Zobecněné inverzní Gaussovo rozdělení - Generalized inverse Gaussian distribution
Funkce hustoty pravděpodobnosti ![]() | |||
Parametry | A > 0, b > 0, p nemovitý | ||
---|---|---|---|
Podpěra, podpora | X > 0 | ||
Znamenat | |||
Režim | |||
Rozptyl | |||
MGF | |||
CF |
v teorie pravděpodobnosti a statistika, zobecněné inverzní Gaussovo rozdělení (GIG) je tříparametrová rodina spojitých rozdělení pravděpodobnosti s funkce hustoty pravděpodobnosti
kde K.p je upravená Besselova funkce druhého druhu, A > 0, b > 0 a p skutečný parametr. Používá se značně v geostatistika, statistická lingvistika, finance atd. Toto rozdělení poprvé navrhl Étienne Halphen.[1][2][3] To bylo nově objevené a popularizované Ole Barndorff-Nielsen, který jej nazval zobecněnou inverzní Gaussovou distribucí. To je také známé jako Sichelova distribuce, po Herbert Sichel.[4] Jeho statistické vlastnosti jsou popsány v přednáškách Benta Jørgensena.[5]
Vlastnosti
Alternativní parametrizace
Nastavením a , můžeme alternativně vyjádřit distribuci GIG jako
kde je parametr koncentrace while je parametr měřítka.
Shrnutí
Barndorff-Nielsen a Halgreen dokázali, že distribuce GIG je nekonečně dělitelný.[6]
Entropie
Entropie zobecněného inverzního Gaussova rozdělení je uvedena jako[Citace je zapotřebí ]
kde je derivát modifikované Besselovy funkce druhého druhu s ohledem na pořadí hodnoceno na
Související distribuce
Speciální případy
The inverzní Gaussian a gama distribuce jsou speciální případy zobecněného inverzního Gaussova rozdělení pro p = -1/2 a b = 0.[7] Konkrétně inverzní Gaussovo rozdělení formuláře
je GIG s , , a . Gama distribuce formuláře
je GIG s , , a .
Mezi další zvláštní případy patří inverzní gama distribuce, pro A = 0 a hyperbolická distribuce, pro p = 0.[7]
Konjugát před Gaussianem
Distribuce GIG je sdružené do normální distribuce když slouží jako směšovací distribuce v a normální odchylka-střední směs.[8][9] Nechte předchozí distribuci nějaké skryté proměnné, řekněme , buďte GIG:
a ať tam bude pozorované datové body, , s funkcí normální věrohodnosti, podmíněno
kde je normální rozdělení, se střední hodnotou a rozptyl . Pak zadní pro , vzhledem k tomu, že data jsou také GIG:
kde .[poznámka 1]
Poznámky
- ^ Kvůli konjugaci lze tyto podrobnosti odvodit bez řešení integrálů, a to tím, že si to všimneme
- .
Reference
- ^ Seshadri, V. (1997). „Halphenovy zákony“. In Kotz, S .; Přečtěte si, C. B .; Banks, D. L. (eds.). Encyclopedia of Statistical Sciences, Update Volume 1. New York: Wiley. 302–306.
- ^ Perreault, L .; Bobée, B .; Rasmussen, P. F. (1999). „Systém distribuce halphenů. I: Matematické a statistické vlastnosti“. Journal of Hydrologic Engineering. 4 (3): 189. doi:10.1061 / (ASCE) 1084-0699 (1999) 4: 3 (189).
- ^ Étienne Halphen byla vnukem matematika Georges Henri Halphen.
- ^ Sichel, H.S., Statistické ocenění ložisek diamantů, Journal of the South African Institute of Mining and Metallurgy 1973
- ^ Jørgensen, Bent (1982). Statistické vlastnosti zobecněného inverzního gaussovského rozdělení. Poznámky k přednášce ve statistice. 9. New York – Berlín: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90665-7. PAN 0648107.
- ^ O. Barndorff-Nielsen a Christian Halgreen, Infinite Divisibility of the Hyperbolic and Generalized Inverse Gaussian Distribuce, Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete 1977
- ^ A b Johnson, Norman L .; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N. (1994), Kontinuální jednorozměrné distribuce. Sv. 1, Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics: Applied Probability and Statistics (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, str. 284–285, ISBN 978-0-471-58495-7, PAN 1299979
- ^ Dimitris Karlis, „Algoritmus typu EM pro maximální odhad pravděpodobnosti normálně – inverzního Gaussova rozdělení“, Statistics & Probability Letters 57 (2002) 43–52.
- ^ Barndorf-Nielsen, O.E., 1997. Normální inverzní Gaussovo rozdělení a stochastické modelování volatility. Scand. J. Statist. 24, 1–13.