Integrální - Integral

Část série článků o | |||||
Počet | |||||
---|---|---|---|---|---|
| |||||
Specializované | |||||
v matematika, an integrální přiřadí čísla funkcím způsobem, který dokáže popsat posunutí, plochu, objem a další koncepty, které vzniknou kombinací infinitezimální data. Integrace je jednou ze dvou hlavních operací počet; jeho inverzní operace, diferenciace, je ten druhý. Vzhledem k funkce F a nemovitý proměnná X a interval [A, b] z skutečná linie, určitý integrál z F z A na b lze interpretovat neformálně jako podepsaný plocha regionu v xy- letadlo, které je ohraničeno graf z F, X-osa a svislé čáry X = A a X = b. Je označen
Operace integrace, až do aditivní konstanty, je inverzní k operaci diferenciace. Z tohoto důvodu je termín integrální může také odkazovat na související pojem primitivní, nazvaný an neurčitý integrál, funkce F jehož derivát je daná funkce F. V tomto případě je napsáno:
Integrály diskutované v tomto článku se nazývají integrály určité integrály. To je základní věta o počtu který spojuje diferenciaci s určitým integrálem: pokud F je spojitá funkce se skutečnou hodnotou definovaná v a uzavřený interval [A, b], pak jednou primitivní F z F je znám, určitý integrál F za tento interval je dán vztahem
Principy integrace formuloval nezávisle Isaac Newton a Gottfried Wilhelm Leibniz na konci 17. století, který si myslel na integrál jako na nekonečný součet obdélníků infinitezimální šířka. Bernhard Riemann později dal přísnou matematickou definici integrálů, která je založena na omezujícím postupu, který se blíží ploše křivočarý regionu rozbitím regionu na tenké svislé desky. Počínaje 19. stoletím se začaly objevovat sofistikovanější představy o integrálech, kde typ funkce i doména přes který se integrace provádí, byla zobecněna. A linka integrální je definován pro funkce dvou nebo více proměnných a interval integrace [A, b] se nahrazuje a křivka propojení obou koncových bodů. V povrchový integrál, křivka je nahrazena částí a povrch v trojrozměrný prostor.
Dějiny
Integrace před kalkulem
První dokumentovanou systematickou technikou schopnou určovat integrály je způsob vyčerpání z starořečtina astronom Eudoxus (ca. 370 př. N. L.), Která se snažila najít oblasti a objemy jejich rozdělením do nekonečného počtu divizí, pro které byla oblast nebo objem známa.[1] Tuto metodu dále rozvinul a použil Archimedes ve 3. století př. nl a používá se k výpočtu oblast kruhu, plocha povrchu a objem a koule, oblast elipsa, oblast pod a parabola, objem segmentu a paraboloid revoluce, objem segmentu a hyperboloid revoluce a oblast a spirála.[2]
Podobná metoda byla nezávisle vyvinuta v Číně kolem 3. století našeho letopočtu Liu Hui, který ji použil k vyhledání oblasti kruhu. Tato metoda byla později použita v 5. století čínskými matematiky otce a syna Zu Chongzhi a Zu Geng najít objem koule.[3]
Na Středním východě Hasan Ibn al-Haytham, latinizovaný jako Alhazen (C. 965 - c. 1040 AD) odvodil vzorec pro součet čtvrté síly. Výsledky použil k provedení takzvané integrace této funkce, kde mu vzorce pro součty integrálních čtverců a čtvrtých mocnin umožnily vypočítat objem a paraboloid.[4]
Další významné pokroky v integrálním počtu se začaly objevovat až v 17. století. V této době práce Cavalieri s jeho metoda indivisibles a pracujte Fermat, začal klást základy moderního počtu a Cavalieri počítal integrály Xn až do stupně n = 9 v Cavalieriho kvadraturní vzorec.[5] Další kroky začaly na počátku 17. století Kolečko a Torricelli, kteří poskytli první náznaky spojení mezi integrací a diferenciace. Barrow poskytl první důkaz o základní věta o počtu.[6] Wallis zobecněná Cavalieriho metoda, výpočet integrálů X na obecnou moc, včetně záporných a zlomkových sil.[7]
Leibniz a Newton
Hlavní pokrok v integraci přišel v 17. století s nezávislým objevem základní věta o počtu podle Leibniz a Newton.[8] Leibniz publikoval svou práci o počtu před Newtonem. Věta demonstruje souvislost mezi integrací a diferenciací. Toto spojení v kombinaci s komparativní snadností diferenciace lze využít k výpočtu integrálů. Zejména základní teorém počtu umožňuje člověku vyřešit mnohem širší třídu problémů. Stejně důležitý je komplexní matematický rámec, který vyvinuli Leibniz i Newton. Vzhledem k jménu nekonečně malý početumožňoval přesnou analýzu funkcí v souvislých doménách. Tento rámec se nakonec stal moderním počet, jehož notace pro integrály je čerpána přímo z práce Leibnize.
Formalizace
Zatímco Newton a Leibniz poskytovali systematický přístup k integraci, jejich práci do určité míry chyběla přísnost. V roce 1734 Biskup Berkeley nezapomenutelně zaútočil na mizející přírůstky použité Newtonem a nazval je “duchové odchovaných množství ".[9] Calculus získal pevnější postavení s vývojem limity. Integrace byla nejprve důsledně formalizována pomocí limitů do Riemann v roce 1854.[10] Ačkoli jsou všechny omezené po částech spojité funkce Riemannovsky integrovatelné na omezeném intervalu, následně byly brány v úvahu obecnější funkce - zejména v kontextu Fourierova analýza —Na kterou se nevztahuje Riemannova definice a v roce 1904 Lebesgue formuloval a jiná definice integrálu, založeno v teorie míry (podpole z skutečná analýza ).[11][12] Byly navrženy další definice integrálu, rozšiřující Riemannov a Lebesgueův přístup. Tyto přístupy založené na systému reálných čísel jsou dnes nejběžnějšími, ale existují alternativní přístupy, například definice integrálu jako standardní součást nekonečné Riemannovy sumy založené na hyperrealistické číslo Systém.
Historická notace
Zápis pro neurčitý integrál představil Gottfried Wilhelm Leibniz v roce 1675.[13] Přizpůsobil integrální symbol, ∫, z dopisu ſ (dlouhá s ), stojící za summa (psáno jako maumma; Latinka pro „součet“ nebo „celkem“). Moderní notaci pro určitý integrál s limity nad a pod integrálním znaménkem poprvé použil Joseph Fourier v Mémoires Francouzské akademie kolem 1819–20, přetištěno ve své knize z roku 1822.[14]
Isaac Newton použil malou svislou čáru nad proměnnou k označení integrace nebo umístil proměnnou do rámečku. Svislá lišta byla snadno zaměnitelná nebo X′, které se používají k označení diferenciace, a krabicová notace byla pro tiskárny obtížná pro reprodukci, takže tyto notace nebyly široce přijaty.[15]
První použití výrazu
Slovo integrální byl poprvé použit v tisku uživatelem Jacob Bernoulli. V 1690 vydání Acta eruditorum, napsal: „Ergo et horum Integralia aequantur“.[16][17]
Termín je použit ve snadno srozumitelném odstavci z Guillaume de l'Hôpital v roce 1696:[18]
Dans tout cela il n'y a encore que la premiere partie du calcul de M. Leibniz, laquelle consiste à descendre des grandeurs entiéres à leur différences infiniment petites, et à comparer entr'eux ces infiniment petits de quelque žánr qu'ils soient: c'est ce qu'on appel calcul différentiel. Pour l'autre partie, qu'on appelle Calcul intégral, et qui consiste à remonter de ces infiniment petits aux grandeurs ou aux touts dont ils sont les différences, c'est-à-dire à en trouver les sommes, j'avois aussi dessein de le donner. Mais M. Leibniz přednášející na cestách a přednášející v intitním prostředí De Scientia infiniti, je n'ay eu garde de prive le public d'un si bel Ouvrage qui doit renfermer tout ce qu'il ya de plus curieux pour la Méthode inverse des Tangentes ...
doslovně přeloženo jako:
„Ve všem, co ještě existuje, je pouze první část M. Leibnizova počtu, spočívající ve přechodu z integrálních veličin na jejich nekonečně malé rozdíly a ve vzájemném srovnání těch nekonečně malých jakéhokoli možného druhu: tomu se říká diferenciální kalkul. Pokud jde o druhou část, která se nazývá integrální kalkul a která spočívá v návratu z těch nekonečně malých k množstvím nebo úplným částem, ve kterých jsou rozdíly, to znamená k nalezení jejich součtu, já měl také v úmyslu to vystavit. Ale vzhledem k tomu, že mi M. Leibniz napsal, že na tom pracuje v knize, kterou nazývá De Scientia infiniti, jsem se postaral o to, abych nezbavil veřejnost tak krásného díla, které má obsahovat vše, co je nejvíce zvědavé v obrácené metodě tečen ... “
Terminologie a notace
Standard
Integrál s ohledem na X a funkce se skutečnou hodnotou F skutečné proměnné X na intervalu [A, b] je psán jako
Integrální znak ∫ představuje integraci. Symbol dx, volal rozdíl proměnné X, označuje, že proměnná integrace je X. Funkce F(X) integrovat se nazývá integrand. O funkci se říká, že je integrovatelná, pokud je integrál funkce nad její doménou konečný. Body A a b se nazývají limity integrálu. Integrál, kde jsou zadány limity, se nazývá určitý integrál. Integrál se říká, že je nad intervalem [A, b].
Pokud integrál jde z konečné hodnoty A do horního limitu nekonečna, vyjadřuje limit integrálu z A na hodnotu b tak jako b jde do nekonečna. Pokud se hodnota integrálu přiblíží a přiblíží konečné hodnotě, říká se o integrálu konvergovat na tuto hodnotu; jinak se říká, že se rozcházejí.
Když jsou limity vynechány, jako v
integrál se nazývá neurčitý integrál, který představuje třídu funkcí ( primitivní ), jehož derivátem je integrand. The základní věta o počtu spojuje hodnocení určitých integrálů s neurčitými integrály. Občas jsou vynechány limity integrace pro určité integrály, když se v určitém kontextu opakovaně vyskytují stejné limity. Autor obvykle tuto konvenci vyjasní na začátku příslušného textu.
Existuje několik rozšíření notace pro integrály, které zahrnují integraci na neomezených doménách a / nebo ve více dimenzích (viz další části tohoto článku).
Význam symbolu dx
Historicky symbol dx byl vzat představovat nekonečně "malý kousek" z nezávislé proměnné X vynásobit integrandem a sečíst v nekonečném smyslu. I když je tento pojem stále heuristicky užitečný, pozdější matematici považovali nekonečné množství z hlediska systému reálných čísel za neudržitelné.[poznámka 1] V úvodním počtu výraz dx nemá proto samostatný význam; místo toho je zobrazen jako součást symbolu pro integraci a slouží jako jeho oddělovač na pravé straně integrovaného výrazu.
Ve složitějších kontextech dx může mít svůj vlastní význam, jehož význam závisí na konkrétní diskutované oblasti matematiky. Při použití jedním z těchto způsobů je původní Leibnizova notace kooptována pro zobecnění původní definice integrálu. Některé běžné interpretace dx zahrnout: funkci integrátoru v Integrace Riemann-Stieltjes (značeno pomocí da(X) obecně), a opatření v Lebesgueově teorii (označeno dμ obecně), nebo a diferenciální forma ve vnějším počtu (označeno obecně). V posledním případě dokonce i dopis d má samostatný význam - jako vnější derivace operátor na diferenciálních formách.
Naopak v pokročilém nastavení není neobvyklé vynechat dx když se používá pouze jednoduchý Riemannův integrál, nebo přesný typ integrálu je nehmotný. Například by se dalo psát vyjádřit linearitu integrálu, vlastnost sdílenou Riemannovým integrálem a všechny jeho zobecnění.
Varianty
v moderní arabská matematická notace, odražený integrální symbol místo symbolu je použito ∫, protože arabské písmo a matematické výrazy jdou zprava doleva.[19]
Někteří autoři, zejména evropského původu, používají vzpřímené „d“ k označení proměnné integrace (tj. dX namísto dx), protože správně řečeno, „d“ není proměnná.
Symbol dx není vždy umístěn za F(X), jako například v
V prvním výrazu se s diferenciálem zachází jako s nekonečně „multiplikativním“ faktorem, který formálně sleduje „komutativní vlastnost“, když je „vynásoben“ výrazem . Ve druhém výrazu, který nejprve ukazuje diferenciály, zdůrazňuje a objasňuje proměnné, které jsou integrovány s ohledem na tuto praxi, zvláště oblíbenou u fyziků.
Výklady
Integrály se objevují v mnoha praktických situacích. Pokud je bazén obdélníkový s plochým dnem, pak z jeho délky, šířky a hloubky můžeme snadno určit objem vody, kterou může obsahovat (k jejímu naplnění), plochu jeho povrchu (k jeho zakrytí) a délka jeho okraje (pro lano). Pokud je však oválný se zaobleným dnem, všechny tyto veličiny vyžadují integrály. Pro takové triviální příklady může stačit praktické přiblížení, ale přesné strojírenství (jakékoli disciplíny) vyžaduje přesné a přísné hodnoty pro tyto prvky.

Nejprve zvažte křivku y = F(X) mezi X = 0 a X = 1 s F(X) = √X, jak je znázorněno na obrázku. Ptáme se:
- Jaká je oblast pod funkcí F, v intervalu od 0 do 1?
a nazvat tuto oblast (definitivní) integrální z F, označeno jako
Jako první aproximace je plocha jednotkového čtverce dána stranami X = 0 na X = 1 a y = F(0) = 0 a y = F(1) = 1 je přesně 1; ale ve skutečnosti musí být skutečná hodnota o něco menší. Snížení šířky přibližných obdélníků a zvýšení počtu obdélníků poskytuje lepší výsledek. Můžeme například překročit interval v pěti krocích pomocí aproximačních bodů 0, 1/5, 2/5 atd. Na 1, poté přizpůsobit rámeček pro každý krok pomocí výšky pravého konce každého kusu křivky (√1/5, √2/5a tak dále √1 = 1) a sečtěte oblasti těchto obdélníků, abyste získali lepší aproximaci hledaného integrálu, a to
Bereme součet konečně mnoha funkčních hodnot F, vynásobené rozdíly dvou následujících aproximačních bodů. Tuto aproximaci lze snadno považovat za stále příliš velkou. Použití více kroků vytvoří bližší přiblížení, ale vždy bude příliš vysoké a nikdy nebude přesné. Alternativně, když nahradíme tyto podintervaly jedničkami s výškou levého konce každého kusu, dostaneme příliš nízkou aproximaci: například u dvanácti takových podintervalů je přibližná hodnota pro oblast 0,6203.
Klíčovou myšlenkou je přechod od přidání konečně mnoha rozdílů aproximačních bodů vynásobených jejich příslušnými hodnotami funkcí k použití nekonečně mnoha jemných, nebo infinitezimální kroky. Když je tento přechod dokončen ve výše uvedeném příkladu, ukáže se, že oblast pod křivkou v uvedených mezích je 2/3.
Zápis
pojímá integrál jako vážený součet, označený protáhlou s, funkčních hodnot, F(X), vynásobený nekonečně malými šířkami kroků, tzv diferenciály, označeno dx.
Historicky, po neúspěchu raných snah o důslednou interpretaci nekonečných čísel, Riemann formálně definoval integrály jako omezit vážených částek, takže dx navrhl limit rozdílu (konkrétně šířku intervalu). Nedostatky Riemannovy závislosti na intervalech a kontinuitě motivovaly novější definice, zejména Lebesgueův integrál, která je založena na schopnosti rozšířit myšlenku „opatření“ mnohem flexibilnějším způsobem. Tedy notace
odkazuje na vážený součet, ve kterém jsou hodnoty funkcí rozděleny, s μ měření hmotnosti, která má být přiřazena každé hodnotě. Tady A označuje region integrace.


Formální definice

Existuje mnoho způsobů, jak formálně definovat integrál, ne všechny jsou ekvivalentní. Rozdíly existují většinou pro řešení odlišných zvláštních případů, které nemusí být možné integrovat pod jiné definice, ale příležitostně také z pedagogických důvodů. Nejčastěji používanými definicemi integrálu jsou Riemannovy integrály a Lebesgueovy integrály.
Riemannův integrál
Riemannův integrál je definován z hlediska Riemann součty funkcí s ohledem na označené oddíly intervalu.[20] Nechat [A, b] být uzavřený interval skutečné linie; pak označený oddíl z [A, b] je konečná posloupnost
Toto rozdělí interval [A, b] do n dílčí intervaly [Xi−1, Xi] indexováno podle i, z nichž každý je „označen“ rozlišovacím bodem ti ∈ [Xi−1, Xi]. A Riemannova suma funkce F s ohledem na takto označený oddíl je definován jako
tedy každý člen součtu je plocha obdélníku s výškou rovnou hodnotě funkce v rozlišovacím bodě daného dílčího intervalu a šířka stejná jako šířka dílčího intervalu. Nechat Δi = Xi−Xi−1 být šířka dílčího intervalu i; pak pletivo takto označeného oddílu je šířka největšího dílčího intervalu tvořeného oddílem, maxi=1...n Δi. The Riemannův integrál funkce F v daném intervalu [A, b] je rovný S li:
- Pro všechny ε > 0 tady existuje δ > 0 takový, že pro jakýkoli označený oddíl [A, b] se sítí menší než δ, my máme
Když vybrané značky dávají maximální (respektive minimální) hodnotu každého intervalu, Riemannova suma se stává horní (respektive spodní) Darboux součet, což naznačuje úzké spojení mezi Riemannovým integrálem a Darboux integrální.
Lebesgueův integrál

Teoreticky i aplikačně je často zajímavé být schopen projít na hranici pod integrálem. Například lze často sestavit posloupnost funkcí, které ve vhodném smyslu přibližují řešení problému. Pak by integrál funkce řešení měl být limitem integrálů aproximací. Mnoho funkcí, které lze získat jako limity, však není Riemannovo integrovatelné, a proto takové limitní věty s Riemannovým integrálem neplatí. Proto je velmi důležité mít definici integrálu, která umožňuje integraci širší třídy funkcí.[21]
Takovým integrálem je Lebesgueův integrál, který využívá následující fakta k rozšíření třídy integrovatelných funkcí: pokud jsou hodnoty funkce přeskupeny přes doménu, integrál funkce by měl zůstat stejný. Tím pádem Henri Lebesgue představil integrál nesoucí jeho jméno, vysvětlil tedy tento integrál v dopise Paul Montel:
Musím zaplatit určitou částku, kterou jsem vybral v kapse. Vybírám bankovky a mince z kapsy a dávám je věřiteli v pořadí, v jakém je najdu, dokud nedosáhnu celkové částky. Toto je Riemannův integrál. Ale můžu postupovat jinak. Poté, co jsem z kapsy vytáhl všechny peníze, objednám směnky a mince podle stejných hodnot a poté několik hromád po sobě vyplácím věřiteli. To je můj integrál.
Folland říká: „Vypočítat Riemannův integrál F, jeden rozdělí doménu [A, b] do podintervalů ", zatímco v Lebesgueově integrálu" je ve skutečnosti rozdělení oblasti F ".[22] Definice Lebesgueova integrálu tedy začíná a opatření, μ. V nejjednodušším případě je Lebesgueovo opatření μ(A) intervalu A = [A, b] je jeho šířka, b − A, takže Lebesgueův integrál souhlasí s (správným) Riemannovým integrálem, pokud existují. Ve složitějších případech mohou být měřené sady vysoce fragmentované, bez kontinuity a podobnosti s intervaly.
Pomocí "rozdělení rozsahu F „filozofie, integrál nezáporné funkce F : R → R by měl být součet t oblastí mezi tenkým vodorovným pruhem mezi y = t a y = t + dt. Tato oblast je spravedlivá μ{ X : F(X) > t} dt. Nechat F∗(t) = μ{ X : F(X) > t}. Lebesgueův integrál F je pak definováno
kde integrál vpravo je obyčejný nesprávný Riemannův integrál (F∗ je přísně klesající pozitivní funkce, a proto má a dobře definované nesprávný Riemannův integrál).[23] Pro vhodnou třídu funkcí ( měřitelné funkce ) definuje Lebesgueův integrál.
Obecná měřitelná funkce F je Lebesgue integrovatelný, pokud je součet absolutních hodnot oblastí oblastí mezi grafem F a X-os je konečný:
V takovém případě je integrál, stejně jako v Riemannově případě, rozdíl mezi oblastí nad X- osa a oblast pod X-osa:
kde