Weibullova distribuce - Weibull distribution

Weibull (2-parametr)

Funkce hustoty pravděpodobnosti
Funkce kumulativní distribuce
Parametry	${ displaystyle lambda v (0, + infty) ,}$ měřítko ${ displaystyle k in (0, + infty) ,}$ tvar
Podpěra, podpora	${ displaystyle x v [0, + infty) ,}$
PDF	${ displaystyle f (x) = { begin {cases} { frac {k} { lambda}} left ({ frac {x} { lambda}} right) ^ {k-1} e ^ {- (x / lambda) ^ {k}} & x geq 0 0 & x <0 end {případů}}}$
CDF	${ displaystyle { begin {cases} 1-e ^ {- (x / lambda) ^ {k}} & x geq 0 0 & x <0 end {cases}}}$
Znamenat	${ Displaystyle lambda , Gama (1 + 1 / k) ,}$
Medián	${ displaystyle lambda ( ln 2) ^ {1 / k} ,}$
Režim	${ displaystyle { begin {cases} lambda left ({ frac {k-1} {k}} right) ^ {1 / k} , & k> 1 0 & k leq 1 end {případy }}}$
Rozptyl	${ displaystyle lambda ^ {2} left [ Gamma left (1 + { frac {2} {k}} right) - left ( Gamma left (1 + { frac {1} { k}} doprava) doprava) ^ {2} doprava] ,}$
Šikmost	${ displaystyle { frac { Gamma (1 + 3 / k) lambda ^ {3} -3 mu sigma ^ {2} - mu ^ {3}} { sigma ^ {3}}}}$
Př. špičatost	(viz text)
Entropie	${ displaystyle gamma (1-1 / k) + ln ( lambda / k) +1 ,}$
MGF	${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {t ^ {n} lambda ^ {n}} {n!}} Gamma (1 + n / k), k geq 1}$
CF	${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(it) ^ {n} lambda ^ {n}} {n!}} Gamma (1 + n / k)}$
Kullback-Leiblerova divergence	viz. níže

v teorie pravděpodobnosti a statistika, Weibullova distribuce /ˈprotieɪbʊl/ je spojitý rozdělení pravděpodobnosti. Je pojmenována po švédském matematikovi Waloddi Weibull, který ji podrobně popsal v roce 1951, ačkoli ji poprvé identifikoval Fréchet (1927) a nejprve aplikován Rosin & Rammler (1933) popsat a Distribuce velikosti částic.

Definice

Standardní parametrizace

The funkce hustoty pravděpodobnosti Weibulla náhodná proměnná je:^[1]

${ displaystyle f (x; lambda, k) = { begin {cases} { frac {k} { lambda}} left ({ frac {x} { lambda}} right) ^ {k -1} e ^ {- (x / lambda) ^ {k}} & x geq 0, 0 & x <0, end {případy}}}$

kde k > 0 je parametr tvaru a λ> 0 je parametr měřítka distribuce. Své doplňková kumulativní distribuční funkce je natažená exponenciální funkce. Weibullova distribuce souvisí s řadou dalších distribucí pravděpodobnosti; zejména to interpoluje mezi exponenciální rozdělení (k = 1) a Rayleighova distribuce (k = 2 a ${ displaystyle lambda = { sqrt {2}} sigma}$^[2]).

Pokud množství X je „čas do selhání“, Weibullova distribuce udává distribuci, pro kterou Poruchovost je úměrná síle času. The tvar parametr, k, je tato síla plus jedna, a tak lze tento parametr interpretovat přímo takto:^[3]

• Hodnota ${ displaystyle k <1 ,}$ znamená, že Poruchovost časem klesá (Lindyho efekt ). K tomu dochází, pokud existuje významná „kojenecká úmrtnost“ nebo vadné položky selhávají brzy a míra selhání v průběhu času klesá, jakmile jsou vadné položky odstraněny z populace. V kontextu šíření inovací, to znamená negativní slovo z úst: nebezpečná funkce je monotónně klesající funkcí podílu osvojitelů;
• Hodnota ${ displaystyle k = 1 ,}$ označuje, že míra selhání je v průběhu času konstantní. To může naznačovat, že náhodné vnější události způsobují úmrtnost nebo selhání. Weibullova distribuce se redukuje na exponenciální distribuci;
• Hodnota ${ displaystyle k> 1 ,}$ označuje, že se míra selhání časem zvyšuje. K tomu dochází, pokud dojde k procesu „stárnutí“ nebo k poškození dílů, u nichž je větší pravděpodobnost selhání v průběhu času. V kontextu šíření inovací, to znamená pozitivní slovo z úst: riziková funkce je monotónně rostoucí funkce podílu osvojitelů. Funkce je nejprve konvexní, poté konkávní s bodem inflexe v ${ displaystyle (e ^ {1 / k} -1) / e ^ {1 / k}, k> 1 ,}$.

V oblasti věda o materiálech, parametr tvaru k rozdělení sil je známé jako Weibullov modul. V kontextu šíření inovací „Weibullova distribuce je„ čistým “modelem napodobování / odmítání.

Alternativní parametrizace

Aplikace v lékařské statistiky a ekonometrie často používají jinou parametrizaci.^[4][5] Parametr tvaru k je stejný jako výše, zatímco parametr scale je ${ displaystyle b = lambda ^ {- k}}$. V tomto případě pro X ≥ 0, je funkce hustoty pravděpodobnosti

${ displaystyle f (x; k, b) = bkx ^ {k-1} e ^ {- bx ^ {k}},}$

kumulativní distribuční funkce je

${ displaystyle F (x; k, b) = 1-e ^ {- bx ^ {k}},}$

funkce nebezpečí je

${ displaystyle h (x; k, b) = bkx ^ {k-1},}$

a průměr je

${ displaystyle b ^ {- 1 / k} Gamma (1 + 1 / k).}$

Lze také najít třetí parametrizaci.^[6][7] Parametr tvaru k je stejný jako ve standardním případě, zatímco parametr scale je ${ displaystyle beta = 1 / lambda}$. Pak pro X ≥ 0, je funkce hustoty pravděpodobnosti

${ displaystyle f (x; k, beta) = beta k ({ beta x}) ^ {k-1} e ^ {- ( beta x) ^ {k}}}$

kumulativní distribuční funkce je

${ displaystyle F (x; k, beta) = 1-e ^ {- ( beta x) ^ {k}},}$

a nebezpečná funkce je

${ displaystyle h (x; k, beta) = beta k ({ beta x}) ^ {k-1}.}$

Ve všech třech parametrizacích se riziko snižuje pro k <1, zvyšuje se pro k> 1 a konstantní pro k = 1, v takovém případě se Weibullova distribuce snižuje na exponenciální distribuci.

Vlastnosti

Funkce hustoty

Forma hustotní funkce Weibullova rozdělení se drasticky mění s hodnotou k. Pro 0 < k <1, funkce hustoty má sklon k ∞ jako X shora se blíží nule a striktně klesá. Pro k = 1, funkce hustoty má tendenci k 1 /λ tak jako X shora se blíží nule a striktně klesá. Pro k > 1, funkce hustoty má tendenci k nule jako X se blíží k nule shora, zvyšuje se do svého režimu a klesá po něm. Funkce hustoty má nekonečný negativní sklon na X = 0, pokud 0 < k <1, nekonečný kladný sklon v X = 0, pokud 1 < k <2 a nulový sklon v X = 0 pokud k > 2. Pro k = 1 má hustota konečný záporný sklon při X = 0. Pro k = 2 má hustota konečný kladný sklon při X = 0. As k jde do nekonečna, Weibullova distribuce konverguje k a Diracova delta distribuce se středem na X = λ. Nakreslení a variační koeficient navíc závisí pouze na parametru tvaru. Zobecněním Weibullova rozdělení je hyperbolastická distribuce typu III.

Funkce kumulativní distribuce

The kumulativní distribuční funkce pro Weibullovu distribuci je

${ displaystyle F (x; k, lambda) = 1-e ^ {- (x / lambda) ^ {k}} ,}$

pro X ≥ 0 a F(X; k; λ) = 0 pro X < 0.

Li X = λ tedy F(X; k; λ) = 1 -E⁻¹ ≈ 0,632 pro všechny hodnotyk. Naopak: v F(X; k; λ) = 0,632 hodnotaX ≈ λ.

Funkce kvantilu (inverzní kumulativní distribuce) pro Weibullovo rozdělení je

${ displaystyle Q (p; k, lambda) = lambda (- ln (1-p)) ^ {1 / k}}$

pro 0 ≤ str < 1.

The Poruchovost h (nebo nebezpečná funkce) je dána vztahem

${ displaystyle h (x; k, lambda) = {k nad lambda} vlevo ({x nad lambda} doprava) ^ {k-1}.}$

The Střední doba mezi poruchami MTBF je

${ displaystyle { text {MTBF}} (k, lambda) = lambda gama (1 + 1 / k).}$

Okamžiky

The funkce generování momentů z logaritmus distribuovaného Weibulla náhodná proměnná darováno^[8]

${ displaystyle operatorname {E} left [e ^ {t log X} right] = lambda ^ {t} Gamma left ({ frac {t} {k}} + 1 right)}$

kde Γ je funkce gama. Podobně charakteristická funkce protokolu X darováno

${ displaystyle operatorname {E} left [e ^ {it log X} right] = lambda ^ {it} Gamma left ({ frac {it} {k}} + 1 right). }$

Zejména nth surový okamžik z X darováno

${ displaystyle m_ {n} = lambda ^ {n} gama vlevo (1 + { frac {n} {k}} vpravo).}$

The znamenat a rozptyl Weibulla náhodná proměnná lze vyjádřit jako

${ displaystyle operatorname {E} (X) = lambda gama vlevo (1 + { frac {1} {k}} vpravo) ,}$

a

${ displaystyle operatorname {var} (X) = lambda levá [ gama levá (1 + { frac {2} {k}} pravá) - levá ( gama levá (1 + { frac {1} {k}} right) right) ^ {2} right] ^ {1/2} ,.}$

Šikovnost je dána

${ displaystyle gamma _ {1} = { frac { gamma vlevo (1 + { frac {3} {k}} vpravo) lambda ^ {3} -3 mu sigma ^ {2} - mu ^ {3}} { sigma ^ {3}}}}$

kde je průměr označen μ a směrodatná odchylka je označena σ.

Přebytek špičatost darováno

${ displaystyle gamma _ {2} = { frac {-6 Gamma _ {1} ^ {4} +12 Gamma _ {1} ^ {2} Gamma _ {2} -3 Gamma _ { 2} ^ {2} -4 Gamma _ {1} Gamma _ {3} + Gamma _ {4}} {[ Gamma _ {2} - Gamma _ {1} ^ {2}] ^ { 2}}}}$

kde ${ displaystyle Gamma _ {i} = Gamma (1 + i / k)}$. Přebytek kurtosy lze také zapsat jako:

${ displaystyle gamma _ {2} = { frac { lambda ^ {4} gama (1 + { frac {4} {k}}) - 4 gamma _ {1} sigma ^ {3} mu -6 mu ^ {2} sigma ^ {2} - mu ^ {4}} { sigma ^ {4}}} - 3}$

Funkce generování momentů

Pro funkci generování momentů je k dispozici celá řada výrazů X sám. Jako výkonová řada, protože surové momenty jsou již známy, jeden ano

${ displaystyle operatorname {E} left [e ^ {tX} right] = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {t ^ {n} lambda ^ {n}} { n!}} Gamma vlevo (1 + { frac {n} {k}} vpravo).}$

Alternativně se lze pokusit vypořádat se přímo s integrálem

${ displaystyle operatorname {E} left [e ^ {tX} right] = int _ {0} ^ { infty} e ^ {tx} { frac {k} { lambda}} left ( { frac {x} { lambda}} vpravo) ^ {k-1} e ^ {- (x / lambda) ^ {k}} , dx.}$

Pokud je parametr k se považuje za racionální číslo vyjádřené jako k = str/q kde str a q jsou celá čísla, pak lze tento integrál vyhodnotit analyticky.^[9] S t nahrazeno -t, jeden najde

${ displaystyle operatorname {E} left [e ^ {- tX} right] = { frac {1} { lambda ^ {k} , t ^ {k}}} , { frac {p ^ {k} , { sqrt {q / p}}} {({ sqrt {2 pi}}) ^ {q + p-2}}} , G_ {p, q} ^ {, q, p} ! left ( left. { begin {matrix} { frac {1-k} {p}}, { frac {2-k} {p}}, dots, { frac {pk} {p}} { frac {0} {q}}, { frac {1} {q}}, dots, { frac {q-1} {q}} end {matice }} ; right | , { frac {p ^ {p}} { left (q , lambda ^ {k} , t ^ {k} right) ^ {q}}} right )}$

kde G je Funkce Meijer G..

The charakteristická funkce bylo také získáno Muraleedharan et al. (2007). The charakteristická funkce a funkce generování momentů 3parametrické Weibullovy distribuce byly také odvozeny pomocí Muraleedharan & Soares (2014) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFMuraleedharanSoares2014 (Pomoc) přímým přístupem.

Shannonova entropie

The informační entropie darováno

${ displaystyle H ( lambda, k) = gamma doleva (1 - { frac {1} {k}} doprava) + ln doleva ({ frac { lambda} {k}} doprava ) +1}$

kde ${ displaystyle gamma}$ je Euler – Mascheroniho konstanta. Weibullova distribuce je maximální distribuce entropie pro nezáporné reálné náhodné variace s pevnou očekávaná hodnota z X^k rovná λ^k a pevná očekávaná hodnota ln (X^k) se rovná ln (λ^k) − ${ displaystyle gamma}$.

Odhad parametrů

Maximální pravděpodobnost

The odhad maximální pravděpodobnosti pro ${ displaystyle lambda}$ daný parametr ${ displaystyle k}$ je

${ displaystyle { widehat { lambda}} ^ {k} = { frac {1} {n}} součet _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {k}}$

Odhad maximální pravděpodobnosti pro ${ displaystyle k}$ je řešením pro k následující rovnice^[10]

${ displaystyle 0 = { frac { součet _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {k} ln x_ {i}} { součet _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {k}}} - { frac {1} {k}} - { frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} ln x_ {i}}$

Tato rovnice definuje ${ displaystyle { widehat {k}}}$ pouze implicitně je třeba obecně vyřešit ${ displaystyle k}$ číselnými prostředky.

Když ${ displaystyle x_ {1}> x_ {2}> cdots> x_ {N}}$ jsou ${ displaystyle N}$ největší pozorované vzorky z datové sady větší než ${ displaystyle N}$ vzorky, pak odhad maximální pravděpodobnosti pro ${ displaystyle lambda}$ daný parametr ${ displaystyle k}$ je^[10]

${ displaystyle { widehat { lambda}} ^ {k} = { frac {1} {N}} součet _ {i = 1} ^ {N} (x_ {i} ^ {k} -x_ { N} ^ {k})}$

Vzhledem k této podmínce také odhad maximální pravděpodobnosti pro ${ displaystyle k}$ je^{[Citace je zapotřebí ]}

${ displaystyle 0 = { frac { součet _ {i = 1} ^ {N} (x_ {i} ^ {k} ln x_ {i} -x_ {N} ^ {k} ln x_ {N })} { sum _ {i = 1} ^ {N} (x_ {i} ^ {k} -x_ {N} ^ {k})}} - { frac {1} {N}} sum _ {i = 1} ^ {N} ln x_ {i}}$

Jelikož se jedná o implicitní funkci, je třeba ji obecně vyřešit ${ displaystyle k}$ číselnými prostředky.

Weibullova zápletka

Přizpůsobení Weibullovy distribuce datům lze vizuálně posoudit pomocí Weibullova grafu.^[11] Weibullovo spiknutí je spiknutím empirická kumulativní distribuční funkce ${ displaystyle { widehat {F}} (x)}$ dat na speciálních osách v typu Děj Q-Q. Osy jsou ${ displaystyle ln (- ln (1 - { widehat {F}} (x)))}$ proti ${ displaystyle ln (x)}$. Důvodem této změny proměnných je kumulativní distribuční funkce, kterou lze linearizovat:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} F (x) & = 1-e ^ {- (x / lambda) ^ {k}} [4pt] - ln (1-F (x)) & = (x / lambda) ^ {k} [4pt] underbrace { ln (- ln (1-F (x)))} _ { textrm {'y'}} & = underbrace {k ln x} _ { textrm {'mx'}} - underbrace {k ln lambda} _ { textrm {'c'}} end {zarovnáno}}}$

což lze vidět ve standardní formě přímky. Pokud tedy data pocházejí z Weibullovy distribuce, pak se na Weibullově grafu očekává přímka.

Existují různé přístupy k získání empirické distribuční funkce z dat: jednou metodou je získání vertikální souřadnice pro každý bod pomocí ${ displaystyle { widehat {F}} = { frac {i-0,3} {n + 0,4}}}$ kde ${ displaystyle i}$ je pořadí datového bodu a ${ displaystyle n}$ je počet datových bodů.^[12]

Lineární regrese může být také použita k numerickému posouzení dobré shody a odhadu parametrů Weibullova rozdělení. Přechod informuje jeden přímo o parametru tvaru ${ displaystyle k}$ a parametr měřítka ${ displaystyle lambda}$ lze také odvodit.

Kullback – Leiblerova divergence

${ displaystyle D _ { text {KL}} ( mathrm {Weib} _ {1} paralelní mathrm {Weib} _ {2}) = log { frac {k_ {1}} { lambda _ { 1} ^ {k_ {1}}}} - log { frac {k_ {2}} { lambda _ {2} ^ {k_ {2}}}} + (k_ {1} -k_ {2} ) left [ log lambda _ {1} - { frac { gamma} {k_ {1}}} right] + left ({ frac { lambda _ {1}} { lambda _ { 2}}} vpravo) ^ {k_ {2}} Gamma vlevo ({ frac {k_ {2}} {k_ {1}}} + 1 vpravo) -1}$^[13]

Aplikace

Používá se Weibullova distribuce^{[Citace je zapotřebí ]}

• v analýza přežití
• v spolehlivostní inženýrství a analýza selhání
• v elektrotechnika představující přepětí vyskytující se v elektrickém systému
• v průmyslové inženýrství reprezentovat výrobní a dodávka krát
• v teorie extrémní hodnoty
• v předpověď počasí a větrné elektrárny popsat rozložení rychlosti větru, protože přirozená distribuce často odpovídá Weibullovu tvaru^[14]
• V inženýrství komunikačních systémů
  • v radar systémy pro modelování rozptylu úrovně přijatých signálů produkovaných některými typy rušení
  • Modelovat slábnoucí kanály v bezdrátový komunikace, jako Weibull slábne Zdá se, že model dobře odpovídá experimentálnímu blednutí kanál Měření

Přizpůsobeno kumulativní Weibullovo rozdělení na maximum jednodenních srážek pomocí CumFreq, viz také distribuční armatura^[15]

• v vyhledávání informací modelovat doby prodlevy na webových stránkách.^[16]
• v všeobecné pojištění modelovat velikost zajištění pohledávky a kumulativní vývoj azbestóza ztráty
• Při předpovídání technologických změn (také známých jako model Sharif-Islam)^[17]
• v hydrologie Weibullova distribuce se aplikuje na extrémní události, jako jsou roční maximální jednodenní srážky a vypouštění řek.
• Při popisu velikosti částice generované broušením, frézování a zdrcující operace se používá 2-parametrická Weibullova distribuce a v těchto aplikacích je někdy známá jako Rosin – Rammlerova distribuce.^{[Citace je zapotřebí ]} V této souvislosti předpovídá méně jemných částic než Normální distribuce protokolu a je obecně nejpřesnější pro úzkou distribuci velikosti částic.^[18] Interpretace kumulativní distribuční funkce je taková ${ displaystyle F (x; k, lambda)}$ je hmotnostní zlomek částic o průměru menším než ${ displaystyle x}$, kde ${ displaystyle lambda}$ je střední velikost částic a ${ displaystyle k}$ je míra šíření velikostí částic.
• Při popisu náhodných mračen bodů (jako jsou polohy částic v ideálním plynu): pravděpodobnost nalezení částice nejbližšího souseda ve vzdálenosti ${ displaystyle x}$ z dané částice je dáno Weibullovým rozdělením s ${ displaystyle k = 3}$ a ${ displaystyle rho = 1 / lambda ^ {3}}$ rovná hustotě částic.^[19]

Související distribuce

• Přeložená Weibullova distribuce (nebo 3parametrová Weibull) obsahuje další parametr.^[8] Má to funkce hustoty pravděpodobnosti

  ${ displaystyle f (x; k, lambda, theta) = {k over lambda} left ({x- theta over lambda} right) ^ {k-1} e ^ {- vlevo ({x- theta přes lambda} vpravo) ^ {k}} ,}$

  pro ${ displaystyle x geq theta}$ a ${ displaystyle f (x; k, lambda, theta) = 0}$ pro ${ displaystyle x < theta}$, kde ${ displaystyle k> 0}$ je parametr tvaru, ${ displaystyle lambda> 0}$ je parametr měřítka a ${ displaystyle theta}$ je parametr umístění distribuce. ${ displaystyle theta}$ hodnota nastavuje počáteční čas bezporuchového stavu před zahájením běžného Weibullova procesu. Když ${ displaystyle theta = 0}$, to se redukuje na 2parametrové rozdělení.
• Weibullovo rozdělení lze charakterizovat jako rozdělení náhodné proměnné ${ displaystyle W}$ taková, že náhodná proměnná

  ${ displaystyle X = left ({ frac {W} { lambda}} right) ^ {k}}$

  je standard exponenciální rozdělení s intenzitou 1.^[8]
• To znamená, že Weibullovu distribuci lze také charakterizovat pomocí a rovnoměrné rozdělení: pokud ${ displaystyle U}$ je rovnoměrně rozloženo na ${ displaystyle (0,1)}$, pak náhodná proměnná ${ displaystyle W = lambda (- ln (U)) ^ {1 / k} ,}$ je Weibull distribuován s parametry ${ displaystyle k}$ a ${ displaystyle lambda}$. Všimněte si, že ${ displaystyle - ln (U)}$ zde odpovídá ${ displaystyle X}$ těsně nad. To vede ke snadno implementovanému numerickému schématu pro simulaci Weibullovy distribuce.
• Weibullova distribuce interpoluje mezi exponenciálním rozdělením s intenzitou ${ displaystyle 1 / lambda}$ když ${ displaystyle k = 1}$ a a Rayleighova distribuce režimu ${ displaystyle sigma = lambda / { sqrt {2}}}$ když ${ displaystyle k = 2}$.
• Weibullova distribuce (obvykle dostatečná v spolehlivostní inženýrství ) je speciální případ tří parametrů umocněné Weibullovo rozdělení kde další exponent se rovná 1. Umocněné Weibullovo rozdělení odpovídá unimodální, tvar vany^[20] a monotónní poruchovost.
• Weibullova distribuce je zvláštním případem zobecněné extrémní rozdělení hodnot. Právě v této souvislosti byla distribuce poprvé identifikována Maurice Fréchet v roce 1927.^[21] Úzce související Fréchetová distribuce, pojmenovaný pro tuto práci, má funkci hustoty pravděpodobnosti

  ${ displaystyle f _ { rm {Frechet}} (x; k, lambda) = { frac {k} { lambda}} left ({ frac {x} { lambda}} right) ^ { -1-k} e ^ {- (x / lambda) ^ {- k}} = - f _ { rm {Weibull}} (x; -k, lambda).}$

• Distribuce náhodné proměnné, která je definována jako minimum několika náhodných proměnných, z nichž každá má jiné Weibullovo rozdělení, je poly-Weibullova distribuce.
• Weibullova distribuce byla poprvé použita u Rosin & Rammler (1933) popsat distribuce velikosti částic. Je široce používán v zpracování minerálů popsat distribuce velikosti částic v rozmělnění procesy. V této souvislosti je kumulativní distribuce dána vztahem

  ${ displaystyle f (x; P _ { rm {80}}, m) = { begin {cases} 1-e ^ { ln left (0,2 right) left ({ frac {x} {P_ { rm {80}}}} right) ^ {m}} & x geq 0, 0 & x <0, end {cases}}}$

  kde
  • ${ displaystyle x}$ je velikost částic
  • ${ displaystyle P _ { rm {80}}}$ je 80. percentil distribuce velikosti částic
  • ${ displaystyle m}$ je parametr popisující šíření distribuce
• Kvůli jeho dostupnosti v tabulky, používá se také tam, kde je základní chování ve skutečnosti lépe modelováno pomocí Erlang distribuce.^[22]
• Li ${ displaystyle X sim mathrm {Weibull} ( lambda, { frac {1} {2}})}$ pak ${ displaystyle { sqrt {X}} sim mathrm {exponenciální} ({ frac {1} { sqrt { lambda}}})}$ (Exponenciální rozdělení )
• Pro stejné hodnoty k platí Distribuce gama nabývá podobných tvarů, ale Weibullova distribuce je více platykurtic.

Viz také

• Věta Fisher – Tippett – Gnedenko
• Logistická distribuce
• Distribuce kalafuny a Rammlera pro analýzu velikosti částic
• Rayleighova distribuce

Reference

Bibliografie

• Fréchet, Maurice (1927), „Sur la loi de probabilité de l'écart maximum“, Annales de la Société Polonaise de Mathématique, Cracovie, 6: 93–116.
• Johnson, Norman L .; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N. (1994), Kontinuální jednorozměrné distribuce. Sv. 1, Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics: Applied Probability and Statistics (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN  978-0-471-58495-7, PAN  1299979
• Mann, Nancy R.; Schafer, Ray E .; Singpurwalla, Nozer D. (1974), Metody pro statistickou analýzu údajů o spolehlivosti a životnosti, Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics: Applied Probability and Statistics (1st ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN  978-0-471-56737-0
• Muraleedharan, G .; Rao, A.D .; Kurup, P.G .; Nair, N. Unnikrishnan; Sinha, Mourani (2007), „Modifikované Weibullovo rozdělení pro simulaci a predikci maximální a významné výšky vlny“, Pobřežní inženýrství, 54 (8): 630–638, doi:10.1016 / j.coastaleng.2007.05.001
• Rosin, P .; Rammler, E. (1933), „Zákony upravující jemnost práškového uhlí“, Journal of the Institute of Fuel, 7: 29–36.
• Sagias, N.C .; Karagiannidis, G.K. (2005). "Weissovy distribuce vícerozměrných tříd Gaussovy třídy: teorie a aplikace v únikových kanálech". Transakce IEEE na teorii informací. 51 (10): 3608–19. doi:10.1109 / TIT.2005.855598. PAN  2237527.
• Weibull, W. (1951), "Statistická distribuční funkce široké použitelnosti" (PDF), Journal of Applied Mechanics, 18 (3): 293–297, Bibcode:1951JAM .... 18..293W.
• „Weibullova distribuce“. Příručka technické statistiky. Národní institut pro standardy a technologie. 2008.
• Nelson, Jr, Ralph (02.02.2008). „Dispergující prášky v kapalinách, část 1, kapitola 6: Distribuce objemu částic“. Citováno 2008-02-05.

externí odkazy

• „Weibullova distribuce“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Mathpages - Weibullova analýza
• Weibullova distribuce
• Analýza spolehlivosti s Weibull
• Interaktivní grafika: Jednorozměrné distribuční vztahy
• Online Weibullovo pravděpodobnostní vykreslování