Rodina v měřítku polohy - Location–scale family

v teorie pravděpodobnosti, zejména v matematice statistika, a rodina v měřítku polohy je rodina rozdělení pravděpodobnosti parametrizováno pomocí a parametr umístění a nezáporný parametr měřítka. Pro všechny náhodná proměnná ${ displaystyle X}$ jehož distribuční funkce pravděpodobnosti patří do takové rodiny, distribuční funkce ${ displaystyle Y { stackrel {d} {=}} a + bX}$ také patří do rodiny (kde ${ displaystyle { stackrel {d} {=}}}$ znamená „stejný v distribuci „—To je,“ má stejnou distribuci jako „). Navíc, pokud ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ jsou dvě náhodné proměnné, jejichž distribuční funkce jsou členy rodiny a za předpokladu

1. existence prvních dvou okamžiků a
2. ${ displaystyle X}$ má nulovou střední a jednotkovou odchylku,

pak ${ displaystyle Y}$ lze psát jako ${ displaystyle Y { stackrel {d} {=}} mu _ {Y} + sigma _ {Y} X}$ , kde ${ displaystyle mu _ {Y}}$ a ${ displaystyle sigma _ {Y}}$ jsou střední a standardní odchylka ${ displaystyle Y}$.

Jinými slovy třída ${ displaystyle Omega}$ rozdělení pravděpodobnosti je rodina v měřítku lokality, pokud pro všechny kumulativní distribuční funkce ${ displaystyle F in Omega}$ a jakákoli reálná čísla ${ displaystyle a in mathbb {R}}$ a ${ displaystyle b> 0}$, distribuční funkce ${ displaystyle G (x) = F (a + bx)}$ je také členem ${ displaystyle Omega}$.

• Li ${ displaystyle X}$ má kumulativní distribuční funkce ${ displaystyle F_ {X} (x) = P (X leq x)}$, pak ${ displaystyle Y {=} a + bX}$ má kumulativní distribuční funkci ${ displaystyle F_ {Y} (y) = F_ {X} vlevo ({ frac {y-a} {b}} vpravo)}$.
• Li ${ displaystyle X}$ je diskrétní náhodná proměnná s funkce pravděpodobnostní hmotnosti ${ displaystyle p_ {X} (x) = P (X = x)}$, pak ${ displaystyle Y {=} a + bX}$ je diskrétní náhodná proměnná s funkcí pravděpodobnosti hmotnosti ${ displaystyle p_ {Y} (y) = p_ {X} vlevo ({ frac {y-a} {b}} doprava)}$.
• Li ${ displaystyle X}$ je spojitá náhodná proměnná s funkce hustoty pravděpodobnosti ${ displaystyle f_ {X} (x)}$, pak ${ displaystyle Y {=} a + bX}$ je spojitá náhodná proměnná s funkcí hustoty pravděpodobnosti ${ displaystyle f_ {Y} (y) = { frac {1} {b}} f_ {X} vlevo ({ frac {y-a} {b}} vpravo)}$.

v teorie rozhodování, pokud jsou všechny alternativní distribuce dostupné rozhodovací pravomoci ve stejné rodině s lokálním měřítkem a první dva momenty jsou konečné, pak dvoumístný rozhodovací model lze použít a rozhodování lze formulovat z hlediska prostředek a odchylky distribucí.^[1][2][3]

Příklady

Rodiny v měřítku polohy jsou často omezeny na rodiny, kde mají všichni členové stejnou funkční formu. Většina rodin v měřítku lokality je univariate, i když ne všichni. Známé rodiny, ve kterých je funkční forma distribuce konzistentní v celé rodině, zahrnují následující:

• Normální distribuce
• Eliptické rozdělení
• Cauchyovo rozdělení
• Rovnoměrné rozdělení (kontinuální)
• Rovnoměrné rozdělení (diskrétní)
• Logistická distribuce
• Laplaceova distribuce
• Studentova t-distribuce
• Zobecněné extrémní rozdělení hodnot

Převod jedné distribuce na rodinu v měřítku umístění

Následující příklad ukazuje, jak implementovat rodinu škálovatelného umístění ve statistickém balíčku nebo programovacím prostředí, kde jsou k dispozici pouze funkce pro „standardní“ verzi distribuce. Je určen pro R ale měl by se zobecnit na jakýkoli jazyk a knihovnu.

Zde uvedený příklad je Studentské t-rozdělení, který je obvykle poskytován v R pouze v jeho standardní formě, s jediným stupně svobody parametr df. Níže uvedené verze s _ls připojeno ukázat, jak to zobecnit na a zobecněná Studentova t-distribuce s libovolným parametrem umístění mu a měřítko parametru sigma.

Všimněte si, že zobecněné funkce nemají standardní odchylku sigma od standardu t distribuce nemá směrodatnou odchylku 1.

Reference

externí odkazy

• http://www.randomservices.org/random/special/LocationScale.html