Hyperbolická sekánová distribuce - Hyperbolic secant distribution

hyperbolický sekans

Funkce hustoty pravděpodobnosti
Funkce kumulativní distribuce
Parametry	žádný
Podpěra, podpora	${ displaystyle x in (- infty; + infty) !}$
PDF	${ displaystyle { frac {1} {2}} ; operatorname {sech} ! left ({ frac { pi} {2}} , x right) !}$
CDF	${ displaystyle { frac {2} { pi}} arctan ! left [ exp ! left ({ frac { pi} {2}} , x right) right] ! }$
Znamenat	${ displaystyle 0}$
Medián	${ displaystyle 0}$
Režim	${ displaystyle 0}$
Rozptyl	${ displaystyle 1}$
Šikmost	${ displaystyle 0}$
Př. špičatost	${ displaystyle 2}$
Entropie	4/π K. ${ displaystyle ; přibližně 1,16624}$
MGF	${ displaystyle sec (t) !}$ pro ${ displaystyle | t | <{ frac { pi} {2}} !}$
CF	${ displaystyle operatorname {sech} (t) !}$ pro ${ displaystyle | t | <{ frac { pi} {2}} !}$

v teorie pravděpodobnosti a statistika, hyperbolická sekánová distribuce je spojitý rozdělení pravděpodobnosti jehož funkce hustoty pravděpodobnosti a charakteristická funkce jsou úměrné hyperbolická sekansová funkce. Hyperbolická sekanční funkce je ekvivalentní k reciproční hyperbolický kosinus, a proto se této distribuci říká také inverzní-coshovo rozdělení.

Zobecnění distribuce vede k Meixnerova distribuce, také známý jako Přírodní exponenciální rodina - generalizovaný hyperbolický sekans nebo Distribuce NEF-GHS.

Vysvětlení

A náhodná proměnná následuje hyperbolické rozdělení sečen, pokud jeho funkce hustoty pravděpodobnosti (pdf) může souviset s následující standardní formou funkce hustoty umístěním a transformací posunu:

${ displaystyle f (x) = { frac {1} {2}} ; operatorname {sech} ! left ({ frac { pi} {2}} , x right) !, }$

kde „sech“ označuje hyperbolickou sekansovou funkci kumulativní distribuční funkce (cdf) standardní distribuce je zmenšená a posunutá verze Gudermannská funkce,

${ displaystyle F (x) = { frac {1} {2}} + { frac {1} { pi}} arctan ! left [ operatorname {sinh} ! left ({ frac { pi} {2}} , x vpravo) vpravo] !,}$

${ displaystyle = { frac {2} { pi}} arctan ! left [ exp left ({ frac { pi} {2}} , x right) right] !. }$

kde "arctan" je inverzní (kruhová) tangensová funkce. Inverzní cdf (nebo kvantilová funkce) je

${ displaystyle F ^ {- 1} (p) = - { frac {2} { pi}} , operatorname {arcsinh} ! left [ cot ( pi , p) right] !,}$

${ displaystyle = { frac {2} { pi}} , ln ! left [ tan left ({ frac { pi} {2}} , p right) right] !.}$

kde "arcsinh" je inverzní hyperbolická sinusová funkce a „dětská postýlka“ je (kruhová) kotangensová funkce.

Hyperbolická distribuce sečen sdílí se standardem mnoho vlastností normální distribuce: je symetrický s jednotkou rozptyl a nula znamenat, medián a režimu a jeho pdf je úměrné jeho charakteristické funkci. Hyperbolická distribuce sečen je však leptokurtic; to znamená, že má akutnější vrchol blízko svého průměru a těžší ocasy ve srovnání se standardním normálním rozdělením.

Johnson a kol. (1995)^[1](p147) umístí tuto distribuci do kontextu třídy zobecněných forem logistická distribuce, ale použijte jinou parametrizaci standardní distribuce ve srovnání s touto zde. Ding (2014)^[2] ukazuje tři výskyty hyperbolického rozdělení sekans ve statistickém modelování a inference.

Zobecnění

Konvoluce

Vzhledem k (zmenšenému) součtu ${ displaystyle r}$ nezávislé a identicky distribuované hyperbolické secant náhodné proměnné:

${ displaystyle X = { frac {1} { sqrt {r}}} ; (X_ {1} + X_ {2} + ; ... ; + X_ {r})}$

pak v limitu ${ displaystyle r to infty}$ distribuce ${ displaystyle X}$ bude mít tendenci k normálnímu rozdělení ${ displaystyle N (0,1)}$, v souladu s teorém centrálního limitu.

To umožňuje definovat pohodlnou rodinu distribucí s vlastnostmi mezi hyperbolickým sekans a normálním rozdělením, které jsou řízeny tvarovým parametrem ${ displaystyle r}$, které lze rozšířit na jiné než celočíselné hodnoty pomocí charakteristická funkce

${ displaystyle varphi (t) = { big (} operatorname {sech} (t / { sqrt {r}}) { big)} ^ {r}}$

Momenty lze snadno vypočítat z charakteristické funkce. Přebytek špičatost je zjištěno, že je ${ displaystyle 2 / r}$.

Překroutit

A zkosený formu distribuce lze získat vynásobením exponenciálem ${ displaystyle e ^ { theta x}, | { theta} | <{ pi} / 2}$ a normalizace, aby distribuce

${ displaystyle f (x) = cos theta ; { frac {e ^ { theta x}} {2 operatorname {cosh} ({ frac { pi x} {2}})}}}$

kde je hodnota parametru ${ displaystyle theta = 0}$ odpovídá původní distribuci.

Umístění a měřítko

Distribuci (a její zobecnění) lze také triviálně posunout a zmenšit obvyklým způsobem, aby se získal odpovídající rodina v měřítku polohy

Všechny výše uvedené

Povolením všech čtyř výše uvedených úprav získáte rozdělení se čtyřmi parametry, ovládajícími tvar, zkosení, umístění a měřítko, nazývané buď Meixnerova distribuce^[3] po Josef Meixner kdo nejprve vyšetřoval rodinu, nebo Distribuce NEF-GHS (Přirozená exponenciální rodina - Generalized Hyperbolic Secant distribution).

Losev (1989) nezávisle studoval asymetrickou (zkosenou) křivku ${ displaystyle h (x) = { frac {1} { exp (-ax) + exp (bx)}}}$, který používá pouze dva parametry ${ displaystyle a, b}$. Musí být pozitivní i negativní, s ${ displaystyle a = b}$ být sekán a ${ displaystyle h (x) ^ {r}}$ je jeho další přetvořenou formou.^[4]

v finanční matematika Meixnerova distribuce byla použita k modelování negaussovského pohybu cen akcií s aplikacemi včetně stanovení cen opcí.

Reference

• Baten, W. D. (1934). "Pravděpodobnostní zákon pro součet n nezávislé proměnné, z nichž každá podléhá zákonu ${ displaystyle (2h) ^ {- 1} operatorname {sech} ( pi x / 2h)}$". Bulletin of the American Mathematical Society. 40 (4): 284–290. doi:10.1090 / S0002-9904-1934-05852-X.
• Talacko, J. (1956). „Perkovy distribuce a jejich role v teorii Wienerových stochastických proměnných“. Trabajos de Estadistica. 7 (2): 159–174. doi:10.1007 / BF03003994.
• Devroye, Luc (1986). Nerovnoměrné generování náhodných variací. New York: Springer-Verlag. Oddíl IX.7.2.
• Smyth, G.K. (1994). „Poznámka k modelování vzájemných korelací: hyperbolická sekanční regrese“ (PDF). Biometrika. 81 (2): 396–402. doi:10.1093 / biomet / 81.2.396.
• Matthias J. Fischer (2013), Zobecněné hyperbolické sekanční distribuce: s aplikacemi pro financeSpringer. ISBN  3642451381. Knihy Google