ${ displaystyle p = 0}$.

Statistická inference

Odhad parametrů

Dáno ${ displaystyle N}$ nezávislé a identicky distribuované vzorky ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, ..., x_ {N}}$, maximální pravděpodobnost odhadce ${ displaystyle { hat { mu}}}$ z ${ displaystyle mu}$ je vzorek medián,^[4]a maximální pravděpodobnost odhadce ${ displaystyle { hat {b}}}$ z ${ displaystyle b}$ je střední absolutní odchylka od mediánu

${ displaystyle { hat {b}} = { frac {1} {N}} sum _ {i = 1} ^ {N} | x_ {i} - { hat { mu}} |}$

(odhalující souvislost mezi Laplaceovou distribucí a nejmenší absolutní odchylky ).

Výskyt a aplikace

Laplaciánská distribuce byla použita při rozpoznávání řeči k modelování předchozích verzí DFT koeficienty ^[5] a v kompresi obrázků JPEG k modelování AC koeficientů ^[6] generované a DCT.

• Nejběžnějším prostředkem k zajištění přidání šumu získaného z laplaciánské distribuce s parametrem změny měřítka odpovídajícím citlivosti funkce na výstup statistického databázového dotazu rozdílné soukromí ve statistických databázích.

Přizpůsobená distribuce Laplace pro maximální jednodenní srážky ^[7]

• v regresní analýza, nejmenší absolutní odchylky odhad vzniká jako odhad maximální pravděpodobnosti, pokud mají chyby Laplaceovo rozdělení.
• The Laso lze považovat za Bayesiánskou regresi s laplaciánským priorem.^[8]
• v hydrologie Laplaceova distribuce se aplikuje na extrémní události, jako jsou roční maximální jednodenní srážky a vypouštění řek. Modrý obrázek, vyrobený s CumFreq, ilustruje příklad přizpůsobení Laplaceovy distribuce každoročně hodnoceným maximálním jednodenním srážkám, přičemž ukazuje také 90% pás spolehlivosti založeno na binomická distribuce. Údaje o srážkách jsou reprezentovány vykreslování pozic jako součást kumulativní frekvenční analýza.

Laplaceova distribuce, která je a kompozitní nebo dvojnásobek distribuce, je použitelná v situacích, kdy nižší hodnoty pocházejí za jiných vnějších podmínek než ty vyšší, takže se řídí jiným vzorem.^[9]

Výpočtové metody

Generování hodnot z Laplaceovy distribuce

Vzhledem k náhodné proměnné ${ displaystyle U}$ čerpáno z rovnoměrné rozdělení v intervalu ${ displaystyle left (-1 / 2,1 / 2 right)}$, náhodná proměnná

${ displaystyle X = mu -b , operatorname {sgn} (U) , ln (1-2 | U |)}$

má Laplaceovu distribuci s parametry ${ displaystyle mu}$ a ${ displaystyle b}$. To vyplývá z inverzní kumulativní distribuční funkce uvedené výše.

A ${ displaystyle { textrm {Laplace}} (0, b)}$ obměňovat lze také generovat jako rozdíl dvou i.i.d. ${ displaystyle { textrm {exponenciální}} (1 / b)}$ náhodné proměnné. Ekvivalentně ${ displaystyle { textrm {Laplace}} (0,1)}$ lze také generovat jako logaritmus poměru dvou i.i.d. jednotné náhodné proměnné.

Dějiny

Tato distribuce se často označuje jako první Laplaceův zákon chyb. Publikoval ji v roce 1774, když poznamenal, že frekvenci chyby lze vyjádřit jako exponenciální funkci její velikosti, jakmile bude její znaménko ignorováno.^[10][11]

Keynes publikoval v roce 1911 dokument založený na své dřívější práci, kde ukázal, že Laplaceovo rozdělení minimalizovalo absolutní odchylku od mediánu.^[12]

Viz také

• Vícerozměrná Laplaceova distribuce
• Besovské opatření, zobecnění Laplaceovy distribuce na funkční prostory
• Cauchyovo rozdělení, nazývaný také „Lorentzianovo rozdělení“ (Fourierova transformace Laplaceova)
• Charakteristická funkce (teorie pravděpodobnosti)
• Log-Laplaceova distribuce

Reference

externí odkazy

• „Laplaceova distribuce“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]